Altersaufgabe

Maria ist 3 Jahre älter als das Doppelte des Alters ihres Bruders. Wenn Maria 17 Jahre alt ist, wie alt ist ihr Bruder?

Variable definieren: Sei $x$ = Alter des Bruders = $x$ = unbekannt

In Gleichung übersetzen: "3 Jahre älter als das Doppelte" bedeutet $2x + 3$ "Maria ist 17" bedeutet gleich 17 = $2x + 3 = 17$

3 von beiden Seiten subtrahieren: $2x + 3 - 3 = 17 - 3$ = $2x = 14$

Beide Seiten durch 2 teilen: $\frac{2x}{2} = \frac{14}{2}$ = $x = 7$

Antwort überprüfen: Das Doppelte von 7 ist 14, plus 3 ist 17 ✓ = Bruder ist 7 Jahre alt

Answer: Marias Bruder ist $7$ Jahre alt.

Einkaufsaufgabe

Ein Hemd kostet 15€ mehr als ein Paar Socken. Zusammen kosten sie 47€. Wie viel kostet jeder Artikel?

Variable definieren: Sei $x$ = Preis der Socken (die kleinere Unbekannte) = $x$ = Sockenpreis

Andere Unbekannte ausdrücken: Hemd ist "15€ mehr", also Hemd = $x + 15$ = Hemd = $x + 15$

Gleichung aufstellen: Zusammen kosten sie 47: Socken + Hemd = 47 = $x + (x + 15) = 47$

Gleichartige Terme zusammenfassen: $x + x + 15 = 47$ = $2x + 15 = 47$

Nach x auflösen: $2x = 47 - 15 = 32$ $x = 16$ = Socken = 16€

Hemdpreis bestimmen: Hemd = $x + 15 = 16 + 15$ = Hemd = 31€

Answer: Die Socken kosten $16$€ und das Hemd kostet $31$€.

Entfernungsaufgabe

Zwei Radfahrer starten vom gleichen Punkt und fahren in entgegengesetzte Richtungen. Einer fährt mit 12 km/h und der andere mit 18 km/h. Nach wie vielen Stunden sind sie 90 km voneinander entfernt?

Variable definieren: Sei $t$ = Zeit in Stunden = $t$ = Stunden

Ausdrücke für Entfernungen aufstellen: Entfernung = Geschwindigkeit $\times$ Zeit Radfahrer 1: $12t$ km Radfahrer 2: $18t$ km = Entfernungen: $12t$ und $18t$

Gleichung aufstellen: Gesamtentfernung = 90 km $12t + 18t = 90$ = $30t = 90$

Nach t auflösen: $t = \frac{90}{30}$ = $t = 3$

Überprüfen: Nach 3 Stunden: $12(3) + 18(3) = 36 + 54 = 90$ ✓ = 3 Stunden

Answer: Die Radfahrer sind nach $3$ Stunden 90 km voneinander entfernt.

Mistake: Die falsche Größe als Variable definieren

Why: Die größere oder komplexere Größe als $x$ zu wählen macht die Gleichung schwieriger zu lösen.

Correct: Definiere $x$ als die einfachere oder kleinere Unbekannte. Drücke andere Größen durch $x$ aus.

Mistake: Vergessen zu prüfen, ob die Antwort Sinn macht

Why: Mathematische Lösungen können korrekt, aber nicht sinnvoll sein (z.B. negative Alter).

Correct: Immer überprüfen: Passt die Antwort zum Kontext? Ist sie positiv, wenn sie es sein sollte? Erfüllt sie die ursprüngliche Aufgabe?

Mistake: "weniger als" falsch übersetzen

Why: "5 weniger als x" ist $x - 5$, NICHT $5 - x$. Die Reihenfolge ist wichtig bei Subtraktion!

Correct: "A weniger als B" bedeutet immer $B - A$. Die Zahl nach "als" kommt zuerst.

Eventplanung

Eventplaner nutzen Gleichungen für Budgets für Locations, Catering und Gästezahlen.

Eine Location kostet 200€ Grundgebühr plus 35€ pro Gast. Mit einem Budget von 900€, wie viele Gäste können eingeladen werden?

Sportstatistiken

Sportler und Trainer nutzen Gleichungen, um Leistung zu verfolgen und Ziele zu setzen.

Eine Basketballspielerin hat in 12 Spielen 156 Punkte erzielt. Wie viele Punkte pro Spiel muss sie in den nächsten 8 Spielen durchschnittlich erzielen, um 300 Gesamtpunkte zu erreichen?

Q: Woher weiß ich, welche Größe ich x nennen soll?

A: Wähle die einfachste Unbekannte als $x$. Wenn die Aufgabe sagt "etwas ist 5 mehr als etwas anderes", sei $x$ die kleinere Größe, dann drücke die andere als $x + 5$ aus.

Q: Was, wenn meine Antwort negativ ist, aber das keinen Sinn macht?

A: Lies die Aufgabe nochmal! Ein negatives Alter oder eine negative Anzahl bedeutet, dass du beim Aufstellen der Gleichung einen Fehler gemacht hast. Überprüfe deine Übersetzung von Worten zu Symbolen.

Q: Wie übersetze ich "doppelt so viel" oder "dreimal so viel"?

A: "Doppelt so viel wie $x$" bedeutet $2x$. "Dreimal so viel wie $x$" bedeutet $3x$. Der Multiplikator kommt vor die Variable.