Grundlegende Variablen auf beiden Seiten

Löse: $5x - 3 = 2x + 9$

Identifiziere Variablenterme auf beiden Seiten: Links: $5x$, Rechts: $2x$ = Variablen auf beiden Seiten

Subtrahiere $2x$ auf beiden Seiten: $5x - 2x - 3 = 2x - 2x + 9$ = $3x - 3 = 9$

Addiere $3$ auf beiden Seiten: $3x - 3 + 3 = 9 + 3$ = $3x = 12$

Dividiere beide Seiten durch $3$: $\frac{3x}{3} = \frac{12}{3}$ = $x = 4$

Überprüfe die Lösung: $5(4) - 3 = 2(4) + 9$ ergibt $17 = 17$ \checkmark = Lösung bestätigt!

Answer: $x = 4$

Variablenterme mit größeren Koeffizienten

Löse: $7x + 2 = 3x + 18$

Subtrahiere $3x$ auf beiden Seiten: $7x - 3x + 2 = 3x - 3x + 18$ = $4x + 2 = 18$

Subtrahiere $2$ auf beiden Seiten: $4x + 2 - 2 = 18 - 2$ = $4x = 16$

Dividiere beide Seiten durch $4$: $\frac{4x}{4} = \frac{16}{4}$ = $x = 4$

Überprüfe die Lösung: $7(4) + 2 = 3(4) + 18$ ergibt $30 = 30$ \checkmark = Lösung bestätigt!

Answer: $x = 4$

Negativer Variablenkoeffizient

Löse: $2x + 5 = 8x - 7$

Entscheide, auf welcher Seite du Variablen sammelst: Bewege $2x$ nach rechts (größerer Koeffizient dort) = Oder bewege $8x$ nach links - beides funktioniert!

Subtrahiere $2x$ auf beiden Seiten: $2x - 2x + 5 = 8x - 2x - 7$ = $5 = 6x - 7$

Addiere $7$ auf beiden Seiten: $5 + 7 = 6x - 7 + 7$ = $12 = 6x$

Dividiere beide Seiten durch $6$: $\frac{12}{6} = \frac{6x}{6}$ = $2 = x$

Überprüfe die Lösung: $2(2) + 5 = 8(2) - 7$ ergibt $9 = 9$ \checkmark = Lösung bestätigt!

Answer: $x = 2$

Mit Klammern (zuerst Distributivgesetz)

Löse: $3(x + 4) = x + 16$

Multipliziere auf der linken Seite aus: $3 \cdot x + 3 \cdot 4 = x + 16$ = $3x + 12 = x + 16$

Subtrahiere $x$ auf beiden Seiten: $3x - x + 12 = x - x + 16$ = $2x + 12 = 16$

Subtrahiere $12$ auf beiden Seiten: $2x + 12 - 12 = 16 - 12$ = $2x = 4$

Dividiere beide Seiten durch $2$: $\frac{2x}{2} = \frac{4}{2}$ = $x = 2$

Überprüfe die Lösung: $3(2 + 4) = 2 + 16$ ergibt $18 = 18$ \checkmark = Lösung bestätigt!

Answer: $x = 2$

Klammern auf beiden Seiten

Löse: $2(x - 3) = 4(x + 1) - 14$

Multipliziere auf beiden Seiten aus: $2x - 6 = 4x + 4 - 14$ = $2x - 6 = 4x - 10$

Subtrahiere $2x$ auf beiden Seiten: $2x - 2x - 6 = 4x - 2x - 10$ = $-6 = 2x - 10$

Addiere $10$ auf beiden Seiten: $-6 + 10 = 2x - 10 + 10$ = $4 = 2x$

Dividiere beide Seiten durch $2$: $\frac{4}{2} = \frac{2x}{2}$ = $x = 2$

Überprüfe die Lösung: $2(2-3) = 4(2+1) - 14$ ergibt $-2 = -2$ \checkmark = Lösung bestätigt!

Answer: $x = 2$

Mistake: Variablen falsch subtrahieren: $5x - 2x = 3$ statt $3x$

Why: Beim Zusammenfassen gleichartiger Terme werden nur die Koeffizienten subtrahiert: $5x - 2x = (5-2)x = 3x$.

Correct: $5x - 2x = 3x$, nicht $3$. Die Variable bleibt!

Mistake: Vergessen, Operationen auf BEIDEN Seiten durchzuführen

Why: Eine Gleichung ist wie eine Waage. Wenn du nur eine Seite änderst, wird sie unausgeglichen (und falsch).

Correct: Schreibe immer beide Seiten auf: $5x - 2x - 3 = 2x - 2x + 9$

Mistake: Vorzeichenfehler beim Verschieben von Termen: $5x = 2x + 12$ wird zu $5x - 2x = 12$

Why: Wenn ein Term das Gleichheitszeichen überquert, ändert sich sein Vorzeichen. Aber $+12$ bleibt positiv, wenn es sich nicht bewegt.

Correct: $5x - 2x = 12$ nur wenn du $2x$ von beiden Seiten subtrahierst.

Mistake: Nicht ausmultiplizieren vor dem Zusammenfassen gleichartiger Terme

Why: Du kannst Terme innerhalb und außerhalb von Klammern nicht kombinieren, bis du ausmultipliziert hast.

Correct: Immer zuerst ausmultiplizieren: $3(x + 2) = 3x + 6$, dann gleichartige Terme zusammenfassen.

Handytarife vergleichen

Mobilfunkanbieter haben verschiedene Preisstrukturen. Gleichungen helfen, den Break-Even-Punkt zu finden.

Tarif A kostet 20 Euro plus 0,10 Euro pro Minute. Tarif B kostet 10 Euro plus 0,15 Euro pro Minute. Wann kosten sie gleich viel?

Aufholen bei einem Rennen

Wenn zwei Läufer an verschiedenen Positionen oder mit verschiedenen Geschwindigkeiten starten, können wir berechnen, wann sie sich treffen.

Läufer A startet 50 Meter voraus, läuft aber mit 6 m/s. Läufer B läuft mit 8 m/s. Wann holt B A ein?

Temperaturumrechnung

Die Celsius- und Fahrenheit-Skala treffen sich bei einer bestimmten Temperatur.

Bei welcher Temperatur ist Celsius gleich Fahrenheit? Verwende $F = \frac{9}{5}C + 32$.

Q: Spielt es eine Rolle, auf welcher Seite ich die Variablen sammle?

A: Nein! Du kannst die Variablen auf jeder Seite sammeln. Jedoch vermeidet das Sammeln auf der Seite mit dem größeren Koeffizienten oft negative Koeffizienten, was die Rechnung einfacher macht.

Q: Was ist, wenn ich $0 = 0$ als Antwort bekomme?

A: Das bedeutet, die Gleichung ist eine **Identität** - sie ist für ALLE Werte von x wahr. Zum Beispiel vereinfacht sich $2x + 4 = 2(x + 2)$ zu $0 = 0$, was bedeutet, dass jede Zahl funktioniert.

Q: Was ist, wenn ich so etwas wie $0 = 5$ bekomme?

A: Das bedeutet, es gibt **keine Lösung**. Die Gleichung ist ein Widerspruch. Zum Beispiel führt $x + 3 = x + 5$ zu $3 = 5$, was nie wahr ist.