Gleichung mit Variablen auf einer Seite

Löse: $2x + 7 = 15$

Identifiziere die Operationen mit $x$: $x$ wird mit $2$ multipliziert, dann wird $7$ addiert = Zwei Operationen rückgängig machen

Mache die Addition rückgängig (subtrahiere 7): $2x + 7 - 7 = 15 - 7$ = $2x = 8$

Mache die Multiplikation rückgängig (teile durch 2): $\frac{2x}{2} = \frac{8}{2}$ = $x = 4$

Überprüfe die Antwort: $2(4) + 7 = 8 + 7 = 15$ ✓ = Lösung bestätigt!

Answer: $x = 4$

Gleichung mit Variablen auf beiden Seiten

Löse: $5x - 3 = 2x + 12$

Bringe Variablen auf eine Seite: $5x - 2x - 3 = 2x - 2x + 12$ = $3x - 3 = 12$

Bringe Konstanten auf die andere Seite: $3x - 3 + 3 = 12 + 3$ = $3x = 15$

Isoliere die Variable: $\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}$ = $x = 5$

Überprüfe die Antwort: $5(5) - 3 = 22$ und $2(5) + 12 = 22$ ✓ = Beide Seiten ergeben 22!

Answer: $x = 5$

Gleichung mit Klammern

Löse: $3(x + 4) = 21$

Wende das Distributivgesetz an: $3 \cdot x + 3 \cdot 4 = 21$ = $3x + 12 = 21$

Subtrahiere 12 auf beiden Seiten: $3x + 12 - 12 = 21 - 12$ = $3x = 9$

Teile beide Seiten durch 3: $\frac{3x}{3} = \frac{9}{3}$ = $x = 3$

Überprüfe die Antwort: $3(3 + 4) = 3(7) = 21$ ✓ = Lösung bestätigt!

Answer: $x = 3$

Gleichung mit gleichartigen Termen

Löse: $4x + 3 - x = 18$

Fasse gleichartige Terme links zusammen: $4x - x + 3 = 18$ = $3x + 3 = 18$

Subtrahiere 3 auf beiden Seiten: $3x + 3 - 3 = 18 - 3$ = $3x = 15$

Teile beide Seiten durch 3: $\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}$ = $x = 5$

Überprüfe die Antwort: $4(5) + 3 - 5 = 20 + 3 - 5 = 18$ ✓ = Lösung bestätigt!

Answer: $x = 5$

Komplexe mehrstufige Gleichung

Löse: $2(3x - 1) = 4x + 6$

Multipliziere auf der linken Seite aus: $2 \cdot 3x - 2 \cdot 1 = 4x + 6$ = $6x - 2 = 4x + 6$

Bringe Variablen nach links: $6x - 4x - 2 = 4x - 4x + 6$ = $2x - 2 = 6$

Addiere 2 auf beiden Seiten: $2x - 2 + 2 = 6 + 2$ = $2x = 8$

Teile beide Seiten durch 2: $\frac{2x}{2} = \frac{8}{2}$ = $x = 4$

Überprüfe die Antwort: $2(3(4) - 1) = 2(11) = 22$ und $4(4) + 6 = 22$ ✓ = Beide Seiten ergeben 22!

Answer: $x = 4$

Mistake: Vergessen, auf ALLE Terme in der Klammer zu verteilen

Why: Bei $3(x + 4)$ müssen sowohl $x$ ALS AUCH $4$ mit $3$ multipliziert werden. Viele Schüler multiplizieren nur den ersten Term.

Correct: $3(x + 4) = 3x + 12$, nicht $3x + 4$

Mistake: Operationen nur auf einer Seite der Gleichung durchführen

Why: Eine Gleichung ist wie eine Waage. Was du auf einer Seite machst, musst du auch auf der anderen machen, um das Gleichgewicht zu halten.

Correct: Wenn du $5$ auf der linken Seite subtrahierst, subtrahiere $5$ auch auf der rechten Seite.

Mistake: Ungleichartige Terme zusammenfassen

Why: Du kannst nur Terme mit dem gleichen Variablenteil zusammenfassen. $3x$ und $5$ sind ungleichartige Terme.

Correct: $3x + 5 + 2x = 5x + 5$ (fasse $3x$ und $2x$ zusammen, behalte $5$ separat)

Mistake: Terme falsch verschieben (Vorzeichenfehler)

Why: Wenn du einen Term auf die andere Seite verschiebst, ändert sich sein Vorzeichen. Subtrahieren ist die Umkehrung von Addieren.

Correct: Wenn $x + 5 = 12$, dann $x = 12 - 5$, nicht $x = 12 + 5$

Sparziel

Berechne, wie viele Monate du sparen musst, um ein finanzielles Ziel zu erreichen.

Du hast 50€ gespart und sparst jeden Monat 25€ dazu. Die Gleichung $50 + 25m = 200$ sagt dir, wie viele Monate ($m$) du für einen 200€-Artikel sparen musst.

Handyvertrag

Vergleiche Handytarife, um den Break-Even-Punkt zu finden.

Tarif A kostet 20€ plus 0,10€ pro Minute. Tarif B kostet 35€ mit unbegrenzten Minuten. Die Gleichung $20 + 0,10m = 35$ findet heraus, wann sie gleich viel kosten.

Q: Ist es wichtig, auf welche Seite ich die Variablen bringe?

A: Nein! Du kannst Variablen auf beiden Seiten sammeln. Es ist jedoch oft einfacher, sie auf die Seite zu bringen, die einen positiven Koeffizienten ergibt. Zum Beispiel bei $2x = 5x - 9$: nach rechts verschieben ergibt $9 = 3x$ (positiv), nach links verschieben ergibt $-3x = -9$ (negativ).

Q: Was ist, wenn ich eine negative Antwort bekomme?

A: Negative Antworten sind völlig gültig! Zum Beispiel, wenn $2x + 10 = 4$, dann $2x = -6$ und $x = -3$. Überprüfe immer: $2(-3) + 10 = -6 + 10 = 4$ ✓

Q: Wie weiß ich, ob meine Antwort richtig ist?

A: Setze deine Antwort in die ursprüngliche Gleichung ein. Wenn beide Seiten gleich sind, ist deine Lösung richtig. Das nennt man Überprüfen oder Verifizieren der Lösung.