Eine Additions-Multiplikations-Gleichung lösen

Löse nach $x$: $2x + 5 = 13$

Identifiziere die auf x angewandten Operationen: $x$ wird mit 2 multipliziert, dann wird 5 addiert = Zwei Operationen: $\times 2$, dann $+ 5$

Addition zuerst rückgängig machen (5 von beiden Seiten subtrahieren): $2x + 5 - 5 = 13 - 5$ = $2x = 8$

Multiplikation rückgängig machen (beide Seiten durch 2 teilen): $\frac{2x}{2} = \frac{8}{2}$ = $x = 4$

Lösung überprüfen: $2(4) + 5 = 8 + 5 = 13$ ✓ = Richtig!

Answer: $x = 4$

Eine Subtraktions-Multiplikations-Gleichung lösen

Löse nach $x$: $3x - 7 = 14$

Identifiziere die auf x angewandten Operationen: $x$ wird mit 3 multipliziert, dann wird 7 subtrahiert = Zwei Operationen: $\times 3$, dann $- 7$

Subtraktion zuerst rückgängig machen (7 zu beiden Seiten addieren): $3x - 7 + 7 = 14 + 7$ = $3x = 21$

Multiplikation rückgängig machen (beide Seiten durch 3 teilen): $\frac{3x}{3} = \frac{21}{3}$ = $x = 7$

Lösung überprüfen: $3(7) - 7 = 21 - 7 = 14$ ✓ = Richtig!

Answer: $x = 7$

Eine Divisions-Additions-Gleichung lösen

Löse nach $x$: $\frac{x}{4} + 3 = 8$

Identifiziere die auf x angewandten Operationen: $x$ wird durch 4 geteilt, dann wird 3 addiert = Zwei Operationen: $\div 4$, dann $+ 3$

Addition zuerst rückgängig machen (3 von beiden Seiten subtrahieren): $\frac{x}{4} + 3 - 3 = 8 - 3$ = $\frac{x}{4} = 5$

Division rückgängig machen (beide Seiten mit 4 multiplizieren): $\frac{x}{4} \times 4 = 5 \times 4$ = $x = 20$

Lösung überprüfen: $\frac{20}{4} + 3 = 5 + 3 = 8$ ✓ = Richtig!

Answer: $x = 20$

Textaufgabe: Konzertkarten

Konzertkarten kosten 15€ pro Stück plus 12€ Servicegebühr. Maria hat insgesamt 72€ bezahlt. Wie viele Karten hat sie gekauft?

Variable definieren und Gleichung aufstellen: Sei $t$ = Anzahl der Karten. Kosten = $15t + 12$ = $15t + 12 = 72$

Addition rückgängig machen (12 von beiden Seiten subtrahieren): $15t + 12 - 12 = 72 - 12$ = $15t = 60$

Multiplikation rückgängig machen (beide Seiten durch 15 teilen): $\frac{15t}{15} = \frac{60}{15}$ = $t = 4$

Lösung überprüfen: $15(4) + 12 = 60 + 12 = 72$ ✓ = Maria hat 4 Karten gekauft

Answer: Maria hat 4 Karten gekauft

Lösen mit negativen Ergebnissen

Löse nach $x$: $4x + 10 = 2$

Identifiziere die auf x angewandten Operationen: $x$ wird mit 4 multipliziert, dann wird 10 addiert = Zwei Operationen: $\times 4$, dann $+ 10$

Addition rückgängig machen (10 von beiden Seiten subtrahieren): $4x + 10 - 10 = 2 - 10$ = $4x = -8$

Multiplikation rückgängig machen (beide Seiten durch 4 teilen): $\frac{4x}{4} = \frac{-8}{4}$ = $x = -2$

Lösung überprüfen: $4(-2) + 10 = -8 + 10 = 2$ ✓ = Richtig!

Answer: $x = -2$

Mistake: Dividieren vor Subtrahieren/Addieren

Why: Schüler versuchen, Operationen in der falschen Reihenfolge rückgängig zu machen. Bei $2x + 5 = 13$ ergibt zuerst Dividieren $x + 2,5 = 6,5$, was falsch ist.

Correct: Immer Addition/Subtraktion ZUERST rückgängig machen, dann Multiplikation/Division. Denke daran: PEMDAS umgekehrt!

Mistake: Operation nur auf einer Seite ausführen

Why: Vergessen, dass was auch immer du auf einer Seite machst, du auch auf der anderen machen musst, um die Gleichung im Gleichgewicht zu halten.

Correct: Stelle dir die Gleichung als Waage vor. Beide Seiten müssen gleich bleiben!

Mistake: Vorzeichenfehler beim Verschieben von Termen

Why: Verwechslung von Subtraktion mit Addition. Bei $3x - 7 = 14$ ergibt das Addieren von 7 (nicht Subtrahieren) zu beiden Seiten $3x = 21$.

Correct: Um Subtraktion rückgängig zu machen, addiere. Um Addition rückgängig zu machen, subtrahiere. Verwende die entgegengesetzte Operation!

Mistake: Vergessen, die Antwort zu überprüfen

Why: Ohne Überprüfung bleiben Fehler unbemerkt. Setze immer in die Originalgleichung ein.

Correct: Setze deine Antwort in die ursprüngliche Gleichung ein, um zu überprüfen, ob sie stimmt.

Einkaufen und Rabatte

Geschäfte verwenden zweistufige Berechnungen für Preise mit Rabatten oder Servicegebühren.

Ein Streaming-Dienst kostet 8€ pro Monat plus einmalig 20€ Aktivierungsgebühr. Wenn du insgesamt 68€ bezahlt hast, für wie viele Monate hast du dich angemeldet?

Temperaturumrechnung

Die Umrechnung zwischen Celsius und Fahrenheit verwendet eine zweistufige Gleichung.

Um Celsius in Fahrenheit umzurechnen: $F = \frac{9}{5}C + 32$. Wenn es draußen 77°F sind, wie ist die Temperatur in Celsius?

Geld verdienen

Viele Jobs zahlen einen Grundlohn plus Provision oder Trinkgeld.

Ein Verkäufer verdient 200€ Grundgehalt plus 15€ pro verkauftem Artikel. Diese Woche hat er 350€ verdient. Wie viele Artikel hat er verkauft?

Q: Warum machen wir Operationen in umgekehrter Reihenfolge rückgängig?

A: Denke daran wie beim An- und Ausziehen. Du ziehst erst Socken AN, dann Schuhe, aber du ziehst ZUERST Schuhe AUS, dann Socken. Bei $2x + 5$ multiplizieren wir zuerst mit 2, dann addieren wir 5. Zum Rückgängigmachen subtrahieren wir zuerst 5, dann dividieren wir durch 2.

Q: Woher weiß ich, welche Operation ich zuerst rückgängig machen soll?

A: Schau, was mit der Variablen passiert. Beginne damit, das rückgängig zu machen, was am weitesten von der Variablen entfernt ist (der konstante Term), dann das, was am nächsten ist (der Koeffizient).

Q: Kann die Antwort ein Bruch oder eine Dezimalzahl sein?

A: Ja! Zum Beispiel ergibt $2x + 1 = 4$ das Ergebnis $x = 1,5$ oder $x = \frac{3}{2}$. Nicht alle Gleichungen haben ganzzahlige Lösungen.