Vollständiges Faktorisieren

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Was ist der erste Schritt beim vollständigen Faktorisieren eines Polynoms?
1. a)Gruppieren versuchen
2. b)Den GGT ausklammern
3. c)Nach Differenz von Quadraten suchen
4. d)Raten und prüfen
Lösung: Den GGT ausklammern
Suche immer zuerst nach einem GGT! Das vereinfacht das Polynom und macht andere Faktorisierungstechniken einfacher anzuwenden.
2.
Faktorisiere vollständig: . Gib deine Antwort in der Form ein.
Lösung: 2(x+2)(x-2)
. Zuerst klammern wir den GGT von 2 aus, dann erkennen wir als Differenz von Quadraten.
3.
Welcher Ausdruck ist vollständig faktorisiert?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
ist vollständig faktorisiert. kann noch faktorisiert werden (Differenz von Quadraten). hat einen GGT von 3 im ersten Faktor. ist überhaupt nicht faktorisiert.
4.
Faktorisiere vollständig:
Lösung: 5(x+1)(x+2)
1. Was ist der GGT aller drei Terme? 5
2. Welches Trinom bleibt nach dem Ausklammern von 5? x^2 + 3x + 2
3. Welche zwei Zahlen multiplizieren zu 2 und addieren zu 3? 1 und 2
4. Schreibe die vollständige Faktorisierung. 5(x+1)(x+2)
5.
Faktorisiere vollständig:
Lösung: 3x(x+1)(x-1)
. Klammere zuerst den GGT aus, dann erkenne als Differenz von Quadraten.
6.
Faktorisiere vollständig:
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
. Beachte, dass eine Summe von Quadraten ist und nicht über reelle Zahlen faktorisiert werden kann.
7.
Faktorisiere vollständig:
Lösung: 2x(x+3)(x-1)
1. Was ist der GGT aller drei Terme? 2x
2. Welches Trinom bleibt nach dem Ausklammern von ? x^2 + 2x - 3
3. Welche zwei Zahlen multiplizieren zu und addieren zu ? 3 und -1
4. Schreibe die vollständige Faktorisierung. 2x(x+3)(x-1)
8.
Faktorisiere vollständig:
Lösung: 4(x+3)(x-3)
. Klammere immer zuerst den GGT aus!
9.
Warum kann nicht über den reellen Zahlen faktorisiert werden?
1. a)Es ist bereits vollständig faktorisiert
2. b)Es muss zuerst gruppiert werden
3. c)Es ist eine Summe von Quadraten, die keine reellen Faktoren hat
4. d)Der GGT ist 1
Lösung: Es ist eine Summe von Quadraten, die keine reellen Faktoren hat
Eine Summe von Quadraten () kann nicht in reelle Faktoren faktorisiert werden. Nur die Differenz von Quadraten () kann als faktorisiert werden.
10.
Faktorisiere vollständig:
Lösung: 3(x+2)(x^2-2x+4)
1. Was ist der GGT? 3
2. Welcher Ausdruck bleibt nach dem Ausklammern von 3? x^3 + 8
3. Welches Muster ist ? Summe von Kuben
4. Schreibe die vollständige Faktorisierung mit der Summe-von-Kuben-Formel. 3(x+2)(x^2-2x+4)
11.
Faktorisiere vollständig:
Lösung: 6y(x+2)(x-2)
. Der GGT ist , und ist eine Differenz von Quadraten.
12.
Faktorisiere vollständig:
Lösung: 2(x^2+9)(x+3)(x-3)
1. Was ist der GGT? 2
2. Was bleibt nach dem Ausklammern von 2? x^4 - 81
3. Erkenne das Muster: . Faktorisiere diese Differenz von Quadraten. (x^2+9)(x^2-9)
4. Kann weiter faktorisiert werden? ja
5. Schreibe die vollständige Faktorisierung. 2(x^2+9)(x+3)(x-3)
13.
Faktorisiere vollständig:
Lösung: 5(x-2)(x^2+2x+4)
. Mit wobei und .
14.
Faktorisiere vollständig:
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Gruppiere: .
15.
Faktorisiere vollständig:
Lösung: -3x(x-5)(x+1)
1. Was ist der GGT (einschließlich des negativen Vorzeichens)? -3x
2. Welches Trinom bleibt nach dem Ausklammern von ? x^2 - 4x - 5
3. Welche zwei Zahlen multiplizieren zu und addieren zu ? -5 und 1
4. Schreibe die vollständige Faktorisierung. -3x(x-5)(x+1)
16.
Faktorisiere vollständig:
Lösung: (x+1)(x-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)
. Verwende Differenz von Quadraten, dann Summe und Differenz von Kuben.