Faktorisieren von Trinomen (a=1)

Lerne, quadratische Trinome zu faktorisieren, bei denen der Leitkoeffizient 1 ist.

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Definition

Ein Trinom ist ein Polynom mit drei Gliedern. Beim Faktorisieren von Trinomen der Form x2+bx+cx^2 + bx + c finden wir zwei Binome, die multipliziert den ursprünglichen Ausdruck ergeben.
x2+bx+c=(x+m)(x+n)x^2 + bx + c = (x + m)(x + n)
wobei mm und nn Zahlen sind, die erfüllen:
  • Summe: m+n=bm + n = b (der Koeffizient von xx)
  • Produkt: m×n=cm \times n = c (das konstante Glied)
Diese Methode funktioniert, weil beim Ausmultiplizieren von (x+m)(x+n)(x + m)(x + n) mit der FOIL-Methode:
x2+nx+mx+mn=x2+(m+n)x+mnx^2 + nx + mx + mn = x^2 + (m+n)x + mn

Probier es gleich aus

Welche zwei Zahlen addieren sich zu 7 und multiplizieren sich zu 12?

Lösungsbeispiele

Faktorisiere: x2+7x+12x^2 + 7x + 12
1

Identifiziere, was wir brauchen

Finde zwei Zahlen, die ADDIERT 7 und MULTIPLIZIERT 12 ergeben → Summe = 7, Produkt = 12
2

Liste Faktorpaare von 12 auf

1×121 \times 12, 2×62 \times 6, 3×43 \times 4 → Drei Möglichkeiten
3

Prüfe, welches Paar 7 ergibt

1+12=131 + 12 = 13 (nein), 2+6=82 + 6 = 8 (nein), 3+4=73 + 4 = 7 (ja!) → m=3m = 3, n=4n = 4
4

Schreibe die faktorisierte Form

(x+3)(x+4)(x + 3)(x + 4)
5

Überprüfe durch Ausmultiplizieren

x2+4x+3x+12=x2+7x+12x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12 \checkmark → Korrekt!

Häufige Fehler

Verwechseln von Summen- und Produktanforderungen

Warum es falsch ist: Schüler suchen manchmal nach Zahlen, die zu bb multiplizieren und zu cc addieren, obwohl es umgekehrt sein sollte.

Richtig: Merke: Die Zahlen ADDIEREN sich zum mittleren Koeffizienten (bb) und MULTIPLIZIEREN sich zur Konstante (cc).

Vergessen, negative Faktoren zu berücksichtigen

Warum es falsch ist: Wenn cc positiv aber bb negativ ist, müssen beide Faktoren negativ sein.

Richtig: Verwende die Vorzeichenregeln: positives Produkt bedeutet gleiche Vorzeichen, negatives Produkt bedeutet verschiedene Vorzeichen.

(x+3)(x+4)(x + 3)(x + 4) als x2+34x^2 + 34 schreiben

Warum es falsch ist: Dieser Fehler entsteht durch Addieren der Konstanten statt korrektem Ausmultiplizieren.

Richtig: Immer durch FOIL überprüfen: (x+3)(x+4)=x2+4x+3x+12=x2+7x+12(x+3)(x+4) = x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12

Annehmen, dass alle Trinome mit ganzen Zahlen faktorisiert werden können

Warum es falsch ist: Manche Trinome sind prim (können nicht mit ganzen Zahlen faktorisiert werden).

Richtig: Wenn kein ganzzahliges Paar funktioniert, ist das Trinom prim. Beispiel: x2+5x+3x^2 + 5x + 3 hat keine ganzzahligen Faktoren.

Interaktive Visualisierung

Flächenmodell: ein Trinom faktorisieren

Lege x², die x-Streifen und die Einheitsquadrate zu einem Rechteck: Seine Seiten sind die Faktoren.

x2x^2
3x3x
4x4x
1212
xx
33
xx
44

Länge × Breite = Fläche

x2+7x+12=(x+3)(x+4)x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

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Übungsaufgaben

16 Aufgaben
Aufgabe 1 von 16
Einfach
Welche zwei Zahlen addieren sich zu 7 und multiplizieren sich zu 12?

Warum es wichtig ist

Das Faktorisieren von Trinomen ist essentiell für:
  • Lösen quadratischer Gleichungen: Jeden Faktor gleich Null setzen ergibt die Lösungen
  • Zeichnen von Parabeln: Die faktorisierte Form zeigt die Nullstellen
  • Vereinfachen von Ausdrücken: Faktorisierte Formen sind leichter bei Brüchen
  • Physik und Ingenieurwesen: Wurfbewegungen, Optimierungsprobleme
Das Beherrschen dieser Fähigkeit öffnet die Tür zu fortgeschrittener Algebra und Analysis!

Anwendungen im echten Leben

Wurfbewegung

Wenn ein Objekt nach oben geworfen wird, folgt seine Höhe einem quadratischen Muster. Faktorisieren hilft zu finden, wann es auf dem Boden landet.

Beispiel:

Die Höhe eines Balls ist gegeben durch h=−t2+5t+6h = -t^2 + 5t + 6. Faktorisieren von −1(t2−5t−6)=−(t−6)(t+1)-1(t^2 - 5t - 6) = -(t-6)(t+1) zeigt, dass er bei t=6t = 6 Sekunden landet.

1Probiere es selbst

Die Höhe einer Rakete über dem Boden wird modelliert durch h=−t2+8t−12h = -t^2 + 8t - 12 (in Metern, nach tt Sekunden).

Zu welchen Zeiten ist die Rakete auf Bodenhöhe?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Faktorisiere: t2−8t+12t^2 - 8t + 12

Gartengestaltung

Landschaftsarchitekten nutzen Faktorisieren, um Maße bei gegebenen Flächenbeschränkungen zu bestimmen.

Beispiel:

Die Fläche eines Gartens beträgt x2+11x+24x^2 + 11x + 24 Quadratmeter. Faktorisieren ergibt (x+3)(x+8)(x + 3)(x + 8), was mögliche Maße zeigt.

2Probiere es selbst

Ein rechteckiger Pool hat eine Fläche von x2+10x+21x^2 + 10x + 21 Quadratmetern.

Was sind die Maße des Pools in Abhängigkeit von xx?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Faktorisiere: x2+10x+21x^2 + 10x + 21

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Für x2+bx+cx^2 + bx + c finde zwei Zahlen, die sich zu bb ADDIEREN und zu cc MULTIPLIZIEREN
  • 2Wenn c>0c > 0 und b>0b > 0: beide Faktoren sind positiv
  • 3Wenn c>0c > 0 und b<0b < 0: beide Faktoren sind negativ
  • 4Wenn c<0c < 0: ein Faktor ist positiv, einer ist negativ (der größere hat das Vorzeichen von bb)
  • 5Überprüfe deine Antwort immer durch Ausmultiplizieren mit FOIL

Häufig gestellte Fragen

Das Trinom könnte prim sein (kann nicht mit ganzen Zahlen faktorisiert werden). Zum Beispiel hat x2+5x+3x^2 + 5x + 3 keine ganzzahligen Faktorpaare, die 5 ergeben und 3 multiplizieren.
Das Trinom könnte prim sein (kann nicht mit ganzen Zahlen faktorisiert werden). Zum Beispiel hat x2+5x+3x^2 + 5x + 3 keine ganzzahligen Faktorpaare, die 5 ergeben und 3 multiplizieren.
Nein! (x+3)(x+4)(x + 3)(x + 4) ist dasselbe wie (x+4)(x+3)(x + 4)(x + 3) aufgrund des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Das erfordert eine andere Methode (AC-Methode oder Probieren). Diese Lektion konzentriert sich nur auf Trinome, bei denen a=1a = 1.

Glossar

Trinom
Ein Polynom mit genau drei Gliedern (z.B. x2+5x+6x^2 + 5x + 6)
Faktorisieren
Einen Ausdruck als Produkt einfacherer Ausdrücke schreiben
Leitkoeffizient
Der Koeffizient des Gliedes mit dem höchsten Grad (die Zahl vor x2x^2)
Primes Polynom
Ein Polynom, das nicht mit ganzen Zahlen faktorisiert werden kann

Formelkarte

Faktorisierungsmuster

x2+bx+c=(x+m)(x+n)x^2 + bx + c = (x + m)(x + n)

wobei $m + n = b$ und $m \times n = c$

Vorzeichenregeln

c>0⇒gleiche Vorzeichenc<0⇒verschiedene Vorzeichenc > 0 \Rightarrow \text{gleiche Vorzeichen} \quad c < 0 \Rightarrow \text{verschiedene Vorzeichen}

Das Vorzeichen von $b$ bestimmt, welcher Faktor größer ist, wenn die Vorzeichen verschieden sind

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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