Einfaches Trinom

Löse: $x^2 + 7x + 12 = 0$

Identifiziere die Gleichungsform: Bereits in Normalform: $x^2 + 7x + 12 = 0$ = $a = 1$, $b = 7$, $c = 12$

Faktorisiere das Trinom: Finde zwei Zahlen, die zu 12 multipliziert und zu 7 addiert werden: $3 \times 4 = 12$ und $3 + 4 = 7$ = $(x + 3)(x + 4) = 0$

Wende die Nullproduktregel an: Wenn $(x + 3)(x + 4) = 0$, dann ist $x + 3 = 0$ oder $x + 4 = 0$ = Zwei Gleichungen zu lösen

Löse jede Gleichung: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$ und $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$ = $x = -3$ oder $x = -4$

Answer: $x = -3$ oder $x = -4$

Differenz von Quadraten

Löse: $x^2 - 25 = 0$

Erkenne das Muster: $x^2 - 25 = x^2 - 5^2$ ist eine Differenz von Quadraten = Verwende Formel $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

Faktorisiere mit der Formel: $x^2 - 25 = (x + 5)(x - 5)$ = $(x + 5)(x - 5) = 0$

Wende die Nullproduktregel an: $x + 5 = 0$ oder $x - 5 = 0$ = Zwei lineare Gleichungen

Löse jede Gleichung: $x = -5$ oder $x = 5$ = $x = \pm 5$

Answer: $x = 5$ oder $x = -5$

Gleichung nicht in Normalform

Löse: $x^2 = 3x + 10$

Schreibe in Normalform um: $x^2 - 3x - 10 = 0$ (subtrahiere $3x$ und $10$ von beiden Seiten) = Normalform erreicht

Faktorisiere das Trinom: Finde Zahlen, die zu $-10$ multipliziert und zu $-3$ addiert werden: $(-5) \times 2 = -10$ und $(-5) + 2 = -3$ = $(x - 5)(x + 2) = 0$

Wende die Nullproduktregel an: $x - 5 = 0$ oder $x + 2 = 0$ = Zwei Gleichungen

Löse und überprüfe: $x = 5$ oder $x = -2$. Probe: $5^2 = 25$ und $3(5) + 10 = 25$ ✓ = Beide Lösungen verifiziert

Answer: $x = 5$ oder $x = -2$

Leitkoeffizient ungleich 1

Löse: $2x^2 + 5x - 3 = 0$

Identifiziere Koeffizienten: $a = 2$, $b = 5$, $c = -3$ = Produkt $ac = 2 \times (-3) = -6$

Faktorisiere durch Gruppieren: Finde Zahlen, die zu $-6$ multipliziert und zu $5$ addiert werden: $6 \times (-1) = -6$ und $6 + (-1) = 5$ = Teile mittleren Term: $2x^2 + 6x - x - 3$

Gruppiere und faktorisiere: $2x(x + 3) - 1(x + 3) = (2x - 1)(x + 3)$ = $(2x - 1)(x + 3) = 0$

Löse jeden Faktor: $2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ und $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$ = $x = \frac{1}{2}$ oder $x = -3$

Answer: $x = \frac{1}{2}$ oder $x = -3$

Zuerst ggT ausklammern

Löse: $3x^2 - 12x = 0$

Klammere ggT aus: $3x^2 - 12x = 3x(x - 4)$ = $3x(x - 4) = 0$

Wende die Nullproduktregel an: $3x = 0$ oder $x - 4 = 0$ = Zwei Gleichungen

Löse die erste Gleichung: $3x = 0 \Rightarrow x = 0$ = $x = 0$

Löse die zweite Gleichung: $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$ = $x = 4$

Answer: $x = 0$ oder $x = 4$

Mistake: Beide Seiten durch $x$ dividieren (verliert die Lösung $x = 0$)

Why: Wenn du durch $x$ dividierst, nimmst du an, dass $x \neq 0$. Aber $x = 0$ könnte eine gültige Lösung sein!

Correct: Klammere stattdessen $x$ aus: $x^2 - 5x = 0 \Rightarrow x(x - 5) = 0$, gibt $x = 0$ oder $x = 5$

Mistake: Vergessen, die Gleichung zuerst gleich null zu setzen

Why: Die Nullproduktregel funktioniert nur, wenn das Produkt null ist, nicht bei irgendeiner anderen Zahl.

Correct: Schreibe immer als $\text{Ausdruck} = 0$ um, bevor du faktorisierst. Zum Beispiel: $x^2 = 9$ wird zu $x^2 - 9 = 0$

Mistake: Nur eine Lösung schreiben, wenn es zwei gibt

Why: Quadratische Gleichungen können zwei verschiedene Lösungen haben, und beide sind gültig.

Correct: Prüfe immer beide Faktoren. $(x - 2)(x - 3) = 0$ gibt ZWEI Lösungen: $x = 2$ UND $x = 3$

Mistake: Vorzeichenfehler beim Faktorisieren

Why: Die Vorzeichen in der faktorisierten Form bestimmen die Vorzeichen der Lösungen.

Correct: $(x + 3) = 0$ gibt $x = -3$ (entgegengesetztes Vorzeichen). $(x - 3) = 0$ gibt $x = 3$ (gleiches Vorzeichen)

Wurfbewegung

Wenn ein Objekt nach oben geworfen wird, folgt seine Höhe einer quadratischen Gleichung. Zu finden, wann es den Boden trifft, bedeutet zu lösen, wann die Höhe null ist.

Die Höhe eines Balls ist $h = -t^2 + 4t + 5$ Meter nach $t$ Sekunden. Wann trifft er den Boden? Löse $-t^2 + 4t + 5 = 0$, oder äquivalent $t^2 - 4t - 5 = 0$. Faktorisierung: $(t - 5)(t + 1) = 0$, also $t = 5$ Sekunden (wir ignorieren $t = -1$, da Zeit nicht negativ sein kann).

Flächenprobleme

Das Finden von Maßen, wenn man die Fläche kennt, führt oft zu quadratischen Gleichungen.

Ein rechteckiger Garten hat eine Länge, die 3 Meter größer ist als seine Breite. Wenn die Fläche 40 Quadratmeter beträgt, finde die Maße. Sei Breite = $x$. Dann: $x(x + 3) = 40$, also $x^2 + 3x - 40 = 0$. Faktorisierung: $(x + 8)(x - 5) = 0$, gibt $x = 5$ Meter (Breite). Länge = 8 Meter.

Q: Was ist, wenn die Gleichung nicht schön faktorisiert werden kann?

A: Nicht alle quadratischen Gleichungen können mit ganzen Zahlen faktorisiert werden. In diesen Fällen verwende die quadratische Formel: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Faktorisieren funktioniert am besten, wenn die Lösungen rationale Zahlen sind.

Q: Kann eine quadratische Gleichung nur eine Lösung haben?

A: Ja! Dies passiert, wenn das Trinom ein vollständiges Quadrat ist. Zum Beispiel faktorisiert $x^2 - 6x + 9 = 0$ als $(x - 3)^2 = 0$ und gibt nur $x = 3$ (eine doppelte Nullstelle).

Q: Warum setzen wir Faktoren gleich null?

A: Null ist besonders: Es ist die einzige Zahl, bei der, wenn ein Produkt ihr gleicht, mindestens ein Faktor ihr gleichen muss. Wenn $ab = 6$, gibt es unendlich viele Möglichkeiten. Aber wenn $ab = 0$, ist entweder $a = 0$ oder $b = 0$.