Ungleichungen lösen und darstellen

Lerne, wie man ein- und zweistufige Ungleichungen löst und Lösungen auf dem Zahlenstrahl darstellt.

Mittelstufe25 MinLektion
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Definition

Eine Ungleichung ist eine mathematische Aussage, die zwei Ausdrücke mit Ungleichheitszeichen vergleicht:
SymbolBedeutungBeispiel
<<Kleiner alsx<5x < 5
>>Größer alsx>3x > 3
≤\leqKleiner oder gleichx≤7x \leq 7
≥\geqGrößer oder gleichx≥−2x \geq -2
Im Gegensatz zu Gleichungen (die eine Lösung haben) haben Ungleichungen unendlich viele Lösungen.
Zum Beispiel bedeutet x>3x > 3, dass xx gleich 4, 5, 10, 3,5 oder jede andere Zahl größer als 3 sein kann.
Wichtige Regel: Wenn du beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst, musst du das Ungleichheitszeichen umdrehen.
−2x>6  ⟹  x<−3-2x > 6 \implies x < -3

Probier es gleich aus

Welches Symbol bedeutet 'größer oder gleich'?

Lösungsbeispiele

Löse x+5>12x + 5 > 12 und stelle die Lösung dar.
1

Identifiziere die Operation

5 wird zu xx addiert → Muss 5 subtrahieren
2

Subtrahiere 5 von beiden Seiten

x+5−5>12−5x + 5 - 5 > 12 - 5 → x>7x > 7
3

Stelle auf dem Zahlenstrahl dar

Offener Kreis bei 7, nach rechts schraffieren → Alle Zahlen größer als 7

Häufige Fehler

Vergessen, das Zeichen umzudrehen, wenn durch eine negative Zahl dividiert wird

Warum es falsch ist: Der häufigste Fehler! Beim Dividieren (oder Multiplizieren) durch eine negative Zahl kehrt sich die Ungleichungsrichtung um.

Richtig: −2x>8-2x > 8 wird zu x<−4x < -4 (nicht x>−4x > -4). Das Zeichen MUSS umgedreht werden.

Geschlossenen Kreis für strenge Ungleichungen (<< oder >>) verwenden

Warum es falsch ist: Strenge Ungleichungen (<<, >>) schließen den Grenzwert NICHT ein.

Richtig: x>5x > 5: Offener Kreis bei 5 (5 ist nicht enthalten). x≥5x \geq 5: Geschlossener Kreis bei 5 (5 ist enthalten).

In die falsche Richtung schraffieren

Warum es falsch ist: Schüler schraffieren manchmal basierend auf dem Zeichen, ohne die Position der Variable zu prüfen.

Richtig: Teste immer einen Wert: Für x>3x > 3, teste x=5x = 5. Da 5>35 > 3 wahr ist, schraffiere den Bereich, der 5 enthält.

Das Zeichen umdrehen, wenn negative Zahlen subtrahiert werden

Warum es falsch ist: Die Umdrehregel gilt NUR für Multiplikation und Division durch negative Zahlen, nicht für Addition/Subtraktion.

Richtig: x−(−5)>2x - (-5) > 2 wird zu x+5>2x + 5 > 2, dann x>−3x > -3. Kein Umdrehen bei Subtraktion nötig.

Interaktive Visualisierung

bis

x ≥ 4·[4, ∞)

Klicke auf Zahlen, um sie auszuwählen. Passe den Bereich an, um verschiedene Werte zu erkunden.

bis

x < -5·(−∞, -5)

Klicke auf Zahlen, um sie auszuwählen. Passe den Bereich an, um verschiedene Werte zu erkunden.

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

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Übungsaufgaben

15 Aufgaben
Aufgabe 1 von 15
Einfach
Welches Symbol bedeutet 'größer oder gleich'?

Warum es wichtig ist

Ungleichungen beschreiben reale Situationen mit Bereichen und Grenzen:
  • Altersanforderungen: Du musst mindestens 16 sein, um Auto zu fahren (Alter≥16\text{Alter} \geq 16)
  • Geschwindigkeitsbegrenzungen: Fahre nicht schneller als 50 km/h (Geschwindigkeit≤50\text{Geschwindigkeit} \leq 50)
  • Budgetgrenzen: Gib weniger als 100€ aus (Kosten<100\text{Kosten} < 100)
  • Temperaturbereiche: Wasser bleibt flüssig zwischen 0 und 100 Grad Celsius
  • Noten: Du brauchst mindestens 60 Punkte zum Bestehen (Punktzahl≥60\text{Punktzahl} \geq 60)
Ungleichungen helfen uns, Bedingungen, Einschränkungen und Bereiche auszudrücken, die überall im Alltag vorkommen!

Anwendungen im echten Leben

Budgetplanung

Bestimme, wie viele Artikel du kaufen kannst und dabei im Budget bleibst.

Beispiel:

Konzertkarten kosten 25€ pro Stück, plus 15€ Servicegebühr. Wenn du 90€ hast, wie viele Karten kannst du kaufen? 25t+15≤9025t + 15 \leq 90

1Probiere es selbst

Ein Streaming-Dienst kostet 12€ pro Monat. Du möchtest weniger als 150€ pro Jahr für Streaming ausgeben.

Für wie viele Monate kannst du abonnieren?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Löse 12m<15012m < 150. Was ist die größte ganze Anzahl Monate?

Geschwindigkeit und Entfernung

Berechne sichere Fahrgeschwindigkeiten, um pünktlich anzukommen.

Beispiel:

Du musst mindestens 200 km in 4 Stunden fahren. Welche Durchschnittsgeschwindigkeit ist erforderlich? 4s≥2004s \geq 200, also s≥50s \geq 50 km/h.

2Probiere es selbst

Ein Lieferwagen muss 300 km fahren. Um ein Bußgeld zu vermeiden, darf der Fahrer durchschnittlich höchstens 80 km/h fahren.

Was ist die Mindestzeit für die Fahrt?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Wenn Geschwindigkeit=StreckeZeit\text{Geschwindigkeit} = \frac{\text{Strecke}}{\text{Zeit}}, dann 300t≤80\frac{300}{t} \leq 80. Löse nach dem kleinsten tt auf (in Stunden).

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Ungleichungen vergleichen Ausdrücke mit <<, >>, ≤\leq, ≥\geq
  • 2Löse Ungleichungen wie Gleichungen: addiere, subtrahiere, multipliziere, dividiere auf beiden Seiten
  • 3Wichtige Regel: Drehe das Ungleichheitszeichen um, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst
  • 4Stelle Lösungen dar: offener Kreis für << und >>, geschlossener Kreis für ≤\leq und ≥\geq
  • 5Schraffiere den Zahlenstrahl in Richtung der Lösungsmenge

Häufig gestellte Fragen

Nur wenn du beide Seiten mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst. Addieren oder Subtrahieren (auch von negativen Zahlen) erfordert kein Umdrehen.
Nur wenn du beide Seiten mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst. Addieren oder Subtrahieren (auch von negativen Zahlen) erfordert kein Umdrehen.
<< bedeutet streng kleiner als (nicht gleich), dargestellt mit einem offenen Kreis. ≤\leq bedeutet kleiner als ODER gleich, dargestellt mit einem geschlossenen Kreis.
Wähle einen Wert aus deiner Lösungsmenge und setze ihn in die ursprüngliche Ungleichung ein. Wenn die Ungleichung wahr wird, ist deine Antwort wahrscheinlich richtig.

Glossar

Ungleichung
Eine mathematische Aussage, die zwei Ausdrücke mit <<, >>, ≤\leq oder ≥\geq vergleicht
Lösungsmenge
Alle Werte, die eine Ungleichung wahr machen
Offener Kreis
Wird auf dem Zahlenstrahl verwendet, um zu zeigen, dass ein Wert NICHT enthalten ist (<< oder >>)
Geschlossener Kreis
Wird auf dem Zahlenstrahl verwendet, um zu zeigen, dass ein Wert enthalten IST (≤\leq oder ≥\geq)
Grenzwert
Der Wert, an dem die Ungleichung von wahr zu falsch wechselt
Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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