Addition und Multiplikation

Löse: $3x + 7 > 22$

Identifiziere die Operationen auf x: $x$ wird mit 3 multipliziert, dann wird 7 addiert = Operationen: ×3, dann +7

Mache zuerst die Addition rückgängig: Subtrahiere 7 von beiden Seiten: $3x + 7 - 7 > 22 - 7$ = $3x > 15$

Mache die Multiplikation rückgängig: Dividiere beide Seiten durch 3: $\frac{3x}{3} > \frac{15}{3}$ = $x > 5$

Überprüfe mit einem Wert: Versuche $x = 6$: $3(6) + 7 = 25$, und $25 > 22$ ✓ = Lösung verifiziert

Answer: $x > 5$. Jede Zahl größer als 5 ist eine Lösung.

Subtraktion und Division

Löse: $\frac{x}{4} - 3 \leq 2$

Identifiziere die Operationen: $x$ wird durch 4 dividiert, dann wird 3 subtrahiert = Operationen: ÷4, dann −3

Mache zuerst die Subtraktion rückgängig: Addiere 3 zu beiden Seiten: $\frac{x}{4} - 3 + 3 \leq 2 + 3$ = $\frac{x}{4} \leq 5$

Mache die Division rückgängig: Multipliziere beide Seiten mit 4: $\frac{x}{4} \times 4 \leq 5 \times 4$ = $x \leq 20$

Überprüfe den Grenzwert: Versuche $x = 20$: $\frac{20}{4} - 3 = 2$, und $2 \leq 2$ ✓ = Grenzwert eingeschlossen

Answer: $x \leq 20$. Die Lösung enthält 20 und alle kleineren Zahlen.

Negativer Koeffizient (UMKEHREN erforderlich!)

Löse: $-2x + 8 < 14$

Identifiziere die Operationen: $x$ wird mit $-2$ multipliziert, dann wird 8 addiert = Operationen: ×(−2), dann +8

Mache zuerst die Addition rückgängig: Subtrahiere 8 von beiden Seiten: $-2x + 8 - 8 < 14 - 8$ = $-2x < 6$

Dividiere durch NEGATIV: Dividiere beide Seiten durch $-2$: $\frac{-2x}{-2}$ ? $\frac{6}{-2}$ = UMKEHREN erforderlich!

Wende die Umkehr-Regel an: $<$ wird zu $>$ beim Dividieren durch Negativ = $x > -3$

Verifiziere die Umkehrung: Versuche $x = 0$: $-2(0) + 8 = 8$, und $8 < 14$ ✓ = Umkehrung bestätigt!

Answer: $x > -3$. Weil wir durch eine negative Zahl dividiert haben, haben wir das Zeichen umgekehrt!

Konstanter Term zuerst

Löse: $5 - 4x \geq 17$

In Standardform umschreiben: Beachte: Konstante (5) kommt zuerst, dann $-4x$ = $5 - 4x \geq 17$

Isoliere den Variablenterm: Subtrahiere 5 von beiden Seiten: $-4x \geq 12$ = $-4x \geq 12$

Dividiere durch NEGATIVEN Koeffizienten: Dividiere durch $-4$ und KEHRE UM: $x \leq \frac{12}{-4}$ = $x \leq -3$

Überprüfe die Lösung: Versuche $x = -4$: $5 - 4(-4) = 5 + 16 = 21$, und $21 \geq 17$ ✓ = Verifiziert!

Answer: $x \leq -3$. Wir haben $\geq$ zu $\leq$ umgekehrt, weil wir durch $-4$ dividiert haben.

Bruch mit zwei Schritten

Löse: $\frac{2x - 6}{3} > 4$

Eliminiere den Nenner: Multipliziere beide Seiten mit 3: $2x - 6 > 12$ = Keine Umkehrung (3 ist positiv)

Mache die Subtraktion rückgängig: Addiere 6 zu beiden Seiten: $2x > 18$ = $2x > 18$

Mache die Multiplikation rückgängig: Dividiere durch 2: $x > 9$ = $x > 9$

Verifiziere: Versuche $x = 10$: $\frac{2(10) - 6}{3} = \frac{14}{3} \approx 4,67$, und $4,67 > 4$ ✓ = Verifiziert!

Answer: $x > 9$. Beim Auflösen von Brüchen multipliziere alle Terme mit dem Nenner.

Variable auf der rechten Seite

Löse: $10 < 3 - 7x$

Strategie: Wir können so lösen oder mit Variable links umschreiben = Lösen wie geschrieben

Isoliere den Term mit x: Subtrahiere 3 von beiden Seiten: $7 < -7x$ = $7 < -7x$

Dividiere durch NEGATIV: Dividiere durch $-7$ und KEHRE UM: $\frac{7}{-7} > x$ = $-1 > x$

Schreibe um mit x links: $-1 > x$ ist dasselbe wie $x < -1$ = $x < -1$

Answer: $x < -1$. Du kannst mit der Variable auf jeder Seite lösen, sei nur vorsichtig mit der Umkehrung!

Mistake: Operationen in der falschen Reihenfolge rückgängig machen

Why: Schüler versuchen zuerst zu dividieren, anstatt zuerst Addition/Subtraktion zu behandeln.

Correct: Mache immer Addition/Subtraktion rückgängig BEVOR du Multiplikation/Division rückgängig machst. Denke an PEMDAS rückwärts!

Mistake: Vergessen umzukehren beim Dividieren durch Negativ

Why: Nach mehreren Schritten verlieren Schüler den Überblick, ob sie durch positiv oder negativ dividieren.

Correct: Kreise den Koeffizienten ein! Wenn er negativ ist und du dividierst, schreibe eine große UMKEHR-Erinnerung.

Mistake: Operationen nur auf eine Seite anwenden

Why: Bei zwei Schritten vergessen Schüler manchmal, die zweite Operation auf beide Seiten anzuwenden.

Correct: Was immer du mit der linken Seite machst, MUSST du auch mit der rechten Seite machen. Überprüfe beide Seiten bei jedem Schritt.

Mistake: Falsches Verteilen bei negativen Vorzeichen

Why: Bei Problemen wie $5 - 4x \geq 17$ gehen Schüler falsch mit dem negativen Koeffizienten um.

Correct: Achte sorgfältig auf Vorzeichen. $5 - 4x$ bedeutet $+5$ und $-4x$. Der Koeffizient von $x$ ist $-4$.

Handyvertrag-Budget

Mobilfunkverträge haben oft eine feste monatliche Gebühr plus Kosten für zusätzliche Daten oder Minuten.

Ein Vertrag kostet 25 Euro pro Monat plus 3 Euro pro GB zusätzlicher Daten. Wenn du höchstens 40 Euro ausgeben kannst: $25 + 3g \leq 40$, also $g \leq 5$ GB.

Sparen für einen Kauf

Wenn du etwas kaufen möchtest, aber auch einen Mindestbetrag behalten musst.

Du hast 180 Euro gespart. Nach wöchentlichen Ausgaben von 12 Euro willst du mindestens 60 Euro übrig haben. Wie viele Wochen, bis du aufhören musst? $180 - 12w \geq 60$.

Temperaturanforderungen

Industrielle Prozesse erfordern oft Temperaturen in bestimmten Bereichen.

Eine Chemikalie muss von 20°C erhitzt werden, steigt 5°C pro Minute, muss aber unter 80°C bleiben. Wie lange kann man erhitzen? $20 + 5t < 80$, also $t < 12$ Minuten.

Q: Was ist der Unterschied zwischen einstufigen und zweistufigen Ungleichungen?

A: Einstufige Ungleichungen brauchen nur eine Operation (wie $x + 5 > 8$). Zweistufige Ungleichungen brauchen zwei aufeinanderfolgende Operationen (wie $2x + 5 > 11$).

Q: Kehre ich das Zeichen bei jedem Schritt um?

A: Nein! Nur umkehren, wenn du durch eine negative Zahl MULTIPLIZIERST oder DIVIDIERST. Addieren oder Subtrahieren von Negativen erfordert KEINE Umkehrung.

Q: Was wenn die Variable einen negativen Koeffizienten hat wie $-3x$?

A: Wenn du $x$ isolierst, indem du beide Seiten durch $-3$ dividierst, MUSST du das Ungleichheitszeichen umkehren, weil $-3$ negativ ist.

Q: Kann ich zuerst addieren oder subtrahieren, wenn Multiplikation einfacher erscheint?

A: Technisch ja, aber es macht die Dinge meist schwieriger. Die Standardreihenfolge (erst +/− rückgängig, dann ×/÷) ist zuverlässiger.