Grundlegende Binommultiplikation

Multipliziere $(x + 2)(x + 3)$

First: Multipliziere die ersten Terme: $x \cdot x = x^2$ = $x^2$

Outer: Multipliziere die äußeren Terme: $x \cdot 3 = 3x$ = $3x$

Inner: Multipliziere die inneren Terme: $2 \cdot x = 2x$ = $2x$

Last: Multipliziere die letzten Terme: $2 \cdot 3 = 6$ = $6$

Fasse alle Terme zusammen: $x^2 + 3x + 2x + 6$ = $x^2 + 5x + 6$

Answer: $(x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6$

Binome mit Subtraktion

Multipliziere $(x + 5)(x - 2)$

First: Multipliziere die ersten Terme: $x \cdot x = x^2$ = $x^2$

Outer: Multipliziere die äußeren Terme: $x \cdot (-2) = -2x$ = $-2x$

Inner: Multipliziere die inneren Terme: $5 \cdot x = 5x$ = $5x$

Last: Multipliziere die letzten Terme: $5 \cdot (-2) = -10$ = $-10$

Fasse gleichartige Terme zusammen: $x^2 - 2x + 5x - 10 = x^2 + 3x - 10$ = $x^2 + 3x - 10$

Answer: $(x + 5)(x - 2) = x^2 + 3x - 10$

Binome mit Koeffizienten

Multipliziere $(2x + 1)(x + 4)$

First: Multipliziere die ersten Terme: $2x \cdot x = 2x^2$ = $2x^2$

Outer: Multipliziere die äußeren Terme: $2x \cdot 4 = 8x$ = $8x$

Inner: Multipliziere die inneren Terme: $1 \cdot x = x$ = $x$

Last: Multipliziere die letzten Terme: $1 \cdot 4 = 4$ = $4$

Fasse gleichartige Terme zusammen: $2x^2 + 8x + x + 4 = 2x^2 + 9x + 4$ = $2x^2 + 9x + 4$

Answer: $(2x + 1)(x + 4) = 2x^2 + 9x + 4$

Beide Terme negativ

Multipliziere $(x - 3)(x - 4)$

First: Multipliziere die ersten Terme: $x \cdot x = x^2$ = $x^2$

Outer: Multipliziere die äußeren Terme: $x \cdot (-4) = -4x$ = $-4x$

Inner: Multipliziere die inneren Terme: $(-3) \cdot x = -3x$ = $-3x$

Last: Multipliziere die letzten Terme: $(-3) \cdot (-4) = 12$ = $12$

Fasse gleichartige Terme zusammen: $x^2 - 4x - 3x + 12 = x^2 - 7x + 12$ = $x^2 - 7x + 12$

Answer: $(x - 3)(x - 4) = x^2 - 7x + 12$

Mistake: Vergessen, ALLE vier Termpaare zu multiplizieren

Why: Schüler multiplizieren manchmal nur die ersten und letzten Terme und übersehen die mittleren Terme völlig.

Correct: Folge immer F-O-I-L der Reihe nach: First, Outer, Inner, Last. Du solltest 4 Terme haben, bevor du zusammenfasst.

Mistake: Vorzeichenfehler beim Multiplizieren von negativen Zahlen

Why: Negativ mal negativ ergibt positiv, aber Schüler vergessen diese Regel oft.

Correct: Bei $(x - 3)(x - 4)$ ergibt der Last-Schritt $(-3)(-4) = +12$, nicht $-12$.

Mistake: Gleichartige Terme am Ende nicht zusammenfassen

Why: Die Outer- und Inner-Terme ergeben oft gleichartige Terme, die zusammengefasst werden sollten.

Correct: Nach FOIL immer auf gleichartige Terme prüfen. Bei $(x+2)(x+3)$: $3x + 2x = 5x$.

Mistake: $x \cdot x$ mit $x + x$ verwechseln

Why: Der First-Schritt ist Multiplikation, nicht Addition.

Correct: $x \cdot x = x^2$, nicht $2x$. Merke: Gleiche Variablen multiplizieren bedeutet Exponenten addieren.

Fläche eines Gartens

Ein rechteckiger Garten hat Maße, die als Binome ausgedrückt werden können.

Wenn ein Garten $(x + 3)$ Meter lang und $(x + 2)$ Meter breit ist, beträgt seine Fläche $(x+3)(x+2) = x^2 + 5x + 6$ Quadratmeter.

Projektilbewegung

In der Physik beinhaltet die Bahn eines geworfenen Objekts oft Produkte von Binomen.

Wenn die Höhe von $(t + 2)(t - 5)$ abhängt, wobei $t$ die Zeit ist, ergibt das Ausmultiplizieren $t^2 - 3t - 10$, was einfacher zu analysieren ist.

Q: Funktioniert FOIL für die Multiplikation beliebiger Polynome?

A: FOIL funktioniert nur für die Multiplikation von zwei Binomen (Ausdrücke mit genau 2 Termen). Für andere Polynome verwende das Distributivgesetz, um jeden Term des einen Polynoms mit jedem Term des anderen zu multiplizieren.

Q: Warum lassen sich die Outer- und Inner-Terme normalerweise zusammenfassen?

A: Bei $(x + a)(x + b)$ ergibt Outer $bx$ und Inner $ax$. Beides sind $x$-Terme (gleichartige Terme), also können sie zu $(a + b)x$ zusammengefasst werden.

Q: Gibt es ein Muster für $(x + a)(x + b)$?

A: Ja! $(x + a)(x + b) = x^2 + (a+b)x + ab$. Der mittlere Koeffizient ist die Summe von $a$ und $b$, und die Konstante ist ihr Produkt.