Gleichungen mit Wurzeln lösen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Löse: $\sqrt{x} = 4$
1. a) $x = 8$
2. b) $x = 16$
3. c) $x = 4$
4. d) $x = 2$
Lösung: $x = 16$
Quadriere beide Seiten: $(\sqrt{x})^2 = 4^2$ , also $x = 16$ . Probe: $\sqrt{16} = 4$ ✓
2.
Löse: $\sqrt{x} = 7$
Lösung: 49
Quadriere beide Seiten: $x = 7^2 = 49$ . Probe: $\sqrt{49} = 7$ ✓
3.
Was ist die Lösung von $\sqrt{x} = -5$ ?
1. a) $x = -25$
2. b) $x = 25$
3. c) $x = -5$
4. d)Keine Lösung
Lösung: Keine Lösung
Eine Quadratwurzel ist nie negativ. Da $\sqrt{x} \geq 0$ für alle reellen $x$ , gibt es keine Lösung.
4.
Löse: $\sqrt{x + 1} = 5$
Lösung: 24
1. Quadriere beide Seiten. Was ist $5^2$ ? 25
2. Jetzt haben wir $x + 1 = 25$ . Löse nach $x$ auf. 24
3. Probe: Was ist $\sqrt{24 + 1}$ ? 5
5.
Löse: $\sqrt{x - 3} = 6$
Lösung: 39
Quadrieren: $x - 3 = 36$ . Addiere 3: $x = 39$ . Probe: $\sqrt{39 - 3} = \sqrt{36} = 6$ ✓
6.
Löse: $\sqrt{2x + 1} = 5$
Lösung: 12
1. Quadriere beide Seiten. Was ist $5^2$ ? 25
2. Wir haben $2x + 1 = 25$ . Subtrahiere 1 von beiden Seiten. 24
3. Jetzt ist $2x = 24$ . Teile durch 2. 12
7.
Löse: $\sqrt{x} + 3 = 7$
1. a) $x = 49$
2. b) $x = 16$
3. c) $x = 4$
4. d) $x = 10$
Lösung: $x = 16$
Isolieren: $\sqrt{x} = 4$ . Quadrieren: $x = 16$ . Probe: $\sqrt{16} + 3 = 4 + 3 = 7$ ✓
8.
Löse: $\sqrt{3x - 2} = 4$
Lösung: 6
Quadrieren: $3x - 2 = 16$ . Addiere 2: $3x = 18$ . Teile durch 3: $x = 6$ . Probe: $\sqrt{3(6) - 2} = \sqrt{16} = 4$ ✓
9.
Löse: $\sqrt{x - 5} - 2 = 1$
Lösung: 14
1. Isoliere zuerst die Wurzel. Addiere 2 auf beiden Seiten. Was ist $\sqrt{x - 5}$ ? 3
2. Quadriere beide Seiten. Was ist $3^2$ ? 9
3. Addiere 5 auf beiden Seiten. Was ist $x$ ? 14
10.
Löse: $2\sqrt{x} = 10$
1. a) $x = 25$
2. b) $x = 50$
3. c) $x = 5$
4. d) $x = 100$
Lösung: $x = 25$
Durch 2 teilen: $\sqrt{x} = 5$ . Quadrieren: $x = 25$ . Probe: $2\sqrt{25} = 2(5) = 10$ ✓
11.
Löse: $\sqrt{x + 7} = x - 5$ . Gib alle gültigen Lösungen ein.
Lösung: 9
Quadrieren: $x + 7 = x^2 - 10x + 25$ . Umformen: $x^2 - 11x + 18 = 0$ . Faktorisieren: $(x-9)(x-2) = 0$ . Lösungen: $x = 9$ oder $x = 2$ . Prüfe $x = 9$ : $\sqrt{16} = 4$ und $9 - 5 = 4$ ✓. Prüfe $x = 2$ : $\sqrt{9} = 3$ aber $2 - 5 = -3$ ✗. Nur $x = 9$ ist gültig.
12.
Löse: $\sqrt{x + 3} = x - 3$
Lösung: 6
1. Quadriere beide Seiten. Die linke Seite wird $x + 3$ . Was ergibt $(x-3)^2$ ? x^2-6x+9
2. Wir haben $x + 3 = x^2 - 6x + 9$ . Bringe alle Terme auf eine Seite und gib die ganze Gleichung in der Form $x^2 + bx + c = 0$ ein. x^2-7x+6=0
3. Faktorisiere: $x^2 - 7x + 6 = (x - ?)(x - ?)$ . Welche zwei Zahlen? 6,1
4. Prüfe $x = 6$ : Ist $\sqrt{6+3} = 6-3$ ? Was ist $\sqrt{9}$ ? 3
5. Prüfe $x = 1$ : Die linke Seite ist $\sqrt{1+3} = 2$ . Was ergibt die rechte Seite $1 - 3$ ? -2
13.
Löse: $\sqrt{2x + 5} = x - 5$ . Wie viele gültige Lösungen gibt es?
1. a)Keine
2. b)Eine: $x = 10$
3. c)Eine: $x = 2$
4. d)Zwei: $x = 10$ und $x = 2$
Lösung: Eine: $x = 10$
Quadrieren: $2x + 5 = x^2 - 10x + 25$ . Umformen: $x^2 - 12x + 20 = 0$ . Faktorisieren: $(x-10)(x-2) = 0$ . Prüfe $x = 10$ : $\sqrt{25} = 5 = 10-5$ ✓. Prüfe $x = 2$ : $\sqrt{9} = 3$ aber $2-5 = -3$ ✗. Nur $x = 10$ ist gültig.
14.
Löse: $\sqrt{x - 1} = x - 7$
Lösung: 10
1. Bevor du quadrierst: $x - 7 \geq 0$ ist erforderlich. Welchen Wert muss $x$ mindestens haben? 7
2. Quadriere beide Seiten. Was ergibt $(x-7)^2$ ? x^2-14x+49
3. Wir haben $x - 1 = x^2 - 14x + 49$ . Bringe alle Terme auf eine Seite und gib die ganze Gleichung in der Form $x^2 + bx + c = 0$ ein. x^2-15x+50=0
4. Faktorisiere: $(x-10)(x-5) = 0$ . Welche Lösung erfüllt $x \geq 7$ ? 10
5. Prüfe $x = 10$ : $\sqrt{10-1} = \sqrt{9} = ?$ 3
15.
Löse: $\sqrt{x + 2} + 4 = x$ . Gib alle gültigen Lösungen ein.
Lösung: 7
Isolieren: $\sqrt{x + 2} = x - 4$ . Quadrieren: $x + 2 = x^2 - 8x + 16$ . Umformen: $x^2 - 9x + 14 = 0$ . Faktorisieren: $(x - 7)(x - 2) = 0$ , also $x = 7$ oder $x = 2$ . Prüfe $x = 7$ : $\sqrt{9} + 4 = 3 + 4 = 7$ ✓. Prüfe $x = 2$ : $\sqrt{4} + 4 = 6 \neq 2$ ✗. Nur $x = 7$ ist gültig.
16.
Ein Pendel hat die Schwingungsdauer $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{9{,}8}}$ Sekunden. Wenn die Periode 2 Sekunden beträgt, finde die Länge $L$ in Metern (runde auf 1 Dezimalstelle).
Lösung: 1.0
1. Setze $T = 2$ ein: $2 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{9{,}8}}$ . Teile beide Seiten durch $2\pi$ . Was ist $\sqrt{\frac{L}{9{,}8}}$ , auf 3 Dezimalstellen gerundet? 0.318
2. Quadriere beide Seiten. Was ist $\frac{L}{9{,}8}$ , auf 3 Dezimalstellen gerundet? 0.101
3. Multipliziere mit 9,8. Was ist $L$ ungefähr? ( $\pi^2 \approx 9{,}87$ ) 1.0