Doppelbrüche

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welches der folgenden ist ein Doppelbruch?
1. a) $\frac{3}{4}$
2. b) $3 + \frac{1}{2}$
3. c) $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}$
4. d) $\frac{5}{x}$
Lösung: $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}$
$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}$ ist ein Doppelbruch, weil sowohl der Zähler ( $\frac{1}{2}$ ) als auch der Nenner ( $\frac{3}{4}$ ) Brüche sind.
2.
Vereinfache: $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}$
Lösung: 2
$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{1} = \frac{4}{2} = 2$
3.
Vereinfache: $\frac{\frac{3}{5}}{\frac{9}{10}}$
1. a) $\frac{3}{2}$
2. b) $\frac{27}{50}$
3. c) $\frac{2}{3}$
4. d) $\frac{1}{3}$
Lösung: $\frac{2}{3}$
$\frac{\frac{3}{5}}{\frac{9}{10}} = \frac{3}{5} \times \frac{10}{9} = \frac{30}{45} = \frac{2}{3}$
4.
Vereinfache: $\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{9}}$
Lösung: 3/2
1. Was ist der Kehrwert von $\frac{4}{9}$ ? 9/4
2. Multipliziere: $\frac{2}{3} \times \frac{9}{4}$ = ? 18/12
3. $\frac{18}{12}$ vollständig gekürzt ist $\frac{\square}{2}$ . Welche Zahl gehört in das Kästchen? 3
5.
Vereinfache: $\frac{6}{\frac{3}{4}}$
Lösung: 8
$\frac{6}{\frac{3}{4}} = 6 \times \frac{4}{3} = \frac{24}{3} = 8$
6.
Vereinfache: $\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}$
Lösung: 1
1. Addiere zuerst die Brüche im Zähler. $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$ = ? 3/4
2. Vereinfache jetzt $\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}}$ 1
7.
Vereinfache: $\frac{\frac{1}{3} - \frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}$
1. a) $\frac{2}{3}$
2. b) $1$
3. c) $\frac{1}{3}$
4. d) $\frac{1}{6}$
Lösung: $\frac{1}{3}$
$\frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$ , dann $\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{6} \times 2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
8.
Berechne den Wert: $\frac{\frac{2}{5}}{\frac{1}{5} + \frac{1}{10}}$
Lösung: 4/3
$\frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10}$ . Dann $\frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{10}} = \frac{2}{5} \times \frac{10}{3} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$
9.
Vereinfache mit der Hauptnenner-Methode: $\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{\frac{1}{6}}$
Lösung: 5
1. Was ist der Hauptnenner von 2, 3 und 6? 6
2. Multipliziere den Zähler mit 6: $(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) \cdot 6$ = ? 5
3. Multipliziere den Nenner mit 6: $\frac{1}{6} \cdot 6$ = ? 1
4. Endantwort: $\frac{5}{1}$ = ? 5
10.
Vereinfache: $\frac{\frac{x}{2}}{\frac{x}{4}}$
1. a) $\frac{1}{2}$
2. b) $\frac{x}{2}$
3. c) $2$
4. d) $\frac{x^2}{8}$
Lösung: $2$
$\frac{\frac{x}{2}}{\frac{x}{4}} = \frac{x}{2} \times \frac{4}{x} = \frac{4x}{2x} = 2$ (wobei $x \neq 0$ )
11.
Vereinfache: $\frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$
Lösung: (x+1)/(x-1)
1. Was ist der Hauptnenner aller Brüche in diesem Ausdruck? x
2. Multipliziere den Zähler mit $x$ : $(1 + \frac{1}{x}) \cdot x$ = ? x+1
3. Multipliziere den Nenner mit $x$ : $(1 - \frac{1}{x}) \cdot x$ = ? x-1
4. Das Ergebnis ist $\frac{x+1}{x-1}$ . Welcher Wert von $x$ ist außer $x = 0$ nicht erlaubt? 1
12.
Schreibe $\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}{\frac{1}{xy}}$ (mit $x, y \neq 0$ ) ohne Brüche. Das Ergebnis ist $y - \square$ . Was gehört in das Kästchen?
Lösung: x
Multipliziere mit $xy$ : $\frac{\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\right) \cdot xy}{\frac{1}{xy} \cdot xy} = \frac{y - x}{1} = y - x$ , also steht im Kästchen $x$ .
13.
Vereinfache: $\frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}}{\frac{3}{x}}$
1. a) $\frac{2x + 1}{3x}$
2. b) $\frac{2x - 1}{3x}$
3. c) $\frac{1}{3}$
4. d) $\frac{2 - x}{3}$
Lösung: $\frac{2x - 1}{3x}$
Multipliziere mit $x^2$ : Zähler: $\frac{2}{x} \cdot x^2 - \frac{1}{x^2} \cdot x^2 = 2x - 1$ . Nenner: $\frac{3}{x} \cdot x^2 = 3x$ . Antwort: $\frac{2x - 1}{3x}$
14.
Zwei Widerstände von 6 Ohm und 12 Ohm sind parallel geschaltet. Finde den Gesamtwiderstand mit $R_T = \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}}$
Lösung: 4
1. Was ist $\frac{1}{6}$ als Bruch mit Nenner 12? 2/12
2. Addiere $\frac{2}{12} + \frac{1}{12}$ = ? 3/12
3. $\frac{3}{12}$ vollständig gekürzt ist $\frac{1}{\square}$ . Welche Zahl gehört in das Kästchen? 4
4. Finde $\frac{1}{\frac{1}{4}}$ = ? 4
15.
Schreibe $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{a^2}{b^2}}$ (mit $a, b \neq 0$ ) als einen einzigen Bruch. Das Ergebnis ist $\frac{b}{\square}$ . Was gehört in das Kästchen?
Lösung: a
$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{a^2}{b^2}} = \frac{a}{b} \times \frac{b^2}{a^2} = \frac{ab^2}{ba^2} = \frac{b}{a}$ (wobei $a, b \neq 0$ )
16.
Vereinfache: $\frac{\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1}}{\frac{2}{x^2-1}}$
Lösung: x
1. Beachte, dass $x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$ . Was ist der Hauptnenner? Schreibe ihn als Produkt aus zwei Faktoren, etwa (x+2)(x-3). (x+1)(x-1)
2. Addiere die Brüche im Zähler mit Hauptnenner $(x+1)(x-1)$ : $\frac{(x-1) + (x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{\square}{(x+1)(x-1)}$ . Was gehört in das Kästchen? 2x
3. Jetzt dividiere: $\frac{\frac{2x}{x^2-1}}{\frac{2}{x^2-1}}$ = ? x