Wenn eine Variable bereits isoliert ist

Löse das Gleichungssystem: $$\begin{cases} y = 3x - 2 \\ 2x + y = 8 \end{cases}$$

Identifiziere die isolierte Variable: Die erste Gleichung hat $y$ bereits isoliert: $y = 3x - 2$ = $y = 3x - 2$

Setze in die andere Gleichung ein: Ersetze $y$ durch $(3x - 2)$ in der zweiten Gleichung: $2x + (3x - 2) = 8$ = $2x + 3x - 2 = 8$

Löse nach $x$ auf: $5x - 2 = 8$ $5x = 10$ $x = 2$ = $x = 2$

Setze zurück um $y$ zu finden: $y = 3(2) - 2 = 6 - 2 = 4$ = $y = 4$

Überprüfe die Lösung: Prüfe in der zweiten Gleichung: $2(2) + 4 = 4 + 4 = 8$ ✓ = Lösung bestätigt!

Answer: Die Lösung ist $(2, 4)$

Zuerst eine Variable isolieren

Löse das Gleichungssystem: $$\begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - 3y = -6 \end{cases}$$

Wähle, welche Variable isoliert werden soll: Aus der ersten Gleichung isoliere $x$: $x = 7 - y$ = $x = 7 - y$

Setze in die andere Gleichung ein: Ersetze $x$ durch $(7 - y)$ in der zweiten Gleichung: $2(7 - y) - 3y = -6$ = $2(7 - y) - 3y = -6$

Ausmultiplizieren und vereinfachen: $14 - 2y - 3y = -6$ $14 - 5y = -6$ = $14 - 5y = -6$

Löse nach $y$ auf: $-5y = -6 - 14$ $-5y = -20$ $y = 4$ = $y = 4$

Setze zurück um $x$ zu finden: $x = 7 - 4 = 3$ = $x = 3$

Überprüfe in beiden Gleichungen: Gleichung 1: $3 + 4 = 7$ ✓ Gleichung 2: $2(3) - 3(4) = 6 - 12 = -6$ ✓ = Beide Gleichungen erfüllt!

Answer: Die Lösung ist $(3, 4)$

System mit ganzzahliger Lösung

Löse das Gleichungssystem: $$\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 4x - y = 5 \end{cases}$$

Identifiziere die isolierte Variable: $y$ ist bereits in der ersten Gleichung isoliert = $y = 2x + 1$

Setze in die zweite Gleichung ein: $4x - (2x + 1) = 5$ = $4x - 2x - 1 = 5$

Löse nach $x$ auf: $2x - 1 = 5$ $2x = 6$ $x = 3$ = $x = 3$

Finde $y$: $y = 2(3) + 1 = 7$ = $y = 7$

Überprüfe: Probe: $4(3) - 7 = 12 - 7 = 5$ ✓ = Bestätigt!

Answer: Die Lösung ist $(3, 7)$

Die beste Variable zum Isolieren wählen

Löse das Gleichungssystem: $$\begin{cases} 3x + y = 10 \\ 5x - 2y = -4 \end{cases}$$

Wähle die einfachste Variable zum Isolieren: In der ersten Gleichung hat $y$ den Koeffizienten 1, also isoliere $y$: $y = 10 - 3x$ = $y = 10 - 3x$

Setze in die zweite Gleichung ein: $5x - 2(10 - 3x) = -4$ = $5x - 2(10 - 3x) = -4$

Ausmultiplizieren und zusammenfassen: $5x - 20 + 6x = -4$ $11x - 20 = -4$ = $11x - 20 = -4$

Löse nach $x$ auf: $11x = 16$ $x = \frac{16}{11}$ = $x = \frac{16}{11}$

Finde $y$: $y = 10 - 3 \cdot \frac{16}{11} = 10 - \frac{48}{11} = \frac{110 - 48}{11} = \frac{62}{11}$ = $y = \frac{62}{11}$

Überprüfe: Probe in der ersten Gleichung: $3 \cdot \frac{16}{11} + \frac{62}{11} = \frac{48 + 62}{11} = \frac{110}{11} = 10$ ✓ = Lösung bestätigt!

Answer: Die Lösung ist $\left(\frac{16}{11}, \frac{62}{11}\right)$

Mistake: Vergessen, beim Einsetzen auszumultiplizieren

Why: Wenn du einen Ausdruck wie $(3x - 2)$ einsetzt und ein Koeffizient davor steht, musst du ausmultiplizieren.

Correct: Bei $2(3x - 2)$ multipliziere aus zu $6x - 4$, nicht $6x - 2$.

Mistake: In dieselbe Gleichung einsetzen

Why: Wenn du Gleichung 1 nach $y$ auflöst und wieder in Gleichung 1 einsetzt, erhältst du nur $0 = 0$ (immer wahr) und lernst nichts.

Correct: Setze immer in die ANDERE Gleichung ein, um eine neue Gleichung mit einer Variable zu erhalten.

Mistake: Vorzeichenfehler beim Ausmultiplizieren von negativen Ausdrücken

Why: Das Subtrahieren eines Ausdrucks wie $-(2x + 3)$ bedeutet, jeden Term mit $-1$ zu multiplizieren.

Correct: $-(2x + 3) = -2x - 3$, nicht $-2x + 3$.

Mistake: Die Lösung nicht in BEIDEN Gleichungen überprüfen

Why: Eine Lösung muss beide Gleichungen erfüllen. Die Überprüfung in nur einer Gleichung garantiert keine Korrektheit.

Correct: Setze deine Antwort immer in beide ursprünglichen Gleichungen ein, um zu überprüfen.

Handyverträge vergleichen

Mobilfunkanbieter bieten verschiedene Tarife an. Das Einsetzungsverfahren hilft herauszufinden, wann zwei Tarife gleich viel kosten.

Tarif A kostet 20 Euro monatlich plus 0,10 Euro pro Minute. Tarif B kostet 30 Euro monatlich plus 0,05 Euro pro Minute. Wann sind sie gleich teuer?

Lösungen in der Chemie mischen

Wissenschaftler müssen oft Lösungen unterschiedlicher Konzentration mischen, um ein gewünschtes Ergebnis zu erhalten.

Ein Chemiker braucht 100 mL einer 30%igen Säurelösung. Er hat 20%ige und 50%ige Lösungen verfügbar.

Budgetplanung

Unternehmen nutzen Gleichungssysteme, um Kosten und Einnahmen auszugleichen.

Ein Unternehmen verkauft Basis- und Premium-Produkte. Wenn sie 50 Artikel verkaufen und 2000 Euro einnehmen, wobei Basis 30 Euro und Premium 50 Euro kostet, wie viele von jedem wurden verkauft?

Q: Wann sollte ich das Einsetzungsverfahren statt des Additionsverfahrens verwenden?

A: Verwende das Einsetzungsverfahren, wenn eine Variable bereits isoliert ist oder einen Koeffizienten von 1 hat. Verwende das Additionsverfahren, wenn beide Gleichungen ähnliche Koeffizienten haben, die leicht eliminiert werden können.

Q: Was bedeutet es, wenn ich $0 = 0$ oder einen Widerspruch wie $0 = 5$ erhalte?

A: Wenn du $0 = 0$ erhältst, hat das System unendlich viele Lösungen (die Geraden sind identisch). Wenn du etwas Unmögliches wie $0 = 5$ erhältst, gibt es keine Lösung (parallele Geraden).

Q: Ist es wichtig, welche Variable ich zuerst isoliere?

A: Mathematisch gesehen nein - du erhältst die gleiche Antwort. Praktisch wähle die Variable, die am einfachsten zu isolieren ist (kleinster Koeffizient, bereits teilweise isoliert).