Eine Variable bereits aufgelöst

Löse das System: $$\begin{cases} y = 3x - 4 \\ 2x + y = 6 \end{cases}$$

Identifiziere die aufgelöste Variable: Die erste Gleichung hat $y$ bereits aufgelöst: $y = 3x - 4$ = Bereit zum Einsetzen

Setze in die zweite Gleichung ein: Ersetze $y$ durch $(3x - 4)$ in $2x + y = 6$: $2x + (3x - 4) = 6$ = $2x + 3x - 4 = 6$

Löse nach $x$: $5x - 4 = 6$ $5x = 10$ $x = 2$ = $x = 2$

Rückeinsetzen für $y$: $y = 3(2) - 4 = 6 - 4 = 2$ = $y = 2$

Überprüfe die Lösung: Prüfe in beiden Gleichungen: $y = 3(2) - 4 = 2$ ✓ $2(2) + 2 = 6$ ✓ = Lösung bestätigt

Answer: $(2, 2)$

Zuerst eine Variable auflösen

Löse das System: $$\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 3 \end{cases}$$

Wähle, welche Variable aufgelöst wird: In Gleichung 1 hat $x$ den Koeffizienten 1, also löse nach $x$ auf: $x = 8 - 2y$ = $x = 8 - 2y$

Setze in die zweite Gleichung ein: Ersetze $x$ in $3x - y = 3$: $3(8 - 2y) - y = 3$ = $24 - 6y - y = 3$

Löse nach $y$: $24 - 7y = 3$ $-7y = -21$ $y = 3$ = $y = 3$

Rückeinsetzen für $x$: $x = 8 - 2(3) = 8 - 6 = 2$ = $x = 2$

Überprüfe die Lösung: Prüfe: $2 + 2(3) = 8$ ✓ $3(2) - 3 = 3$ ✓ = Lösung bestätigt

Answer: $(2, 3)$

System mit einfacher Substitution

Löse das System: $$\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ x = y + 1 \end{cases}$$

Identifiziere die aufgelöste Variable: Die zweite Gleichung hat $x$ aufgelöst: $x = y + 1$ = Bereit zum Einsetzen

Setze in die erste Gleichung ein: Ersetze $x$ durch $(y + 1)$ in $2x + 3y = 12$: $2(y + 1) + 3y = 12$ = $2y + 2 + 3y = 12$

Löse nach $y$: $5y + 2 = 12$ $5y = 10$ $y = 2$ = $y = 2$

Rückeinsetzen für $x$: $x = 2 + 1 = 3$ = $x = 3$

Überprüfe die Lösung: Prüfe: $2(3) + 3(2) = 6 + 6 = 12$ ✓ $3 = 2 + 1$ ✓ = Lösung bestätigt

Answer: $(3, 2)$

Anwendung: Ticketverkauf

Ein Theater verkaufte 150 Tickets. Erwachsenenkarten kosten 12€ und Kinderkarten 8€. Der Gesamterlös betrug 1480€. Wie viele Karten jeder Art wurden verkauft?

Definiere Variablen und schreibe Gleichungen: Sei $e$ = Erwachsenenkarten, $k$ = Kinderkarten Gesamtkarten: $e + k = 150$ Gesamterlös: $12e + 8k = 1480$ = System erstellt

Löse eine Variable auf: Aus Gleichung 1: $e = 150 - k$ = $e = 150 - k$

Setze in die Erlösgleichung ein: $12(150 - k) + 8k = 1480$ $1800 - 12k + 8k = 1480$ = $1800 - 4k = 1480$

Löse nach $k$: $-4k = -320$ $k = 80$ = 80 Kinderkarten

Finde Erwachsenenkarten: $e = 150 - 80 = 70$ = 70 Erwachsenenkarten

Überprüfe: $70 + 80 = 150$ ✓ $12(70) + 8(80) = 840 + 640 = 1480$ ✓ = Lösung bestätigt

Answer: 70 Erwachsenenkarten und 80 Kinderkarten

Mistake: Vergessen zu multiplizieren beim Einsetzen

Why: Beim Einsetzen eines Ausdrucks wie $(3x - 4)$ zeigen die Klammern an, dass der gesamte Ausdruck die Variable ersetzt.

Correct: Immer Klammern verwenden und ausmultiplizieren: $2(3x - 4) = 6x - 8$, nicht $2 \cdot 3x - 4 = 6x - 4$

Mistake: In die falsche Gleichung rückeinsetzen

Why: Wenn du in die Gleichung rückeinsetzt, die du für die Substitution verwendet hast, erhältst du möglicherweise eine triviale Identität statt eines Wertes.

Correct: Nach dem Finden einer Variablen in die ANDERE Originalgleichung oder die Auflösungsgleichung einsetzen.

Mistake: Vorzeichenfehler beim Auflösen von Variablen

Why: Das Verschieben von Termen über das Gleichheitszeichen erfordert einen Vorzeichenwechsel.

Correct: Aus $x + 2y = 8$ erhalten wir $x = 8 - 2y$ (nicht $x = 8 + 2y$)

Mistake: Die Lösung nicht in beiden Gleichungen überprüfen

Why: Die Lösung muss beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Das Prüfen nur einer Gleichung kann Fehler übersehen.

Correct: Immer $(x, y)$ in BEIDE Originalgleichungen einsetzen, um zu überprüfen.

Gewinnschwellenanalyse

Unternehmen verwenden Gleichungssysteme, um den Punkt zu finden, an dem der Erlös die Kosten deckt.

Wenn die Kosten $K = 500 + 10x$ (500€ Fixkosten plus 10€ pro Artikel) und der Erlös $E = 25x$ (25€ pro Artikel) betragen, ist die Gewinnschwelle bei $K = E$: $500 + 10x = 25x$, also $x = 33,3$ Artikel.

Mischungsaufgaben

Wissenschaftler und Apotheker verwenden Systeme, um Lösungen mit bestimmten Konzentrationen herzustellen.

Um 100 mL einer 30%igen Säurelösung aus 20%iger und 50%iger Lösung herzustellen: Sei $x$ = mL der 20%igen, $y$ = mL der 50%igen. Dann $x + y = 100$ und $0,20x + 0,50y = 30$.

Q: Wann sollte ich das Einsetzungsverfahren statt des Additionsverfahrens verwenden?

A: Verwende das Einsetzungsverfahren, wenn eine Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist (wie $y = 2x + 3$) oder wenn eine Variable den Koeffizienten 1 oder -1 hat. Verwende das Additionsverfahren, wenn Variablen Koeffizienten haben, die leicht anzupassen oder zu eliminieren sind.

Q: Was, wenn ich etwas wie $0 = 5$ erhalte?

A: Wenn du eine falsche Aussage wie $0 = 5$ erhältst, hat das System keine Lösung. Die Geraden sind parallel und schneiden sich nie.

Q: Was, wenn ich etwas wie $0 = 0$ erhalte?

A: Wenn du eine wahre Aussage wie $0 = 0$ ohne Variablen erhältst, hat das System unendlich viele Lösungen. Die Gleichungen stellen dieselbe Gerade dar.