Gleiche Basis, Exponenten addieren

Vereinfache $3^2 \cdot 3^5$ und überprüfe das Ergebnis.

Prüfe die Basen: Beide Potenzen haben die Basis $3$ = Gleiche Basis, das Potenzgesetz gilt

Addiere die Exponenten: $3^2 \cdot 3^5 = 3^{2+5}$ = $3^7$

Probe durch Zählen der Faktoren: $(3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3)$ hat $2 + 5 = 7$ Faktoren $3$ = $3^7$ ✓

Probe mit Zahlen: $3^2 = 9$, $3^5 = 243$, $9 \cdot 243 = 2187$ = $3^7 = 2187$ ✓

Answer: $3^2 \cdot 3^5 = 3^7 = 2187$

Potenzen einer Variablen

Vereinfache $x^2 \cdot x^5$.

Schreibe die Faktoren aus: $x^2 = x \cdot x$ und $x^5 = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ = 2 Faktoren und 5 Faktoren

Zähle alle Faktoren $x$: $2 + 5 = 7$ = 7 Faktoren $x$

Schreibe das Ergebnis als eine Potenz: $x^2 \cdot x^5 = x^{2+5}$ = $x^7$

Answer: $x^2 \cdot x^5 = x^7$

Der versteckte Exponent 1

Vereinfache $5 \cdot 5^3 \cdot 5^2$.

Gib jedem Faktor einen Exponenten: $5 = 5^1$ = $5^1 \cdot 5^3 \cdot 5^2$

Addiere alle drei Exponenten: $1 + 3 + 2 = 6$ = $5^6$

Berechne den Wert: $5^6 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ = $15\,625$

Answer: $5 \cdot 5^3 \cdot 5^2 = 5^6 = 15\,625$

Koeffizienten und Potenzen

Vereinfache $3x^2 \cdot 4x^3$.

Ordne die Faktoren um (die Reihenfolge beim Multiplizieren ist egal): $3x^2 \cdot 4x^3 = (3 \cdot 4) \cdot (x^2 \cdot x^3)$ = Zahlen zusammen, Potenzen zusammen

Multipliziere die Koeffizienten: $3 \cdot 4 = 12$ = $12$

Addiere die Exponenten von $x$: $x^2 \cdot x^3 = x^{2+3}$ = $x^5$

Setze die Teile zusammen: $12 \cdot x^5$ = $12x^5$

Answer: $3x^2 \cdot 4x^3 = 12x^5$

Zwei verschiedene Variablen

Vereinfache $2a^3b \cdot 5a^4b^2$.

Fasse die Zahlen und jede Variable zusammen: $(2 \cdot 5) \cdot (a^3 \cdot a^4) \cdot (b \cdot b^2)$ = Drei Gruppen

Multipliziere die Koeffizienten: $2 \cdot 5 = 10$ = $10$

Basis $a$: Addiere die Exponenten: $a^3 \cdot a^4 = a^{3+4}$ = $a^7$

Basis $b$: Denk daran, dass $b = b^1$ ist: $b^1 \cdot b^2 = b^{1+2}$ = $b^3$

Schreibe das Ergebnis: $a$ und $b$ sind verschiedene Basen, sie bleiben getrennt = $10a^7b^3$

Answer: $2a^3b \cdot 5a^4b^2 = 10a^7b^3$

Mistake: Die Exponenten multiplizieren: $2^3 \cdot 2^4 = 2^{12}$

Why: Die Exponenten zählen Faktoren. Drei Faktoren und vier Faktoren sind $3 + 4 = 7$ Faktoren, nicht $3 \cdot 4 = 12$. Probe: $8 \cdot 16 = 128$, aber $2^{12} = 4096$. Exponenten multipliziert man bei der Potenz einer Potenz, etwa $(2^3)^4$.

Correct: $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$

Mistake: Die Basen multiplizieren: $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$

Why: Jeder Faktor in der Reihe ist immer noch eine $2$. Nichts wird zur $4$. Und $4^7 = 16\,384$ ist viel größer als das richtige Produkt $128$.

Correct: Behalte die Basis: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$

Mistake: Exponenten verschiedener Basen addieren: $2^3 \cdot 3^2 = 6^5$ oder $5^5$

Why: Das Potenzgesetz braucht die gleiche Basis, denn nur dann sind alle Faktoren gleich. $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$, aber $6^5 = 7776$.

Correct: Lass es als $2^3 \cdot 3^2$ stehen oder rechne es aus: $8 \cdot 9 = 72$

Mistake: Die Koeffizienten addieren: $3x^2 \cdot 4x^3 = 7x^5$

Why: Die Koeffizienten $3$ und $4$ sind ganz normale Faktoren, sie werden multipliziert. Nur die Exponenten derselben Basis werden addiert.

Correct: $3x^2 \cdot 4x^3 = (3 \cdot 4)\,x^{2+3} = 12x^5$

Computerspeicher

Computer zählen Speicher in Zweierpotenzen, deshalb multipliziert man Speichergrößen mit dem Potenzgesetz.

Ein Kilobyte hat $2^{10}$ Byte und ein Megabyte hat $2^{10}$ Kilobyte, also hat ein Megabyte $2^{10} \cdot 2^{10} = 2^{20}$ Byte.

Zählen mit Zehnerpotenzen

Große Stückzahlen in Geschäften und Lagern lassen sich als Zehnerpotenzen leicht handhaben.

$10^2$ Kisten mit je $10^3$ Schrauben enthalten $10^2 \cdot 10^3 = 10^5 = 100\,000$ Schrauben.

Papier falten

Jedes Falten verdoppelt die Lagen eines Blatts Papier, deshalb wächst die Zahl der Lagen in Zweierpotenzen.

Nach 2-mal Falten gibt es $2^2 = 4$ Lagen, nach 3-mal Falten $2^3 = 8$ Lagen.

Q: Warum addiert man die Exponenten und multipliziert sie nicht?

A: Jeder Exponent zählt Faktoren. $2^3$ sind 3 Faktoren 2 und $2^4$ sind 4 weitere Faktoren 2, zusammen also $3 + 4 = 7$ Faktoren: $2^7$. Exponenten multipliziert man in einer anderen Situation, bei der Potenz einer Potenz wie $(2^3)^4$, die eine eigene Lektion hat.

Q: Gilt die Regel auch für mehr als zwei Potenzen?

A: Ja. Addiere alle Exponenten: $2 \cdot 2^2 \cdot 2^3 = 2^{1+2+3} = 2^6 = 64$.

Q: Kann ich das Potenzgesetz bei $2^3 \cdot 3^3$ verwenden?

A: Nein, die Basen sind verschieden, also darfst du die Exponenten nicht addieren. Hier sind zufällig die Exponenten gleich, und dann hilft eine andere Regel: $2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 216$. Probe: $8 \cdot 27 = 216$. Bei verschiedenen Basen und verschiedenen Exponenten, etwa $2^3 \cdot 3^2$, rechnest du einfach aus: $8 \cdot 9 = 72$.

Q: Ist $2^3 + 2^4$ gleich $2^7$?

A: Nein. Das Potenzgesetz gilt nur für die Multiplikation. $2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24$, aber $2^7 = 128$.