Potenzen derselben Zahl dividieren

Vereinfache $\frac{5^6}{5^2}$ und berechne den Wert.

Prüfe die Basen: Beide Potenzen haben die Basis $5$ = Gleiche Basis, das Gesetz gilt

Subtrahiere die Exponenten (oben minus unten): $6 - 2 = 4$ = $5^4$

Berechne die Potenz: $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ = $625$

Mache die Probe mit beiden Potenzen: $5^6 : 5^2 = 15625 : 25$ = $625$, dasselbe Ergebnis

Answer: $\frac{5^6}{5^2} = 5^4 = 625$

Potenzen einer Variablen dividieren

Vereinfache $\frac{x^9}{x^4}$ (mit $x \neq 0$).

Denke an die Faktoren: $9$ Faktoren $x$ im Zähler, $4$ Faktoren $x$ im Nenner = $4$ gemeinsame Faktoren

Kürze die gemeinsamen Faktoren: Jedes $x$ im Nenner kürzt ein $x$ im Zähler = $9 - 4 = 5$ Faktoren bleiben im Zähler

Schreibe das Ergebnis als Potenz: $x^{9-4}$ = $x^5$

Answer: $\frac{x^9}{x^4} = x^5$

Dividieren mit Koeffizienten

Vereinfache $\frac{12x^7}{4x^3}$.

Teile in einen Zahlenteil und einen Potenzteil auf: $\frac{12x^7}{4x^3} = \frac{12}{4} \cdot \frac{x^7}{x^3}$ = Zwei getrennte Divisionen

Dividiere die Koeffizienten: $12 : 4$ = $3$

Subtrahiere die Exponenten: $7 - 3 = 4$ = $x^4$

Setze die Teile zusammen: $3 \cdot x^4$ = $3x^4$

Answer: $\frac{12x^7}{4x^3} = 3x^4$

Zwei verschiedene Variablen

Vereinfache $\frac{18a^6b^5}{6a^2b}$.

Dividiere die Koeffizienten: $18 : 6$ = $3$

Wende das Gesetz auf die Basis $a$ an: $a^{6-2}$ = $a^4$

Wende das Gesetz auf die Basis $b$ an (denke an $b = b^1$): $b^{5-1}$ = $b^4$

Fasse alle Teile zusammen: $3 \cdot a^4 \cdot b^4$ = $3a^4b^4$

Answer: $\frac{18a^6b^5}{6a^2b} = 3a^4b^4$

Erst multiplizieren, dann dividieren

Vereinfache $\frac{6x^5 \cdot 2x^3}{4x^6}$.

Multipliziere die Koeffizienten im Zähler: $6 \cdot 2$ = $12$

Wende im Zähler das Gesetz für die Multiplikation an (Exponenten addieren): $x^5 \cdot x^3 = x^{5+3}$ = Zähler: $12x^8$

Dividiere die Koeffizienten: $12 : 4$ = $3$

Wende das Gesetz für die Division an (Exponenten subtrahieren): $x^{8-6}$ = $x^2$

Answer: $\frac{6x^5 \cdot 2x^3}{4x^6} = 3x^2$

Mistake: Die Exponenten dividieren: $\frac{x^8}{x^2} = x^4$

Why: Potenzen dividieren heißt nicht Exponenten dividieren. Die $2$ Faktoren im Nenner kürzen $2$ der $8$ Faktoren im Zähler weg, also bleiben $8 - 2$ Faktoren übrig, nicht $8 : 2$.

Correct: $\frac{x^8}{x^2} = x^{8-2} = x^6$

Mistake: In der falschen Reihenfolge subtrahieren: $\frac{3^7}{3^2} = 3^{2-7}$

Why: Der Exponent des Zählers kommt immer zuerst. Hier hat der Zähler mehr Faktoren, also bleiben die Faktoren nach dem Kürzen oben und der Exponent ist positiv.

Correct: $\frac{3^7}{3^2} = 3^{7-2} = 3^5 = 243$

Mistake: Die Basen dividieren: $\frac{6^5}{6^2} = 1^3$

Why: Die Basis sagt, welche Zahl multipliziert wird, und sie ändert sich nicht. Nur die Anzahl der Faktoren ändert sich.

Correct: $\frac{6^5}{6^2} = 6^{5-2} = 6^3 = 216$

Mistake: Auch die Koeffizienten subtrahieren: $\frac{12x^7}{4x^3} = 8x^4$

Why: Koeffizienten sind gewöhnliche Zahlen, und ein Bruchstrich bedeutet Division: $12 : 4$. Nur die Exponenten gleicher Basen werden subtrahiert.

Correct: $\frac{12x^7}{4x^3} = \frac{12}{4} \cdot x^{7-3} = 3x^4$

Fotos auf einer Speicherkarte

Computerspeicher wird in Zweierpotenzen gezählt, darum ist das Teilen von Speichergrößen ein Fall für das Potenzgesetz.

1 MB sind $2^{20}$ Byte und 1 KB sind $2^{10}$ Byte, also passen in 1 MB genau $\frac{2^{20}}{2^{10}} = 2^{10} = 1024$ KB.

Wie lange das Sonnenlicht bis zur Erde braucht

Astronomen teilen riesige Entfernungen durch Geschwindigkeiten in wissenschaftlicher Schreibweise: Zahlen vorne dividieren, Zehnerexponenten subtrahieren.

Eine Strecke von $6 \cdot 10^8$ km mit $3 \cdot 10^5$ km pro Sekunde dauert $\frac{6}{3} \cdot 10^{8-5} = 2 \cdot 10^3 = 2000$ Sekunden.

Budget pro Person

Volkswirte teilen große Geldbeträge durch die Zahl der Menschen, um Länder unterschiedlicher Größe zu vergleichen.

Werden $8 \cdot 10^9$ € auf $4 \cdot 10^6$ Menschen verteilt, bekommt jeder $2 \cdot 10^3 = 2000$ €.

Q: Warum steht beim Gesetz $a \neq 0$?

A: Weil man nicht durch null teilen kann. Mit $a = 0$ wäre der Nenner $0^n$ gleich $0$, und der Bruch hätte überhaupt keinen Wert.

Q: Was passiert, wenn beide Exponenten gleich sind?

A: Dann kürzt sich jeder Faktor weg, zum Beispiel $\frac{4^3}{4^3} = 1$. Das Gesetz liefert $4^{3-3} = 4^0$, und warum $4^0$ gleich $1$ ist, erklärt die Lektion Exponent null.

Q: Was ist, wenn der Exponent unten größer ist, wie bei $\frac{2^3}{2^5}$?

A: Kürze wie gewohnt: $3$ Faktoren kürzen sich weg und $2$ Faktoren $2$ bleiben im Nenner, also $\frac{2^3}{2^5} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$. Wie man das mit einem einzigen Exponenten schreibt, zeigt die Lektion Negative Exponenten.

Q: Darf ich das Gesetz bei verschiedenen Basen anwenden, etwa bei $\frac{6^4}{2^3}$?

A: Nein. Das Gesetz zählt nur Faktoren ein und derselben Basis. Berechne stattdessen die Potenzen: $\frac{6^4}{2^3} = \frac{1296}{8} = 162$.