Verschiedene Ganze

Ordne vom kleinsten zum größten: $3\frac{1}{2}$, $1\frac{4}{5}$, $2\frac{1}{3}$

Schau dir die Ganzen an: $3\frac{1}{2}$ hat 3, $1\frac{4}{5}$ hat 1, $2\frac{1}{3}$ hat 2 = Ganze: 3, 1, 2

Prüfe, ob Ganze gleich sind: Alle drei Ganzen sind verschieden, also spielen die Bruchteile keine Rolle = Nur nach den Ganzen sortieren

Sortiere die Ganzen vom kleinsten zum größten: $1 < 2 < 3$ = $1\frac{4}{5} < 2\frac{1}{3} < 3\frac{1}{2}$

Answer: $1\frac{4}{5} < 2\frac{1}{3} < 3\frac{1}{2}$. Obwohl $\frac{4}{5}$ der größte Bruchteil ist, ist $1\frac{4}{5}$ die kleinste Zahl.

Gemischte Zahlen und unechte Brüche zusammen

Ordne vom kleinsten zum größten: $\frac{7}{3}$, $2\frac{1}{4}$, $\frac{5}{2}$, $1\frac{7}{8}$

Wandle die unechten Brüche in gemischte Zahlen um: $7 \div 3 = 2$ Rest $1$, also $\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$. $5 \div 2 = 2$ Rest $1$, also $\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$ = $2\frac{1}{3}$, $2\frac{1}{4}$, $2\frac{1}{2}$, $1\frac{7}{8}$

Sortiere nach den Ganzen: Nur $1\frac{7}{8}$ hat 1 Ganzes, die anderen drei haben 2 Ganze = $1\frac{7}{8}$ ist am kleinsten

Vergleiche die Bruchteile der 2er-Gruppe mit einem gemeinsamen Nenner: Der Hauptnenner von 3, 4 und 2 ist 12: $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$, $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$, $\frac{1}{2} = \frac{6}{12}$ = $\frac{3}{12} < \frac{4}{12} < \frac{6}{12}$

Schreibe die Reihenfolge mit den ursprünglichen Zahlen: $2\frac{1}{4}$, dann $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$, dann $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ = $1\frac{7}{8} < 2\frac{1}{4} < \frac{7}{3} < \frac{5}{2}$

Answer: $1\frac{7}{8} < 2\frac{1}{4} < \frac{7}{3} < \frac{5}{2}$

Bretter vom längsten zum kürzesten (Referenzbrüche)

Vier Bretter sind $2\frac{5}{8}$ m, $\frac{17}{6}$ m, $2\frac{3}{7}$ m und $3\frac{1}{10}$ m lang. Ordne sie vom längsten zum kürzesten.

Wandle den unechten Bruch in eine gemischte Zahl um: $17 = 2 \times 6 + 5$, also $\frac{17}{6} = 2\frac{5}{6}$ = $2\frac{5}{8}$, $2\frac{5}{6}$, $2\frac{3}{7}$, $3\frac{1}{10}$

Finde die meisten Ganzen: Nur $3\frac{1}{10}$ hat 3 Ganze = $3\frac{1}{10}$ m ist am längsten

Vergleiche die Bruchteile mit dem Referenzbruch $\frac{1}{2}$: $\frac{3}{7} < \frac{1}{2}$ (3 ist weniger als die Hälfte von 7), dagegen $\frac{5}{8} > \frac{1}{2}$ und $\frac{5}{6} > \frac{1}{2}$ = $2\frac{3}{7}$ m ist am kürzesten

Vergleiche die beiden Brüche über einem Halben: $\frac{5}{6}$ und $\frac{5}{8}$ haben denselben Zähler, und Sechstel sind größere Stücke als Achtel = $\frac{5}{6} > \frac{5}{8}$

Answer: $3\frac{1}{10} > \frac{17}{6} > 2\frac{5}{8} > 2\frac{3}{7}$ (in Metern, vom längsten zum kürzesten)

Rennzeiten mit Dezimalzahlen

Vier Radfahrer kommen nach $\frac{11}{4}$ h, $2\frac{2}{3}$ h, $2\frac{7}{10}$ h und $\frac{23}{8}$ h ins Ziel. Ordne die Zeiten vom schnellsten zum langsamsten.

Lege die Richtung fest: Der schnellste Radfahrer hat die kleinste Zeit = Aufsteigend ordnen

Wandle jede Zeit in eine Dezimalzahl um: $\frac{11}{4} = 2{,}75$, $2\frac{2}{3} \approx 2{,}667$, $2\frac{7}{10} = 2{,}7$, $\frac{23}{8} = 2{,}875$ = $2{,}75$; $2{,}667$; $2{,}7$; $2{,}875$

Ordne die Dezimalzahlen: $2{,}667 < 2{,}7 < 2{,}75 < 2{,}875$ = Kleinste Zeit: $2\frac{2}{3}$ h

Schreibe die Reihenfolge mit den ursprünglichen Zahlen: Ersetze jede Dezimalzahl durch ihre Zeit = $2\frac{2}{3} < 2\frac{7}{10} < \frac{11}{4} < \frac{23}{8}$

Answer: Vom schnellsten zum langsamsten: $2\frac{2}{3}$ h, $2\frac{7}{10}$ h, $\frac{11}{4}$ h, $\frac{23}{8}$ h

Fünf Mengen in einem Rezept

Ein Rezept braucht $1\frac{3}{4}$ Tassen Mehl, $\frac{5}{3}$ Tassen Milch, $1\frac{5}{8}$ Tassen Haferflocken, $\frac{13}{6}$ Tassen Wasser und $1\frac{1}{2}$ Tassen Zucker. Ordne die Mengen vom kleinsten zum größten. Welche Menge ist die zweitgrößte?

Wandle die unechten Brüche in gemischte Zahlen um: $\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$ und $\frac{13}{6} = 2\frac{1}{6}$ = $1\frac{3}{4}$, $1\frac{2}{3}$, $1\frac{5}{8}$, $2\frac{1}{6}$, $1\frac{1}{2}$

Sortiere nach den Ganzen: Nur $2\frac{1}{6}$ hat 2 Ganze = $\frac{13}{6}$ Tassen Wasser sind am meisten

Bringe die vier Bruchteile mit 1 Ganzem auf einen gemeinsamen Nenner: Der Hauptnenner von 4, 3, 8 und 2 ist 24: $\frac{3}{4} = \frac{18}{24}$, $\frac{2}{3} = \frac{16}{24}$, $\frac{5}{8} = \frac{15}{24}$, $\frac{1}{2} = \frac{12}{24}$ = $12 < 15 < 16 < 18$

Schreibe die ganze Reihenfolge auf: Verwende die ursprünglichen Zahlen = $1\frac{1}{2} < 1\frac{5}{8} < \frac{5}{3} < 1\frac{3}{4} < \frac{13}{6}$

Answer: $1\frac{1}{2} < 1\frac{5}{8} < \frac{5}{3} < 1\frac{3}{4} < \frac{13}{6}$. Die zweitgrößte Menge sind $1\frac{3}{4}$ Tassen Mehl.

Mistake: Zu denken, ein unechter Bruch wie $\frac{13}{6}$ sei klein, weil er wie ein gewöhnlicher Bruch aussieht

Why: Ein Bruch, dessen Zähler größer als der Nenner ist, ist größer als 1. $\frac{13}{6}$ ist sogar größer als 2.

Correct: Wandle ihn zuerst um: $\frac{13}{6} = 2\frac{1}{6}$, und das ist größer als $1\frac{3}{4}$.

Mistake: Nach den Bruchteilen zu ordnen und die Ganzen zu übersehen, zum Beispiel $2\frac{1}{4} < 1\frac{7}{8}$

Why: Der Bruchteil ist immer kleiner als 1, er kann also nie ein Ganzes weniger ausgleichen.

Correct: Sortiere zuerst nach den Ganzen: $1\frac{7}{8} < 2\frac{1}{4}$, weil $1 < 2$.

Mistake: Zu denken, ein größerer Nenner bedeute eine größere Zahl, zum Beispiel $2\frac{1}{8} > 2\frac{1}{5}$

Why: Bei gleichem Zähler bedeutet ein größerer Nenner kleinere Stücke.

Correct: $\frac{1}{8} < \frac{1}{5}$, also $2\frac{1}{8} < 2\frac{1}{5}$.

Mistake: Die Reihenfolge in der falschen Richtung aufzuschreiben

Why: Gefragt war vom größten zum kleinsten (oder die schnellste Zeit zuerst), aber aus Gewohnheit wurde aufsteigend geordnet.

Correct: Lies die Frage vor dem Antworten noch einmal: absteigend schreibt man mit $>$, aufsteigend mit $<$. Die schnellste Zeit ist die kleinste Zahl.

Holzarbeiten und Bauen

Schreiner sortieren Bretter vor dem Zuschneiden nach Länge, damit die längsten Bretter für die längsten Teile verwendet werden.

Bretter mit $2\frac{1}{2}$ m, $\frac{9}{4}$ m und $2\frac{3}{5}$ m: Da $\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$ ist, lautet die Reihenfolge vom kürzesten zum längsten $\frac{9}{4} < 2\frac{1}{2} < 2\frac{3}{5}$.

Ergebnisse von Rennen

Veranstalter ordnen die Zielzeiten von der kleinsten zur größten, um Sieger und Podest zu bestimmen.

Zeiten von $1\frac{1}{2}$ h, $\frac{7}{5}$ h und $1\frac{3}{4}$ h: Da $\frac{7}{5} = 1{,}4$, $1\frac{1}{2} = 1{,}5$ und $1\frac{3}{4} = 1{,}75$ ist, gewinnt die Person mit $\frac{7}{5}$ h.

Kochen und Backen

Wer kocht, vergleicht die Mengen im Rezept, um zu sehen, wovon am meisten gebraucht wird und was zuerst eingekauft werden muss.

Ein Brotrezept braucht $\frac{7}{2}$ Tassen Mehl, $1\frac{1}{4}$ Tassen Wasser und $\frac{3}{4}$ Tasse Körner: $\frac{3}{4} < 1\frac{1}{4} < \frac{7}{2}$, also ist Mehl die größte Menge.

Q: Muss ich unechte Brüche in gemischte Zahlen umwandeln?

A: So siehst du die Ganzen am schnellsten. Du kannst auch jede gemischte Zahl in einen unechten Bruch umwandeln (zum Beispiel $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$) und mit einem gemeinsamen Nenner vergleichen, aber dann werden die Zahlen größer.

Q: Was ist, wenn zwei Zahlen in der Liste gleich sind?

A: Dann teilen sie sich denselben Platz in der Reihenfolge. Zum Beispiel ist $\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$, also schreibst du $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$ direkt nebeneinander.

Q: Wann sind Dezimalzahlen besser als ein gemeinsamer Nenner?

A: Dezimalzahlen sind praktisch, wenn die Nenner kein kleines gemeinsames Vielfaches haben, etwa 7, 8 und 10, oder wenn du einen Taschenrechner hast. Bei Halben, Dritteln, Vierteln und Sechsteln ist ein gemeinsamer Nenner besser, weil er genaue Ergebnisse liefert.

Q: Wohin gehört eine ganze Zahl wie 3?

A: Eine ganze Zahl ist eine gemischte Zahl mit dem Bruchteil 0. Also gilt $2\frac{9}{10} < 3 < 3\frac{1}{9}$.