SSS mit gegebenen Längen prüfen

Im $\triangle ABC$ gilt: $AB = 5$ cm, $BC = 7$ cm, $CA = 6$ cm. Im $\triangle DEF$ gilt: $DE = 5$ cm, $EF = 7$ cm, $FD = 6$ cm. Sind die Dreiecke kongruent?

Vergleiche das erste Seitenpaar: $AB = DE = 5$ cm = $\overline{AB} \cong \overline{DE}$

Vergleiche das zweite Paar: $BC = EF = 7$ cm = $\overline{BC} \cong \overline{EF}$

Vergleiche das dritte Paar: $CA = FD = 6$ cm = $\overline{CA} \cong \overline{FD}$

Wende SSS an: Alle drei Seitenpaare sind kongruent = $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ nach SSS

Answer: Ja, $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ nach SSS. Es wurden keine Winkel gebraucht.

Die Kongruenzaussage in der richtigen Reihenfolge schreiben

Im $\triangle PQR$ gilt: $PQ = 8$, $QR = 11$, $RP = 9$. Im $\triangle XYZ$ gilt: $XY = 9$, $YZ = 8$, $ZX = 11$. Schreibe eine korrekte Kongruenzaussage.

Ordne die Seiten nach Länge zu: $8$: $PQ \leftrightarrow YZ$, $\quad 9$: $RP \leftrightarrow XY$, $\quad 11$: $QR \leftrightarrow ZX$ = Drei gleiche Paare, also gilt SSS

Finde den Partner von P: In $P$ treffen sich die Seiten $8$ und $9$. Im $\triangle XYZ$ treffen sich die Seiten $8$ ($YZ$) und $9$ ($XY$) in $Y$ = $P \leftrightarrow Y$

Finde die Partner von Q und R: $Q$: Die Seiten $8$ und $11$ treffen sich, im $\triangle XYZ$ ist das $Z$. $R$: Die Seiten $9$ und $11$ treffen sich, das ist $X$ = $Q \leftrightarrow Z$, $R \leftrightarrow X$

Schreibe die Aussage in passender Reihenfolge: $P, Q, R$ gehören zu $Y, Z, X$ = $\triangle PQR \cong \triangle YZX$

Answer: $\triangle PQR \cong \triangle YZX$ nach SSS. Die Aussage $\triangle PQR \cong \triangle XYZ$ wäre falsch, denn $P$ entspricht nicht $X$.

SSS im Koordinatensystem

Beweise, dass $\triangle ABC$ mit $A(1, 1)$, $B(5, 3)$, $C(2, 6)$ kongruent zu $\triangle DEF$ mit $D(-7, -1)$, $E(-5, -5)$, $F(-2, -2)$ ist.

Berechne AB und DE mit der Abstandsformel: $AB = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20}$, $\quad DE = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{20}$ = $AB = DE = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

Berechne BC und EF: $BC = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{18}$, $\quad EF = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18}$ = $BC = EF = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

Berechne CA und FD: $CA = \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{26}$, $\quad FD = \sqrt{(-5)^2 + 1^2} = \sqrt{26}$ = $CA = FD = \sqrt{26}$

Wende SSS an: Drei Paare gleich langer Seiten = $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ nach SSS

Answer: Alle drei Seitenpaare sind gleich lang ($\sqrt{20}$, $\sqrt{18}$, $\sqrt{26}$), also ist $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ nach SSS. Das Dreieck $DEF$ ist das Dreieck $ABC$, um $90°$ gedreht und verschoben.

Beweis in zwei Spalten mit gemeinsamer Seite

Im Drachenviereck $ABCD$ gilt $AB = AD$ und $CB = CD$. Die Diagonale $AC$ ist eingezeichnet. Beweise, dass $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ und $\angle B \cong \angle D$ gilt.

Aussage 1 und ihre Begründung: $\overline{AB} \cong \overline{AD}$ = Begründung: gegeben

Aussage 2 und ihre Begründung: $\overline{CB} \cong \overline{CD}$ = Begründung: gegeben

Aussage 3: die gemeinsame Seite: $\overline{AC} \cong \overline{AC}$ = Begründung: Reflexivität (jede Strecke ist zu sich selbst kongruent)

Aussage 4: die Dreiecke: $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ = Begründung: SSS (Aussagen 1, 2, 3)

Aussage 5: die Winkel: $\angle ABC \cong \angle ADC$ = Begründung: entsprechende Teile kongruenter Dreiecke sind kongruent

Answer: $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ nach SSS, und daraus folgt $\angle B \cong \angle D$, weil entsprechende Teile kongruenter Dreiecke kongruent sind. Die gemeinsame Seite $AC$ ist das dritte Seitenpaar.

Algebra mit SSS

Es gilt $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ nach SSS. $AB = 2x + 1$, $DE = 11$, $BC = 3y - 2$, $EF = 16$ und $CA = FD = 9$. Bestimme $x$, $y$ und den Umfang von $\triangle ABC$.

Entsprechende Seiten sind gleich: AB = DE: $2x + 1 = 11 \Rightarrow 2x = 10$ = $x = 5$

BC = EF: $3y - 2 = 16 \Rightarrow 3y = 18$ = $y = 6$

Schreibe die drei Seiten von ABC auf: $AB = 11$, $BC = 16$, $CA = 9$ = Seiten 11, 16 und 9

Addiere die Seiten: $11 + 16 + 9$ = Umfang $= 36$

Answer: $x = 5$, $y = 6$, und der Umfang von $\triangle ABC$ beträgt $36$.

Mistake: Die Ecken in der falschen Reihenfolge schreiben, etwa $\triangle PQR \cong \triangle XYZ$, obwohl $P$ zu $Y$ gehört

Why: Eine Kongruenzaussage verspricht, dass die ersten Buchstaben einander entsprechen, ebenso die zweiten und die dritten. Alphabetische Reihenfolge ist nicht dasselbe wie passende Reihenfolge.

Correct: Ordne zuerst die Seiten nach Länge zu und suche dann, in welchen Ecken sich die passenden Seiten treffen. Schreibe die Ecken in dieser Reihenfolge: $\triangle PQR \cong \triangle YZX$.

Mistake: Glauben, dass SSS auch für Vierecke gilt

Why: Ein Quadrat mit Seitenlänge 4 und eine schmale Raute mit Seitenlänge 4 haben vier gleiche Seitenpaare, sind aber nicht kongruent. Vier Seiten legen die Winkel nicht fest.

Correct: Seitenlängen allein legen nur die Form eines Dreiecks fest. Bei Vierecken brauchst du zusätzlich Winkel oder eine Diagonale.

Mistake: Die gemeinsame Seite im Beweis vergessen

Why: Wenn zwei Dreiecke eine Seite teilen, finden viele nur zwei Paare gleicher Seiten und hören auf, oder sie benutzen die Seite ohne Begründung.

Correct: Schreibe die gemeinsame Seite als eigene Aussage, $\overline{AC} \cong \overline{AC}$, mit der Begründung Reflexivität. Sie zählt als drittes Paar.

Mistake: Kongruenz aus gleichem Umfang folgern

Why: Dreiecke mit den Seiten 3, 4, 5 und 4, 4, 4 haben beide den Umfang 12, aber verschiedene Formen.

Correct: SSS braucht drei einzelne Paare gleich langer Seiten, nicht nur dieselbe Summe.

Dachbinder

Zimmerleute bauen Dächer aus gleichen Dreiecken, weil sich ein Dreieck mit festen Seiten nicht aus der Form drücken lässt.

Jeder Binder eines Gartenhauses besteht aus Balken von 3 m, 4 m und 5 m. Nach SSS sind alle Binder kongruent, deshalb ist das Dach auf der ganzen Länge gleich.

Felder auf einem Kartenraster

Planer vergleichen Grundstücke mit Koordinaten und der Abstandsformel, ohne vor Ort zu sein.

Feld 1 hat die Ecken $(0, 0)$, $(6, 0)$ und $(0, 8)$, Feld 2 hat die Ecken $(10, 2)$, $(10, 8)$ und $(18, 2)$. Beide haben Seiten von 6, 8 und 10 Rastereinheiten, also sind sie nach SSS kongruent.

Qualitätskontrolle von Fliesen

Eine Fliesenfabrik prüft dreieckige Fliesen an einer Schablone, indem sie die drei Seiten misst.

Die Schablone hat Seiten von 12 cm, 15 cm und 20 cm. Eine Fliese mit 20 cm, 12 cm und 15 cm besteht die Prüfung: Die Reihenfolge beim Messen ist egal, es zählen nur die drei Paare.

Q: Warum funktioniert SSS ganz ohne Winkel?

A: Versuche, aus drei Stäben fester Länge ein Dreieck zu bauen. Sobald die Enden verbunden sind, gibt es nur eine Form, du kannst die Winkel weder öffnen noch schließen. Jedes Dreieck mit diesen drei Seiten ist dasselbe Dreieck, höchstens gedreht oder gespiegelt. Deshalb reichen drei Seiten.

Q: Warum gilt SSS nicht für Vierecke?

A: Vier Stäbe, die an den Ecken verbunden sind, lassen sich noch bewegen: Ein Quadrat mit Seitenlänge 4 lässt sich zu einer Raute mit Seitenlänge 4 drücken. Die Seiten bleiben gleich, die Winkel ändern sich. Eine Diagonale teilt die Figur in zwei Dreiecke und macht sie starr.

Q: Spielt die Reihenfolge der Seiten eine Rolle?

A: Nicht für die Entscheidung, ob Kongruenz vorliegt: Seiten 5, 6, 8 und 8, 5, 6 ergeben kongruente Dreiecke. Für die Kongruenzaussage aber schon: Die Eckpunkte müssen in der passenden Reihenfolge stehen.

Q: Was ist der Unterschied zwischen SSS-Kongruenz und SSS-Ähnlichkeit?

A: Für die SSS-Kongruenz brauchst du drei Paare gleich langer Seiten, die Dreiecke sind also gleich groß. Für die SSS-Ähnlichkeit müssen nur die drei Verhältnisse entsprechender Seiten gleich sein, ein Dreieck kann also eine vergrößerte Kopie des anderen sein.