SSS-Ähnlichkeit prüfen

$\triangle ABC$ hat die Seiten $AB = 4$, $BC = 6$, $CA = 8$. $\triangle DEF$ hat die Seiten $DE = 6$, $EF = 9$, $FD = 12$. Sind die Dreiecke ähnlich?

Sortiere die Seiten jedes Dreiecks von der kürzesten zur längsten: $\triangle ABC$: $4, 6, 8$. $\triangle DEF$: $6, 9, 12$ = Paare: $4 \leftrightarrow 6$, $6 \leftrightarrow 9$, $8 \leftrightarrow 12$

Teile jede Seite von $\triangle DEF$ durch die entsprechende Seite von $\triangle ABC$: $\frac{6}{4} = 1{,}5$, $\frac{9}{6} = 1{,}5$, $\frac{12}{8} = 1{,}5$ = Alle drei Verhältnisse sind $1{,}5$

Wende die SSS-Ähnlichkeit an: Drei gleiche Verhältnisse, also sind die Seiten verhältnisgleich = $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, $k = 1{,}5$

Answer: Ja, $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ nach der SSS-Ähnlichkeit mit dem Streckfaktor $k = 1{,}5$.

Wenn die SSS-Ähnlichkeit nicht gilt

Ein Dreieck hat die Seiten $5$, $7$, $9$. Ein anderes hat die Seiten $10$, $14$, $17$. Sind sie ähnlich?

Ordne die Seiten der Reihe nach zu: $5 \leftrightarrow 10$, $7 \leftrightarrow 14$, $9 \leftrightarrow 17$ = Seiten von der kürzesten zur längsten sortiert

Berechne die drei Verhältnisse: $\frac{10}{5} = 2$, $\frac{14}{7} = 2$, $\frac{17}{9} \approx 1{,}89$ = Das dritte Verhältnis ist anders

Entscheide: SSS verlangt, dass ALLE drei Verhältnisse gleich sind. Zwei von drei reichen nicht. = Nicht ähnlich

Answer: Nein. Die Verhältnisse sind $2$, $2$ und etwa $1{,}89$, also sind die Dreiecke nicht ähnlich. Bei einem ähnlichen Dreieck müsste die längste Seite $9 \cdot 2 = 18$ sein.

SWS-Ähnlichkeit und eine fehlende Seite

In $\triangle PQR$ gilt: $PQ = 5$, $QR = 8$, $\angle Q = 60°$, $PR = 7$. In $\triangle XYZ$ gilt: $XY = 10$, $YZ = 16$, $\angle Y = 60°$. Sind die Dreiecke ähnlich? Wenn ja, berechne $XZ$.

Vergleiche die beiden Seitenpaare: $\frac{XY}{PQ} = \frac{10}{5} = 2$, $\frac{YZ}{QR} = \frac{16}{8} = 2$ = Gleiches Verhältnis $k = 2$

Prüfe, ob der Winkel der eingeschlossene Winkel ist: $\angle Q$ liegt zwischen $PQ$ und $QR$, $\angle Y$ liegt zwischen $XY$ und $YZ$, und $\angle Q = \angle Y = 60°$ = Die eingeschlossenen Winkel sind gleich groß

Wende die SWS-Ähnlichkeit an: Zwei verhältnisgleiche Seiten und der eingeschlossene Winkel = $\triangle PQR \sim \triangle XYZ$, $k = 2$

Nutze den Streckfaktor für die fehlende Seite: $XZ = k \cdot PR = 2 \cdot 7$ = $XZ = 14$

Answer: Ja, $\triangle PQR \sim \triangle XYZ$ nach der SWS-Ähnlichkeit mit $k = 2$, und $XZ = 14$.

Verschachtelte Dreiecke mit gemeinsamem Winkel

Im $\triangle ABC$ liegt der Punkt $D$ auf $AB$ und der Punkt $E$ auf $AC$. $AD = 4$, $AB = 12$, $AE = 5$, $AC = 15$ und $DE = 6$. Zeige, dass $\triangle ADE \sim \triangle ABC$, und berechne $BC$.

Finde den gemeinsamen Winkel: Beide Dreiecke enthalten den Winkel bei $A$ = $\angle DAE = \angle BAC$

Vergleiche die Seiten am Winkel $A$: $\frac{AB}{AD} = \frac{12}{4} = 3$, $\frac{AC}{AE} = \frac{15}{5} = 3$ = Gleiches Verhältnis $k = 3$

Wende die SWS-Ähnlichkeit an: Der gemeinsame Winkel ist bei beiden Seitenpaaren der eingeschlossene Winkel = $\triangle ADE \sim \triangle ABC$

Berechne die dritte Seite: $BC = k \cdot DE = 3 \cdot 6$ = $BC = 18$

Answer: $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ nach der SWS-Ähnlichkeit (gemeinsamer Winkel $A$, $k = 3$), also $BC = 18$. Nimm die ganzen Seiten $AB$ und $AC$, nicht die Teilstücke $DB$ und $EC$.

Umfangsverhältnis und Flächenverhältnis

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Seiten $3$, $4$, $5$. Ein zweites Dreieck hat die Seiten $9$, $12$, $15$. Vergleiche ihre Umfänge und Flächen.

Prüfe die SSS-Ähnlichkeit: $\frac{9}{3} = \frac{12}{4} = \frac{15}{5} = 3$ = Ähnlich, $k = 3$

Vergleiche die Umfänge: $3 + 4 + 5 = 12$ und $9 + 12 + 15 = 36$, $\frac{36}{12} = 3$ = Umfangsverhältnis $= k = 3$

Vergleiche die Flächen (die Katheten sind Grundseite und Höhe): $\frac{3 \cdot 4}{2} = 6$ und $\frac{9 \cdot 12}{2} = 54$, $\frac{54}{6} = 9$ = Flächenverhältnis $= 9$

Verbinde das Flächenverhältnis mit $k$: $k^2 = 3^2 = 9$ = Flächenverhältnis $= k^2$

Answer: Die Umfänge sind $12$ und $36$ (Verhältnis $3 = k$), die Flächen sind $6$ und $54$ (Verhältnis $9 = k^2$).

Mistake: Die Seiten in der angegebenen Reihenfolge zuordnen, zum Beispiel $4, 6, 8$ mit $12, 9, 6$, und die Verhältnisse $3$, $1{,}5$, $0{,}75$ erhalten

Why: Die Reihenfolge, in der die Längen aufgeschrieben sind, sagt nichts darüber, welche Seiten sich entsprechen. Falsche Paare ergeben verschiedene Verhältnisse, selbst bei ähnlichen Dreiecken.

Correct: Sortiere zuerst beide Dreiecke von der kürzesten zur längsten Seite: $4, 6, 8$ und $6, 9, 12$. Dann sind alle Verhältnisse $1{,}5$.

Mistake: SWS mit einem Winkel verwenden, der nicht zwischen den beiden Seiten liegt

Why: Zwei verhältnisgleiche Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel (SSW) legen die Form nicht fest: Zwei verschiedene Dreiecke können dieselben zwei Seiten und denselben Winkel gegenüber einer von ihnen haben.

Correct: Prüfe, dass der gleich große Winkel genau von den beiden verglichenen Seiten gebildet wird. Sonst gilt die SWS-Ähnlichkeit nicht.

Mistake: Glauben, dass auch das Flächenverhältnis $k$ ist

Why: Eine Fläche ist Länge mal Länge, also wachsen beide Faktoren mit $k$: Die Fläche wächst mit $k \cdot k = k^2$.

Correct: Umfangsverhältnis $= k$, Flächenverhältnis $= k^2$. Bei $k = 3$ ist die Fläche $9$-mal so groß, nicht $3$-mal.

Mistake: Bei einem Paar groß durch klein teilen und bei einem anderen klein durch groß, zum Beispiel $\frac{6}{4} = 1{,}5$, aber $\frac{6}{9} \approx 0{,}67$

Why: Dann sehen die Verhältnisse verschieden aus, obwohl die Seiten verhältnisgleich sind.

Correct: Teile immer in dieselbe Richtung: Seite des Bilddreiecks durch Seite des Originals (oder bei jedem Paar umgekehrt).

Ein Logo vergrößern

Designer vergrößern Logos so, dass jede Länge mit demselben Streckfaktor wächst. Das vergrößerte Dreieck ist nach der SSS-Ähnlichkeit ähnlich zum Original und behält genau seine Form.

Ein dreieckiges Logo mit den Seiten $2$ cm, $3$ cm und $4$ cm wird mit $k = 5$ auf ein Plakat gedruckt: Die Seiten werden $10$ cm, $15$ cm und $20$ cm lang.

Über einen See hinweg messen

Vermesser können kein Maßband über das Wasser spannen. Sie markieren zwei Punkte auf Linien, die von einem Eckpunkt weggehen, und nutzen das kleine Dreieck, das den Winkel an der Ecke mit dem großen Dreieck teilt.

Vom Punkt $A$ führen zwei gerade Wege am See vorbei. Ein kleines Dreieck, dessen Seiten entlang beider Wege $\frac{1}{4}$ so lang sind wie beim großen, teilt den Winkel bei $A$, also ist der See $4$-mal so breit wie die kurze Strecke, die an Land gemessen wird.

Stoff für ein größeres Segel

Segelmacher vergrößern oder verkleinern bewährte Segelformen. Das neue Segel ist ähnlich zum alten, aber der benötigte Stoff wächst mit dem Flächenverhältnis $k^2$, nicht mit $k$.

Ein Segel, das an jeder Seite $1{,}5$-mal so lang ist, braucht $1{,}5^2 = 2{,}25$-mal so viel Stoff.

Q: Wie unterscheidet sich die SSS-Ähnlichkeit von der SSS-Kongruenz?

A: Die SSS-Kongruenz verlangt drei Paare **gleich langer** Seiten. Die SSS-Ähnlichkeit verlangt nur drei Seitenpaare im **gleichen Verhältnis**. Kongruenz ist der Sonderfall $k = 1$.

Q: Warum muss der Winkel bei SWS der eingeschlossene Winkel sein?

A: Die beiden Seiten und der Winkel dazwischen legen die Form vollständig fest. Liegt der Winkel woanders (SSW), passen zwei verschiedene Dreiecke zu denselben Angaben, und du kannst nicht auf Ähnlichkeit schließen.

Q: Wann nehme ich AA, SSS oder SWS?

A: Schau, was gegeben ist. Zwei Paare gleich großer Winkel: AA. Drei Paare von Seitenlängen: SSS. Zwei Paare von Seitenlängen und der Winkel dazwischen: SWS. Bei verschachtelten Dreiecken bekommst du durch einen gemeinsamen Winkel oft den Winkel für AA oder SWS geschenkt.

Q: Ist es egal, durch welches Dreieck ich teile?

A: Nur der Wert von $k$ ändert sich. Groß durch klein ergibt $k > 1$ (Vergrößerung), klein durch groß ergibt $k < 1$ (Verkleinerung). Beides funktioniert, solange du bei jedem Paar in dieselbe Richtung teilst.