Symmetrieachsen eines Rechtecks

Ein Rechteck ist $6$ cm lang und $4$ cm breit. Wie viele Symmetrieachsen hat es?

Falte es von oben nach unten: Die Faltlinie geht durch die Mittelpunkte der beiden kurzen Seiten. Beide Hälften sind $6$ cm mal $2$ cm groß und passen aufeinander. = 1 Symmetrieachse

Falte es von links nach rechts: Die Faltlinie geht durch die Mittelpunkte der beiden langen Seiten. Beide Hälften sind $3$ cm mal $4$ cm groß und passen aufeinander. = 2. Symmetrieachse

Teste eine Diagonale: Beim Falten entlang einer Diagonale wird ein Dreieck umgeklappt, aber die Ecken treffen nicht aufeinander, weil $6 \neq 4$. = Eine Diagonale ist KEINE Symmetrieachse

Answer: Das Rechteck hat $2$ Symmetrieachsen, beide durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten. Die Diagonalen sind keine Symmetrieachsen.

Drehsymmetrie eines regelmäßigen Fünfecks

Bestimme die Ordnung der Drehsymmetrie und den kleinsten Drehwinkel eines regelmäßigen Fünfecks.

Zähle die Lagen: Jede Ecke kann an den Platz der nächsten Ecke rücken, und das Fünfeck sieht gleich aus. Es gibt $5$ Ecken. = Ordnung $5$

Verwende die Formel: $\text{kleinster Winkel} = \frac{360°}{5}$ = $72°$

Prüfe mit der vollen Drehung: $5 \times 72° = 360°$ = Fünf Drehungen um $72°$ ergeben eine volle Drehung

Answer: Ein regelmäßiges Fünfeck hat Drehsymmetrie der Ordnung $5$ mit einem kleinsten Drehwinkel von $72°$.

Die ganze Symmetrie eines regelmäßigen Achtecks

Ein Stoppschild ist ein regelmäßiges Achteck. Beschreibe alle seine Symmetrieachsen und seine Drehsymmetrie.

Zähle die Achsen durch gegenüberliegende Ecken: $8$ Ecken ergeben $\frac{8}{2} = 4$ Paare gegenüberliegender Ecken. = $4$ Achsen

Zähle die Achsen durch Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten: $8$ Seiten ergeben $\frac{8}{2} = 4$ Paare gegenüberliegender Seiten. = $4$ Achsen

Addiere sie: $4 + 4 = 8$, so viele wie Seiten = $8$ Symmetrieachsen

Bestimme Ordnung und kleinsten Winkel: Ordnung $8$, kleinster Winkel $\frac{360°}{8} = 45°$ = $45°$

Prüfe auf Punktsymmetrie: $180° = 4 \times 45°$, also passt auch eine halbe Drehung = Punktsymmetrie: ja

Answer: Ein regelmäßiges Achteck hat $8$ Symmetrieachsen, Drehsymmetrie der Ordnung $8$ (kleinster Winkel $45°$) und ist punktsymmetrisch.

Ein Parallelogramm: Drehen ohne Falten

Ist ein Parallelogramm (das kein Rechteck und keine Raute ist) achsensymmetrisch? Ist es drehsymmetrisch?

Falte durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Seiten: Die schrägen Seiten sind in dieselbe Richtung geneigt, nach dem Falten kreuzen sie sich, statt aufeinanderzuliegen. = Keine Symmetrieachse

Falte entlang einer Diagonale: Die beiden Dreiecke sind kongruent, aber beim Falten wird eines umgeklappt, deshalb treffen die Ecken nicht aufeinander. = Keine Symmetrieachse

Drehe es um $180°$ um den Schnittpunkt der Diagonalen: Die Diagonalen halbieren sich gegenseitig, also landet jede Ecke auf der gegenüberliegenden Ecke. = Es passt nach einer halben Drehung

Gib Ordnung und Punktsymmetrie an: Es passt nach $180°$ und nach $360°$: $\frac{360°}{180°} = 2$ = Ordnung $2$, punktsymmetrisch

Answer: Ein Parallelogramm hat $0$ Symmetrieachsen, aber Drehsymmetrie der Ordnung $2$, es ist also punktsymmetrisch.

Rückwärts vom Winkel aus

Ein regelmäßiges Vieleck passt nach einer Drehung um $40°$ auf sich selbst, und $40°$ ist der kleinste solche Winkel. Wie viele Seiten und wie viele Symmetrieachsen hat es?

Bestimme die Ordnung: $\text{Ordnung} = \frac{360°}{40°} = 9$ = Ordnung $9$

Bestimme die Anzahl der Seiten: Bei einem regelmäßigen Vieleck ist die Ordnung gleich der Anzahl der Seiten = $9$ Seiten (ein Neuneck)

Bestimme die Symmetrieachsen: Ein regelmäßiges Vieleck hat so viele Achsen wie Seiten = $9$ Achsen

Beschreibe die Achsen: $9$ ist ungerade, also geht jede Achse durch eine Ecke und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite = Keine Achse verbindet zwei Ecken

Answer: Es ist ein regelmäßiges Neuneck: $9$ Seiten, $9$ Symmetrieachsen (jede durch eine Ecke und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite), Ordnung $9$.

Mistake: Die Diagonalen eines Rechtecks als Symmetrieachsen zählen

Why: Eine Diagonale teilt das Rechteck in zwei kongruente Dreiecke, aber kongruente Hälften reichen nicht: Sie müssen an der Geraden gespiegelt aufeinanderliegen.

Correct: Mach den Falttest. Beim Falten entlang einer Diagonale treffen die Ecken eines Rechtecks nicht aufeinander, es hat also nur $2$ Symmetrieachsen.

Mistake: Den Winkel statt der Ordnung angeben (ein Quadrat habe Ordnung $90$)

Why: Ordnung und kleinster Winkel sind zwei verschiedene Zahlen, die zusammengehören.

Correct: Die Ordnung zählt, wie oft die Figur in einer vollen Drehung passt ($4$ beim Quadrat); der Winkel ist $\frac{360°}{\text{Ordnung}} = 90°$.

Mistake: Glauben, jede drehsymmetrische Figur sei auch achsensymmetrisch

Why: Viele bekannte symmetrische Figuren haben beides, deshalb nimmt man an, dass es immer zusammen auftritt.

Correct: Ein Parallelogramm hat Ordnung $2$, aber $0$ Symmetrieachsen. Prüfe Falten und Drehen immer getrennt.

Mistake: Jede Symmetrieachse eines Vielecks mit gerader Seitenzahl doppelt zählen

Why: Eine Achse durch zwei gegenüberliegende Ecken berührt zwei Ecken und wird deshalb an beiden Enden gezählt.

Correct: Zähle Paare: Ein regelmäßiges Sechseck hat $3$ Achsen durch gegenüberliegende Ecken und $3$ durch gegenüberliegende Seitenmitten, insgesamt $6$.

Verkehrszeichen

Ein Stoppschild ist ein regelmäßiges Achteck. Dank seiner Symmetrie erkennt man es leicht, auch schräg von der Seite oder wenn es leicht verdreht ist.

Das Schild „Vorfahrt gewähren“ ist ein gleichseitiges Dreieck: $3$ Symmetrieachsen und Ordnung $3$, es passt also nach $\frac{360°}{3} = 120°$ auf sich selbst.

Radkappen und Räder

Raddesigner verteilen gleiche Speichen gleichmäßig. Dann ist das Rad drehsymmetrisch und bleibt beim Drehen ausgewuchtet.

Ein Rad mit $4$ gleichen Speichen hat Ordnung $4$: Es sieht nach jeweils $\frac{360°}{4} = 90°$ gleich aus.

Schneeflocken

Eiskristalle wachsen in sechs Richtungen, deshalb hat eine Schneeflocke $6$ Symmetrieachsen und Drehsymmetrie der Ordnung $6$, genau wie ein regelmäßiges Sechseck.

Eine Schneeflocke passt nach $\frac{360°}{6} = 60°$ auf sich selbst, und weil $6$ gerade ist, ist sie auch punktsymmetrisch.

Q: Warum sagt man Ordnung 1 und nicht Ordnung 0?

A: Jede Figur passt nach einer vollen Drehung um $360°$ wieder auf sich selbst, also ist die Anzahl mindestens $1$. Ordnung $1$ bedeutet, dass nur diese volle Drehung passt, die Figur hat also keine Drehsymmetrie.

Q: Ist Punktsymmetrie dasselbe wie Drehsymmetrie?

A: Punktsymmetrie ist ein besonderer Fall der Drehsymmetrie: Eine halbe Drehung ($180°$) passt. Figuren mit Ordnung $2$, $4$ oder $6$ sind punktsymmetrisch. Ein gleichseitiges Dreieck (Ordnung $3$) ist drehsymmetrisch, aber nicht punktsymmetrisch.

Q: Ist die Anzahl der Achsen immer gleich der Ordnung?

A: Bei einem Vieleck mit mindestens einer Symmetrieachse ja: Das Quadrat hat $4$ und $4$, das Drachenviereck $1$ und $1$. Ein Vieleck ohne Achsen kann trotzdem drehsymmetrisch sein, wie das Parallelogramm mit Ordnung $2$.

Q: Wie viele Symmetrieachsen hat ein Kreis?

A: Unendlich viele: Jede Gerade durch den Mittelpunkt ist eine Symmetrieachse, und ein Kreis passt nach einer Drehung um jeden beliebigen Winkel auf sich selbst. Ein Kreis ist kein Vieleck, deshalb steht er nicht in der Tabelle.