Regelmäßige Vielecke

Ein **regelmäßiges Vieleck** hat **alle Seiten gleich lang** UND **alle Winkel gleich groß**. Beide Bedingungen sind nötig: - Eine **Raute** hat vier gleich lange Seiten, aber ihre Winkel sind nicht alle gleich (zum Beispiel $60°$ und $120°$), also ist sie **nicht** regelmäßig. - Ein **Rechteck** hat vier gleich große Winkel ($90°$), aber seine Seiten sind nicht alle gleich lang, also ist es **nicht** regelmäßig. - Ein **Quadrat** hat beides, es ist ein regelmäßiges Viereck. Jedes regelmäßige Vieleck hat einen **Mittelpunkt** $M$, der von allen Ecken gleich weit entfernt ist. Die Strecken vom Mittelpunkt zu den Ecken zerlegen ein regelmäßiges $n$-Eck in $n$ kongruente gleichschenklige Dreiecke. **Winkel eines regelmäßigen $n$-Ecks** (die Winkelsumme $(n-2) \cdot 180°$ kennst du aus der Lektion zur Winkelsumme): $$\text{Innenwinkel} = \frac{(n-2) \cdot 180°}{n} \qquad \text{Außenwinkel} = \frac{360°}{n} \qquad \text{Mittelpunktswinkel} = \frac{360°}{n}$$ Der **Mittelpunktswinkel** ist der Winkel am Mittelpunkt zwischen den Strecken zu zwei benachbarten Ecken. Bei einem regelmäßigen Vieleck ist er genauso groß wie der Außenwinkel. **Längen:** Der **Umkreisradius** $r$ geht vom Mittelpunkt zu einer Ecke, der **Inkreisradius** $a$ (auch **Apothem** genannt) geht vom Mittelpunkt zur Mitte einer Seite und steht senkrecht auf ihr. **Umfang und Flächeninhalt** (Seitenlänge $s$): $$u = n \cdot s \qquad A = \frac{1}{2} \cdot u \cdot a$$ **Parkettierung:** Ein regelmäßiges Vieleck füllt eine Fläche allein nur dann lückenlos, wenn sein Innenwinkel ein Teiler von $360°$ ist. Das klappt bei genau drei: beim gleichseitigen Dreieck ($60°$), beim Quadrat ($90°$) und beim regelmäßigen Sechseck ($120°$).

Regelmäßig oder nicht?

Entscheide, welche Figuren regelmäßige Vielecke sind: eine Raute mit Winkeln von $70°$ und $110°$, ein Rechteck mit 3 cm mal 5 cm und ein gleichseitiges Dreieck.

Prüfe die Raute: Alle 4 Seiten sind gleich lang, aber die Winkel sind $70°$ und $110°$ = Winkel nicht gleich: nicht regelmäßig

Prüfe das Rechteck: Alle 4 Winkel sind $90°$, aber die Seiten sind 3 cm und 5 cm lang = Seiten nicht gleich: nicht regelmäßig

Prüfe das gleichseitige Dreieck: Alle 3 Seiten sind gleich lang und alle 3 Winkel sind $60°$ = Regelmäßig

Answer: Nur das gleichseitige Dreieck ist regelmäßig. Die Raute scheitert an den Winkeln, das Rechteck an den Seiten.

Alle drei Winkel eines regelmäßigen Achtecks

Bestimme den Innenwinkel, den Außenwinkel und den Mittelpunktswinkel eines regelmäßigen Achtecks.

Zähle die Seiten: Ein Achteck hat $n = 8$ Seiten = $n = 8$

Innenwinkel: $\frac{(8-2) \cdot 180°}{8} = \frac{1080°}{8}$ = $135°$

Außenwinkel: $\frac{360°}{8}$ (Probe: $180° - 135° = 45°$) = $45°$

Mittelpunktswinkel: $\frac{360°}{8}$, die volle Drehung um den Mittelpunkt, geteilt auf 8 Dreiecke = $45°$

Answer: Innenwinkel $135°$, Außenwinkel $45°$, Mittelpunktswinkel $45°$.

Eckenzahl aus dem Innenwinkel bestimmen

Jeder Innenwinkel eines regelmäßigen Vielecks ist $144°$ groß. Wie viele Seiten hat es?

Bestimme den Außenwinkel: $180° - 144°$ = $36°$

Nutze Außenwinkel $= \frac{360°}{n}$: $n = \frac{360°}{36°}$ = $n = 10$

Probe mit der Innenwinkelformel: $\frac{(10-2) \cdot 180°}{10} = \frac{1440°}{10} = 144°$ = Stimmt

Answer: Das Vieleck hat 10 Seiten: Es ist ein regelmäßiges Zehneck.

Flächeninhalt mit gegebenem Inkreisradius

Ein regelmäßiges Fünfeck hat Seiten von 8 cm und einen Inkreisradius von 5,5 cm. Berechne seinen Flächeninhalt.

Berechne den Umfang: $u = 5 \cdot 8$ = $u = 40$ cm

Schreibe die Flächenformel auf: $A = \frac{1}{2} \cdot u \cdot a$ = Formel bereit

Setze ein: $A = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 5{,}5$ = $A = 110$ cm²

Answer: Der Flächeninhalt des Fünfecks beträgt $110$ cm².

Fläche eines regelmäßigen Sechsecks aus der Seitenlänge

Ein regelmäßiges Sechseck hat Seiten von 6 cm. Berechne seinen Flächeninhalt, ohne dass der Inkreisradius gegeben ist.

Zerlege es vom Mittelpunkt aus in 6 Dreiecke: Mittelpunktswinkel $\frac{360°}{6} = 60°$, Basiswinkel $\frac{180° - 60°}{2} = 60°$ = 6 gleichseitige Dreiecke mit Seite 6 cm

Der Inkreisradius ist die Höhe eines Dreiecks: $a = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27}$ = $a \approx 5{,}196$ cm

Fläche eines Dreiecks: $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5{,}196$ = $\approx 15{,}59$ cm²

Fläche des Sechsecks: $6 \cdot 15{,}588 \approx 93{,}53$ (Probe: $\frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 5{,}196 \approx 93{,}53$) = $A \approx 93{,}53$ cm²

Answer: Der Flächeninhalt beträgt etwa $93{,}53$ cm² (genau $54\sqrt{3}$ cm²).

Regelmäßige Vielecke sind die Formen, die man wählt, wenn alles gleichmäßig, stabil oder leicht wiederholbar sein soll: - **Natur**: Bienen bauen sechseckige Waben. Sechsecke füllen den Raum lückenlos und brauchen am wenigsten Wachs für die Wände. - **Verkehrszeichen**: Das Stoppschild ist ein regelmäßiges Achteck, so erkennen Autofahrer es sogar von hinten. - **Böden und Wände**: Fliesen sind Quadrate, Dreiecke oder Sechsecke, die einzigen regelmäßigen Vielecke, die einen Boden ohne Lücken bedecken. - **Technik**: Muttern und Schraubenköpfe sind regelmäßige Sechsecke, damit ein Schraubenschlüssel aus sechs Richtungen passt. - **Gestaltung und Bau**: Pavillons, Tische und Fenster haben die Form regelmäßiger Achtecke und Fünfecke; der Mittelpunktswinkel sagt dem Tischler, wie er jedes Teil zuschneiden muss. Mit den Formeln dieser Lektion findest du jeden Winkel, den Umfang und den Flächeninhalt eines regelmäßigen Vielecks, wenn du nur die Eckenzahl und eine Länge kennst.

Mistake: Eine Raute regelmäßig nennen, weil alle Seiten gleich lang sind

Why: Gleiche Seiten sind nur die halbe Definition. Eine Raute kann Winkel von $60°$ und $120°$ haben.

Correct: Ein Vieleck ist nur dann regelmäßig, wenn alle Seiten UND alle Winkel gleich sind. Prüfe immer beides.

Mistake: Das Teilen durch $n$ vergessen: $(n-2) \cdot 180°$ als einen Innenwinkel angeben

Why: $(n-2) \cdot 180°$ ist die SUMME aller Innenwinkel, beim Sechseck $720°$, viel zu groß für einen Winkel.

Correct: Ein Innenwinkel des regelmäßigen $n$-Ecks ist $\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}$, beim Sechseck $\frac{720°}{6} = 120°$.

Mistake: Die Eckenzahl durch $360°$ geteilt durch den INNENWINKEL bestimmen

Why: Bei einem Innenwinkel von $144°$ ergibt das $\frac{360}{144} = 2{,}5$ Seiten, was unmöglich ist. Nur der Außenwinkel passt zu $\frac{360°}{n}$.

Correct: Bestimme zuerst den Außenwinkel $180° - 144° = 36°$, dann $n = \frac{360°}{36°} = 10$.

Mistake: Die Seite oder den Umkreisradius statt des Inkreisradius in $A = \frac{1}{2} u a$ einsetzen

Why: Der Umkreisradius geht zu einer Ecke und ist länger als der Inkreisradius. Nur der Inkreisradius steht senkrecht auf der Seite und ist damit die Höhe jedes Dreiecks.

Correct: Nimm den Inkreisradius: den senkrechten Abstand vom Mittelpunkt zur Mitte einer Seite.

Bienenwaben und Sechseckfliesen

Bienen und Fliesenhersteller nutzen regelmäßige Sechsecke, weil genau drei davon ohne Lücke um einen Punkt passen.

Quadrate passen zu viert um einen Punkt ($4 \cdot 90° = 360°$), gleichseitige Dreiecke zu sechst ($6 \cdot 60° = 360°$).

Stoppschilder

Ein Stoppschild ist ein regelmäßiges Achteck. Schilderhersteller nutzen den Flächeninhalt, um zu wissen, wie viel Reflexfolie jedes Schild braucht.

Ein regelmäßiges Achteck mit Seite 25 cm hat einen Inkreisradius von etwa 30,2 cm.

Der Boden eines Pavillons

Der Boden eines achteckigen Pavillons besteht aus 8 gleichen dreieckigen Holzteilen, die sich im Mittelpunkt treffen.

Jedes Teil hat an seiner Spitze im Mittelpunkt den Mittelpunktswinkel $\frac{360°}{8} = 45°$.

Ein regelmäßiges Vieleck hat alle Seiten gleich lang UND alle Winkel gleich groß; Raute und Rechteck sind nicht regelmäßig

Innenwinkel des regelmäßigen $n$-Ecks: $\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}$

Außenwinkel und Mittelpunktswinkel sind beide $\frac{360°}{n}$

Um $n$ aus einem Innenwinkel zu bestimmen, nimm zuerst den Außenwinkel $180° - \text{Innenwinkel}$, dann $n = \frac{360°}{\text{Außenwinkel}}$

Umfang $u = n \cdot s$ und Flächeninhalt $A = \frac{1}{2} \cdot u \cdot a$, wobei der Inkreisradius $a$ vom Mittelpunkt zur Mitte einer Seite geht

Nur gleichseitiges Dreieck, Quadrat und regelmäßiges Sechseck parkettieren eine Fläche allein, weil $60°$, $90°$ und $120°$ Teiler von $360°$ sind

Q: Ist jedes Dreieck mit drei gleich langen Seiten regelmäßig?

A: Ja. Bei Dreiecken erzwingen gleiche Seiten gleiche Winkel, also hat jedes gleichseitige Dreieck drei Winkel von $60°$. Ab vier Seiten gilt das nicht mehr: Eine Raute hat gleiche Seiten, kann aber ungleiche Winkel haben.

Q: Warum sind Außenwinkel und Mittelpunktswinkel gleich groß?

A: Beide teilen die vollen $360°$ gleichmäßig auf $n$ Teile auf: Die Außenwinkel sind die $n$ Drehungen bei einem Rundgang um das Vieleck, die Mittelpunktswinkel sind die $n$ Stücke um den Mittelpunkt. Also sind beide $\frac{360°}{n}$.

Q: Warum kann ein regelmäßiges Fünfeck keinen Boden parkettieren?

A: Sein Innenwinkel ist $108°$. Drei davon ergeben $324°$ und lassen eine Lücke von $36°$, vier ergäben $432°$ und würden sich überlappen. Da $\frac{360}{108}$ keine ganze Zahl ist, können Fünfecke nicht lückenlos zusammenpassen.

Q: Wie viele Symmetrieachsen hat ein regelmäßiges Vieleck?

A: Ein regelmäßiges $n$-Eck hat $n$ Symmetrieachsen, ein regelmäßiges Sechseck zum Beispiel 6. Die Lektion Symmetrie bei Vielecken behandelt diese Achsen und die Drehungen genauer.

Präsentation beenden

Regelmäßige Vielecke

1 / 14

Geometrie / Polygone

Regelmäßige Vielecke

Lerne, wann ein Vieleck regelmäßig ist, wie du Innenwinkel, Außenwinkel und Mittelpunktswinkel, Umfang und Flächeninhalt berechnest und welche regelmäßigen Vielecke eine Fläche lückenlos füllen.

Mittelstufe25 Min

Verwende Pfeiltasten oder Leertaste zum Navigieren