Definitionsbereich und Wertebereich

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Was stellt der Definitionsbereich einer Funktion dar?
1. a)Der höchste Punkt auf dem Graphen
2. b)Alle möglichen Eingabewerte (x-Werte)
3. c)Die Steigung der Funktion
4. d)Alle möglichen Ausgabewerte (y-Werte)
Lösung: Alle möglichen Eingabewerte (x-Werte)
Der Definitionsbereich stellt alle möglichen Eingabewerte (x-Werte) dar, die eine Funktion akzeptieren kann. Der Wertebereich stellt die Ausgabewerte (y-Werte) dar.
2.
Ein Graph existiert von bis . Wie lautet der Definitionsbereich in Intervallschreibweise?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Da der Graph VON BIS existiert, sind beide Endpunkte enthalten. Wir verwenden eckige Klammern um die Einbeziehung zu zeigen: .
3.
Eine Parabel hat ihren Scheitelpunkt bei und öffnet sich nach oben. Was ist der Minimalwert des Wertebereichs?
Lösung: 3
Wenn sich eine Parabel nach oben öffnet, ist der Scheitelpunkt der Minimalpunkt. Die y-Koordinate des Scheitelpunkts ist , also ist der Minimalwert des Wertebereichs .
4.
Für , welcher Wert von ist NICHT im Definitionsbereich?
Lösung: 0
In der Funktion ist der Nenner . Wenn , erhalten wir , was undefiniert ist. Daher ist nicht im Definitionsbereich.
5.
Welche Klammernotation solltest du immer bei Unendlich () verwenden?
1. a)Geschweifte Klammer
2. b)Beides funktioniert
3. c)Eckige Klammer
4. d)Runde Klammer
Lösung: Runde Klammer
Verwende immer runde Klammern bei Unendlich, da Unendlich keine tatsächliche Zahl ist, die erreicht oder eingeschlossen werden kann. Zum Beispiel: oder .
6.
Bestimme den Definitionsbereich von
Lösung: (-∞, 5) ∪ (5, ∞)
1. Welche Operation verursacht die Einschränkung in dieser Funktion? Division
2. Setze den Nenner gleich null: . Löse nach x auf. 5
3. Dieser Wert muss ausgeschlossen werden. Schreibe mit Vereinigungsnotation. (-unendlich, 5) U (5, unendlich)
7.
Bestimme den Definitionsbereich von
Lösung: [4, ∞)
1. Was muss für den Ausdruck unter einer Quadratwurzel gelten? größer oder gleich 0
2. Stelle die Ungleichung auf: . Löse nach x auf. x >= 4
3. Schreibe den Definitionsbereich in Intervallschreibweise. [4, unendlich)
8.
Der Wertebereich einer Funktion ist . Was ist der minimale y-Wert, den die Funktion erzeugen kann?
Lösung: -2
Im Intervall bedeutet die eckige Klammer bei , dass dieser Wert enthalten ist. Also ist der minimale y-Wert , und die Funktion kann jeden Wert ab aufwärts erzeugen.
9.
Was ist der Definitionsbereich von ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Die Funktion ist ein Polynom. Polynome haben keine Einschränkungen - keine Brüche (keine Division durch Null möglich) und keine Quadratwurzeln. Jede reelle Zahl kann eingegeben werden, also ist der Definitionsbereich .
10.
Bestimme Definitionsbereich und Wertebereich von
Lösung: Definitionsbereich: (-∞, ∞), Wertebereich: [2, ∞)
1. Gibt es Einschränkungen im Definitionsbereich (Brüche oder Quadratwurzeln)? nein
2. Was ist der Definitionsbereich? (-unendlich, unendlich)
3. Da für alle x, was ist der Minimalwert von ? 2
4. Was ist der Wertebereich? [2, unendlich)
11.
Für , wie lautet der Wertebereich in Intervallschreibweise?
Lösung: [0, ∞)
Die Quadratwurzelfunktion erzeugt immer nicht-negative Ausgaben. Wenn , ist . Wenn x zunimmt, nimmt unbegrenzt zu. Wertebereich: .
12.
Bestimme den Definitionsbereich von
Lösung: (-∞, -3) ∪ (-3, 3) ∪ (3, ∞)
1. Setze den Nenner gleich null: x^2 = 9
2. Löse nach x auf (denke an positive und negative Wurzeln) x = 3 oder x = -3
3. Wie viele Werte sind vom Definitionsbereich ausgeschlossen? 2
4. Schreibe den Definitionsbereich mit Vereinigungsnotation (-unendlich, -3) U (-3, 3) U (3, unendlich)
13.
Was ist der Definitionsbereich von ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Für brauchen wir . Lösung: , also . Definitionsbereich: . Hinweis: ist ein häufiger Fehler, wenn man vergisst, durch 2 zu teilen.
14.
Bestimme den Definitionsbereich von
Lösung: [0, 4) ∪ (4, ∞)
1. Welche Einschränkung verursacht die Quadratwurzel? x >= 0
2. Welche Einschränkung verursacht der Nenner? x != 4
3. Kombiniere beide Einschränkungen. x muss sein... x >= 0 und x != 4
4. Schreibe den endgültigen Definitionsbereich in Intervallschreibweise [0, 4) U (4, unendlich)
15.
Eine Parabel öffnet sich nach unten mit Scheitelpunkt bei . Was ist der Maximalwert im Wertebereich?
Lösung: 8
Eine nach unten geöffnete Parabel hat ihr Maximum am Scheitelpunkt. Der Scheitelpunkt ist , also ist die y-Koordinate das maximale Ergebnis. Wertebereich: .
16.
Bestimme den Wertebereich von
Lösung: (-∞, 9]
1. Öffnet sich diese Parabel nach oben oder unten? unten
2. Finde die x-Koordinate des Scheitelpunkts mit wobei , 2
3. Finde die y-Koordinate, indem du x = 2 in die Funktion einsetzt 9
4. Da sich die Parabel nach unten öffnet, wie lautet der Wertebereich? (-unendlich, 9]