Zeichnen von y > x - 2

Zeichne die Ungleichung $y > x - 2$ im Koordinatensystem.

Identifiziere die Grenzgerade: Behandle sie als $y = x - 2$. Steigung $m = 1$, y-Achsenabschnitt $b = -2$ = Grenze: $y = x - 2$

Bestimme den Linientyp: Da das Symbol $>$ ist (nicht $\geq$), sind Punkte AUF der Linie NICHT enthalten = Verwende eine GESTRICHELTE Linie

Zeichne die Grenzgerade: Zeichne y-Achsenabschnitt $(0, -2)$, verwende die Steigung für $(1, -1)$, $(2, 0)$ = Gestrichelte Linie durch diese Punkte

Wähle einen Testpunkt: Verwende $(0, 0)$, da es leicht zu berechnen ist und nicht auf der Linie liegt = Testpunkt: $(0, 0)$

Setze in die Ungleichung ein: $0 > 0 - 2 \Rightarrow 0 > -2$ WAHR! = $(0, 0)$ ist eine Lösung

Schattiere den richtigen Bereich: Da $(0, 0)$ funktioniert, schattiere die Seite, die $(0, 0)$ enthält = Schattiere OBERHALB der Linie

Answer: Gestrichelte Linie durch $(0, -2)$ mit Steigung 1, oberhalb der Linie schattiert.

Zeichnen von 2x + y ≤ 4

Zeichne die Ungleichung $2x + y \leq 4$ im Koordinatensystem.

Schreibe in Normalform um: $y \leq -2x + 4$ = Steigung $m = -2$, y-Achsenabschnitt $b = 4$

Bestimme den Linientyp: Da das Symbol $\leq$ ist, sind Punkte AUF der Linie enthalten = Verwende eine DURCHGEZOGENE Linie

Zeichne die Grenzgerade: Zeichne $(0, 4)$, verwende Steigung $-2$ für $(1, 2)$, $(2, 0)$ = Durchgezogene Linie durch diese Punkte

Teste Punkt $(0, 0)$: $2(0) + 0 \leq 4 \Rightarrow 0 \leq 4$ WAHR! = $(0, 0)$ ist eine Lösung

Schattiere den richtigen Bereich: Da $(0, 0)$ funktioniert, schattiere die Seite mit dem Ursprung = Schattiere UNTERHALB der Linie

Answer: Durchgezogene Linie durch $(0, 4)$ und $(2, 0)$, unterhalb schattiert (einschließlich der Linie).

Zeichnen von y < -½x + 3

Zeichne die Ungleichung $y < -\frac{1}{2}x + 3$.

Identifiziere Steigung und y-Achsenabschnitt: Steigung $m = -\frac{1}{2}$, y-Achsenabschnitt $b = 3$ = Grenze: $y = -\frac{1}{2}x + 3$

Bestimme den Linientyp: Symbol ist $<$ (strikte Ungleichung), also sind Punkte auf der Linie KEINE Lösungen = Verwende eine GESTRICHELTE Linie

Zeichne die Grenzgerade: Starte bei $(0, 3)$. Gehe 2 nach rechts, 1 nach unten zu $(2, 2)$. Weiter zu $(4, 1)$ = Gestrichelte Linie gezeichnet

Teste Punkt $(0, 0)$: $0 < -\frac{1}{2}(0) + 3 \Rightarrow 0 < 3$ WAHR! = $(0, 0)$ erfüllt die Ungleichung

Schattiere den Lösungsbereich: Schattiere die Seite, die $(0, 0)$ enthält = Schattiere UNTERHALB der Linie

Answer: Gestrichelte Linie mit y-Achsenabschnitt 3 und Steigung $-\frac{1}{2}$, unterhalb schattiert.

Wenn der Testpunkt auf der Linie liegt

Zeichne $y \geq 2x$ im Koordinatensystem.

Identifiziere die Grenzgerade: $y = 2x$ geht durch den Ursprung mit Steigung 2 = Grenze geht durch $(0, 0)$

Bestimme den Linientyp: Symbol ist $\geq$, also verwende eine durchgezogene Linie = DURCHGEZOGENE Linie

Wähle einen anderen Testpunkt: $(0, 0)$ liegt AUF der Linie, also verwende stattdessen $(1, 0)$ = Test: $(1, 0)$

Teste den Punkt: $0 \geq 2(1) \Rightarrow 0 \geq 2$ FALSCH! = $(1, 0)$ ist KEINE Lösung

Schattiere die andere Seite: Da $(1, 0)$ fehlschlug, schattiere die ANDERE Seite (oberhalb der Linie) = Schattiere OBERHALB der Linie

Answer: Durchgezogene Linie durch den Ursprung mit Steigung 2, oberhalb der Linie schattiert.

Mistake: Verwendung des falschen Linientyps (durchgezogen vs. gestrichelt)

Why: Schüler vergessen, dass $<$ und $>$ eine gestrichelte Linie erfordern, weil Punkte AUF der Linie keine Lösungen sind.

Correct: Durchgezogene Linie für $\leq$ und $\geq$ (Linie eingeschlossen). Gestrichelte Linie für $<$ und $>$ (Linie ausgeschlossen).

Mistake: Schattierung des falschen Bereichs

Why: Schüler schattieren oberhalb bei 'größer als' ohne zu testen, aber die Ungleichung könnte in Standardform sein.

Correct: IMMER einen Punkt testen! Setze einen einfachen Punkt wie $(0, 0)$ ein, um zu überprüfen, welche Seite zu schattieren ist.

Mistake: Vergessen, die Ungleichung beim Multiplizieren mit Negativem umzukehren

Why: Beim Umformen in Normalform kehrt das Dividieren durch eine negative Zahl die Ungleichung um.

Correct: Wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst, kehre das Ungleichheitszeichen um: $-2y > 6$ wird zu $y < -3$.

Mistake: Testen eines Punktes, der auf der Grenzgerade liegt

Why: Punkte auf der Linie helfen nicht zu bestimmen, welche Seite zu schattieren ist.

Correct: Wähle einen Testpunkt, der deutlich NICHT auf der Linie liegt. Der Ursprung $(0, 0)$ ist ideal, außer die Linie geht durch ihn.

Budgetbeschränkungen

Bei der Ausgabenplanung hast du oft einen Höchstbetrag, den du ausgeben kannst.

Wenn Konzerttickets 75€ kosten und Essen 25€ pro Person, und du insgesamt 300€ hast, dann ist $75t + 25e \leq 300$ wobei $t$ = Tickets, $e$ = Essenseinkäufe.

Produktionsgrenzen

Fabriken haben Beschränkungen bei Produktionskapazität und Ressourcen.

Eine Fabrik kann höchstens 500 Artikel pro Tag produzieren. Wenn sie Stühle und Tische herstellt, und Tische doppelt so lange brauchen, dann ist $s + 2t \leq 500$.

Q: Wie weiß ich, welche Seite ich schattieren soll?

A: Wähle einen Testpunkt, der nicht auf der Linie liegt ($(0,0)$ ist am einfachsten). Setze ihn in die ursprüngliche Ungleichung ein. Wenn WAHR, schattiere diese Seite. Wenn FALSCH, schattiere die gegenüberliegende Seite.

Q: Warum ist die Linie manchmal gestrichelt?

A: Eine gestrichelte Linie bedeutet, dass Punkte AUF der Linie KEINE Lösungen sind. Dies passiert bei strikten Ungleichungen ($<$ oder $>$). Durchgezogene Linien ($\leq$ oder $\geq$) schließen Punkte auf der Linie ein.

Q: Was, wenn der Ursprung auf der Grenzgerade liegt?

A: Wähle einen anderen Testpunkt wie $(1, 0)$ oder $(0, 1)$. Jeder Punkt, der deutlich nicht auf der Linie liegt, funktioniert.