Zeichnen einer positiven Steigung

Zeichne $y = 2x + 1$

Identifiziere den y-Achsenabschnitt: In $y = 2x + 1$ ist der y-Achsenabschnitt $b = 1$ = Start bei $(0, 1)$

Identifiziere die Steigung: Die Steigung ist $m = 2 = \frac{2}{1}$ = 2 hoch, 1 rechts

Zeichne den y-Achsenabschnitt ein: Markiere den Punkt $(0, 1)$ auf der y-Achse = Erster Punkt eingetragen

Nutze die Steigung für den zweiten Punkt: Von $(0, 1)$: gehe 2 hoch, 1 rechts zu $(1, 3)$ = Zweiter Punkt: $(1, 3)$

Zeichne die Gerade: Verbinde die Punkte und verlängere in beide Richtungen = Gerade fertig

Answer: Die Gerade verläuft durch $(0, 1)$ und $(1, 3)$ und steigt steil von links nach rechts.

Zeichnen einer negativen Steigung

Zeichne $y = -3x + 4$

Identifiziere den y-Achsenabschnitt: In $y = -3x + 4$ ist der y-Achsenabschnitt $b = 4$ = Start bei $(0, 4)$

Identifiziere die Steigung: Die Steigung ist $m = -3 = \frac{-3}{1}$ = 3 runter, 1 rechts

Zeichne den y-Achsenabschnitt ein: Markiere den Punkt $(0, 4)$ auf der y-Achse = Erster Punkt eingetragen

Nutze die Steigung für den zweiten Punkt: Von $(0, 4)$: gehe 3 runter, 1 rechts zu $(1, 1)$ = Zweiter Punkt: $(1, 1)$

Zeichne die Gerade: Verbinde die Punkte und verlängere in beide Richtungen = Gerade fällt von links nach rechts

Answer: Die Gerade verläuft durch $(0, 4)$ und $(1, 1)$ und fällt steil von links nach rechts.

Zeichnen einer Bruchsteigung

Zeichne $y = \frac{2}{3}x - 2$

Identifiziere den y-Achsenabschnitt: In $y = \frac{2}{3}x - 2$ ist der y-Achsenabschnitt $b = -2$ = Start bei $(0, -2)$

Identifiziere die Steigung: Die Steigung ist $m = \frac{2}{3}$ = 2 hoch, 3 rechts

Zeichne den y-Achsenabschnitt ein: Markiere den Punkt $(0, -2)$ auf der y-Achse = Erster Punkt eingetragen

Nutze die Steigung für den zweiten Punkt: Von $(0, -2)$: gehe 2 hoch, 3 rechts zu $(3, 0)$ = Zweiter Punkt: $(3, 0)$

Überprüfe mit einem dritten Punkt: Von $(3, 0)$: gehe 2 hoch, 3 rechts zu $(6, 2)$ = Dritter Punkt bestätigt die Gerade

Answer: Die Gerade verläuft durch $(0, -2)$, $(3, 0)$ und $(6, 2)$ und steigt sanft von links nach rechts.

Umwandlung in Steigungsform

Zeichne $2x + y = 6$

Löse nach y auf: $2x + y = 6$ $y = -2x + 6$ = Jetzt in Steigungsform

Identifiziere m und b: Steigung $m = -2$, y-Achsenabschnitt $b = 6$ = Start bei $(0, 6)$, Steigung $\frac{-2}{1}$

Zeichne den y-Achsenabschnitt ein: Markiere den Punkt $(0, 6)$ auf der y-Achse = Erster Punkt eingetragen

Nutze die Steigung für den zweiten Punkt: Von $(0, 6)$: gehe 2 runter, 1 rechts zu $(1, 4)$ = Zweiter Punkt: $(1, 4)$

Finde einen dritten Punkt: Von $(1, 4)$: gehe 2 runter, 1 rechts zu $(2, 2)$ = Dritter Punkt: $(2, 2)$

Answer: Die Gerade verläuft durch $(0, 6)$, $(1, 4)$ und $(2, 2)$ und fällt von links nach rechts.

Mistake: Verwechslung von Steigung und y-Achsenabschnitt

Why: Bei $y = mx + b$ denken Schüler manchmal, die erste Zahl sei der y-Achsenabschnitt.

Correct: Merke: $m$ (multipliziert mit $x$) ist die Steigung. $b$ (die Konstante) ist der y-Achsenabschnitt. Bei $y = 3x + 5$ ist die Steigung 3, der y-Achsenabschnitt 5.

Mistake: Falsche Richtung bei negativer Steigung

Why: Schüler gehen nach oben statt nach unten, wenn die Steigung negativ ist.

Correct: Eine negative Steigung bedeutet, die Gerade fällt von links nach rechts. Bei $m = -2$: gehe 2 runter, 1 rechts (oder 2 hoch, 1 links).

Mistake: Umkehrung des Steigungsbruchs

Why: Schüler verwechseln Steigung/Lauf mit Lauf/Steigung.

Correct: Steigung ist immer $\frac{\text{Steigung}}{\text{Lauf}}$ (vertikale Änderung durch horizontale Änderung). Bei $m = \frac{3}{4}$: 3 hoch, 4 rechts.

Mistake: Start am Ursprung statt am y-Achsenabschnitt

Why: Schüler beginnen automatisch bei $(0, 0)$.

Correct: Beginne immer am y-Achsenabschnitt $(0, b)$. Nur am Ursprung starten, wenn $b = 0$.

Handytarif-Kosten

Mobilfunktarife haben oft eine monatliche Grundgebühr plus eine Gebühr pro Minute oder Gigabyte.

Ein Tarif kostet 15€ pro Monat plus 0,05€ pro SMS. Die Gleichung $y = 0,05x + 15$ modelliert die monatlichen Kosten, wobei $x$ die Anzahl der SMS ist.

Temperaturumrechnung

Die Beziehung zwischen Celsius und Fahrenheit ist linear.

Die Formel $F = 1,8C + 32$ wandelt Celsius in Fahrenheit um. Die Steigung 1,8 bedeutet, dass jedes Grad Celsius 1,8 Grad Fahrenheit entspricht.

Sparwachstum

Wenn du regelmäßig einen festen Betrag sparst, wachsen deine Ersparnisse linear.

Mit 50€ Startkapital und 25€ Ersparnis pro Woche ergibt sich $y = 25x + 50$, wobei $x$ die Wochen und $y$ die Gesamtersparnis ist.

Q: Was, wenn die Steigung eine ganze Zahl wie 3 ist?

A: Schreibe sie als Bruch: $3 = \frac{3}{1}$. Das bedeutet 3 hoch, 1 rechts. Du kannst auch $\frac{6}{2}$ oder $\frac{-3}{-1}$ nutzen, um weitere Punkte zu finden.

Q: Wie zeichne ich eine horizontale Gerade wie $y = 4$?

A: Das ist $y = 0x + 4$. Die Steigung ist 0 (keine Steigung), also ist es eine flache horizontale Linie durch alle Punkte, wo $y = 4$.

Q: Was ist mit vertikalen Geraden?

A: Vertikale Geraden wie $x = 3$ können nicht in Steigungsform geschrieben werden, da ihre Steigung undefiniert ist. Sie verlaufen durch alle Punkte, wo $x$ gleich diesem Wert ist.