Boolesche Ausdrücke

Ein **boolescher Ausdruck** ist eine Formel aus **booleschen Variablen** (Buchstaben wie $A$, $B$, $C$), den Werten $1$ (wahr) und $0$ (falsch) und den Operatoren UND ($\land$), ODER ($\lor$) und NICHT ($\neg$). Genau wie $3 + 4 \times 2$ in der Arithmetik hat ein boolescher Ausdruck genau einen Wert, aber dieser Wert ist immer $1$ oder $0$. **Die drei Operatoren mit 1 und 0:** - $\neg A$ dreht den Wert um: $\neg 1 = 0$ und $\neg 0 = 1$ - $A \land B$ ist nur dann $1$, wenn $A$ und $B$ beide $1$ sind - $A \lor B$ ist $1$, wenn mindestens einer der beiden Werte $1$ ist **Rangfolge der Operatoren:** zuerst Klammern, dann NICHT, dann UND, dann ODER. $$(\;) \;\to\; \neg \;\to\; \land \;\to\; \lor$$ Also bedeutet $A \lor B \land C$ dasselbe wie $A \lor (B \land C)$, und $\neg A \land B$ bedeutet $(\neg A) \land B$. **Beispiel:** Werte $A \lor B \land \neg C$ für $A = 0$, $B = 1$, $C = 0$ aus: $$0 \lor 1 \land \neg 0 = 0 \lor 1 \land 1 = 0 \lor 1 = 1$$ Ein Ausdruck mit $n$ Variablen hat $2^n$ Eingabekombinationen. Seine **Wahrheitstabelle** zeigt den Wert des Ausdrucks für jede davon, beginnend mit der Zeile, in der alle Variablen $0$ sind. Zwei Ausdrücke sind **äquivalent**, wenn ihre Ergebnisspalten in jeder Zeile übereinstimmen. (Die Lektion Wahrheitstabellen begann stattdessen mit der Zeile, in der alles wahr ist; jede feste Reihenfolge funktioniert. Die interaktiven Wahrheitstabellen in dieser Lektion verwenden ebenfalls $1$ und $0$.)

Auswerten mit 1 und 0

Werte $A \land \neg B$ für $A = 1$ und $B = 0$ aus.

Werte einsetzen: Ersetze $A$ durch $1$ und $B$ durch $0$ = $1 \land \neg 0$

Zuerst NICHT: $\neg 0 = 1$ = $1 \land 1$

Dann UND: Beide Werte sind $1$, also ergibt UND $1$ = $1$

Answer: $A \land \neg B = 1$ (wahr) für $A = 1$, $B = 0$.

UND vor ODER

Werte $A \lor B \land C$ für $A = 1$, $B = 0$, $C = 0$ aus.

Werte einsetzen: Ersetze jeden Buchstaben durch seinen Wert = $1 \lor 0 \land 0$

UND vor ODER: $0 \land 0 = 0$ = $1 \lor 0$

Dann ODER: Mindestens ein Wert ist $1$ = $1$

Vergleich mit links nach rechts: Von links nach rechts erhielte man $(1 \lor 0) \land 0 = 1 \land 0 = 0$ = Ein anderes, falsches Ergebnis

Answer: $A \lor B \land C = 1$. Von links nach rechts gerechnet erhält man $0$, das ist falsch, weil UND vor ODER kommt.

Klammern ändern das Ergebnis

Werte $\neg(A \land B)$ und $\neg A \land B$ für $A = 0$ und $B = 0$ aus.

Erster Ausdruck: zuerst die Klammer: $A \land B = 0 \land 0 = 0$ = $\neg(0)$

Dann NICHT: $\neg 0 = 1$ = $\neg(A \land B) = 1$

Zweiter Ausdruck: NICHT wirkt nur auf $A$: $\neg A = \neg 0 = 1$ = $1 \land B$

Dann UND: $1 \land 0 = 0$ = $\neg A \land B = 0$

Answer: $\neg(A \land B) = 1$, aber $\neg A \land B = 0$. Die Klammern entscheiden, worauf NICHT wirkt.

Eine vollständige Wahrheitstabelle und Äquivalenz

Stelle die Wahrheitstabelle von $A \lor \neg A \land B$ auf und vergleiche sie mit $A \lor B$.

Zeilen zählen: 2 Variablen, also $2^2 = 4$ Zeilen = $AB$: 00, 01, 10, 11

Hilfsspalte $\neg A$: $A$ umdrehen: 0, 0, 1, 1 = $\neg A$: 1, 1, 0, 0

Hilfsspalte $\neg A \land B$ (UND vor ODER): $\neg A$: 1, 1, 0, 0 UND $B$: 0, 1, 0, 1 = 0, 1, 0, 0

Ergebnisspalte $A \lor (\neg A \land B)$: $A$: 0, 0, 1, 1 ODER 0, 1, 0, 0 = 0, 1, 1, 1

Spalte von $A \lor B$ und Vergleich: $A \lor B$: 0, 1, 1, 1 = In allen 4 Zeilen gleich

Answer: Beide Ergebnisspalten lauten 0, 1, 1, 1, also sind $A \lor \neg A \land B$ und $A \lor B$ äquivalent: Der kürzere Ausdruck leistet dasselbe.

Drei Variablen: Wo stehen die Klammern?

Stelle die Wahrheitstabellen von $A \land (B \lor C)$ und $A \land B \lor C$ auf. Sind sie äquivalent?

Zeilen zählen: 3 Variablen, also $2^3 = 8$ Zeilen: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 = 8 Zeilen

Hilfsspalte $B \lor C$: $B \lor C$ ist nur $0$, wenn $B = C = 0$ = 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1

Ergebnisspalte $A \land (B \lor C)$: $A$ ist nur in den letzten 4 Zeilen $1$ = 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1

Ergebnisspalte $A \land B \lor C = (A \land B) \lor C$: $A \land B$: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1. ODER mit $C$: 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1 = 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1

Spalten vergleichen: Sie unterscheiden sich in Zeile 2 (001) und Zeile 4 (011) = Nicht äquivalent

Answer: Die Ausdrücke sind nicht äquivalent: Für $A = 0$, $B = 0$, $C = 1$ ergibt der erste $0$ und der zweite $1$. Eine einzige abweichende Zeile genügt.

Boolesche Ausdrücke sind die Sprache, mit der Computer Entscheidungen treffen: - **Programmieren**: Jede if-Bedingung ist ein boolescher Ausdruck, zum Beispiel (mindestens 12 Jahre alt UND NICHT gesperrt) ODER mit einem Elternteil. Vergisst man die Klammern, lässt das Programm die falschen Leute hinein - **Suche und Filter**: Onlineshops und Bibliotheken kombinieren Filter wie auf Lager UND (rot ODER blau) - **Tabellenkalkulation**: Funktionen wie UND(), ODER() und NICHT() entscheiden, welche Zeilen markiert werden - **Elektronik**: Jeder Chip setzt boolesche Ausdrücke in Schaltungen aus Logikgattern um, wie du in der Lektion Logikgatter sehen wirst - **Spiele und Smart Home**: Eine Tür öffnet sich oder ein Licht geht an, wenn ein Ausdruck aus mehreren Sensoren den Wert 1 hat Wenn du die Rangfolge der Operatoren kennst und eine Wahrheitstabelle aufstellen kannst, weißt du genau, was eine Regel in jeder möglichen Situation tut.

Mistake: Von links nach rechts rechnen: $1 \lor 0 \land 0 = (1 \lor 0) \land 0 = 0$

Why: UND kommt vor ODER, so wie Punktrechnung vor Strichrechnung. Ohne Klammern wird der UND-Teil zuerst berechnet.

Correct: $1 \lor 0 \land 0 = 1 \lor (0 \land 0) = 1 \lor 0 = 1$

Mistake: NICHT auf alles danach anwenden: $\neg A \land B$ als $\neg(A \land B)$ lesen

Why: Ohne Klammern wirkt NICHT nur auf die Variable direkt dahinter.

Correct: $\neg A \land B = (\neg A) \land B$. Um das ganze UND zu verneinen, schreibe $\neg(A \land B)$.

Mistake: Wie Zahlen addieren: $1 \lor 1 = 2$

Why: Ein boolescher Ausdruck kann nur $1$ oder $0$ sein. ODER fragt, ob mindestens ein Wert $1$ ist, es zählt nicht.

Correct: $1 \lor 1 = 1$, $1 \land 1 = 1$ und $\neg 1 = 0$. Das Ergebnis ist immer $1$ oder $0$.

Mistake: Zwei Ausdrücke nach nur ein oder zwei getesteten Eingaben für äquivalent halten

Why: $A \land (B \lor C)$ und $A \land B \lor C$ haben in 6 von 8 Zeilen denselben Wert und sind trotzdem verschieden.

Correct: Stelle die vollständige Tabelle mit $2^n$ Zeilen auf und vergleiche jede Zeile. Eine abweichende Zeile heißt: nicht äquivalent.

Regeln in einem Programm

Programmierer schreiben Regeln als boolesche Ausdrücke und testen jede Kombination von Eingaben, bevor das Programm online geht.

Ein Fahrgeschäft im Freizeitpark lässt dich mitfahren, wenn $T \land (H \lor P)$ gilt: $T$ = du hast ein Ticket, $H$ = du bist groß genug, $P$ = ein Elternteil fährt mit.

Spamfilter

Ein E-Mail-Programm entscheidet mit einem booleschen Ausdruck, ob eine Nachricht im Spamordner landet.

Ein Filter markiert eine E-Mail als Spam, wenn $L \lor S \land \neg K$ gilt: $L$ = Absender steht auf einer Sperrliste, $S$ = verdächtige Wörter, $K$ = Absender ist in deinen Kontakten.

Regeln im Smart Home

Zwei verschiedene Ausdrücke können ein Gerät genau gleich steuern. Eine Wahrheitstabelle zeigt, wann eine lange Regel durch eine kurze ersetzt werden kann.

Eine Gartenlampe nutzt die Regel $M \lor M \land N$: $M$ = Bewegung erkannt, $N$ = es ist Nacht.

Ein boolescher Ausdruck verbindet Variablen, die Werte 1 (wahr) und 0 (falsch) und die Operatoren $\land$, $\lor$, $\neg$

Der Wert eines booleschen Ausdrucks ist immer 1 oder 0, nie 2 oder mehr

Rangfolge der Operatoren: zuerst Klammern, dann NICHT, dann UND, dann ODER

NICHT wirkt nur auf das, was direkt dahinter steht: $\neg A \land B$ ist nicht $\neg(A \land B)$

Ein Ausdruck mit $n$ Variablen hat eine Wahrheitstabelle mit $2^n$ Zeilen, beginnend mit der Zeile, in der alle Variablen 0 sind

Zwei Ausdrücke sind äquivalent, wenn ihre Ergebnisspalten in jeder Zeile gleich sind

Q: Warum kommt UND vor ODER?

A: Das ist eine Vereinbarung, wie Punkt- vor Strichrechnung. Mit 0 und 1 verhält sich UND wie die Multiplikation ($1 \times 0 = 0$), und ODER wird oft mit der Addition verglichen, daher wirkt dieselbe Reihenfolge natürlich.

Q: Darf ich einfach überall Klammern setzen?

A: Ja. Klammern, die nur die ohnehin geltende Rangfolge zeigen, ändern den Wert nie, und sie machen den Ausdruck leichter lesbar. $A \lor (B \land C)$ ist dasselbe wie $A \lor B \land C$, aber die erste Schreibweise zeigt die Reihenfolge auf einen Blick.

Q: Sind 1 und 0 dasselbe wie wahr und falsch?

A: Ja. 1 steht für wahr und 0 für falsch. Computer verwenden 1 und 0, weil sie alles als Bits speichern. Die interaktiven Tabellen in dieser Lektion verwenden ebenfalls 1 und 0.

Q: Gibt es einen schnelleren Weg als die Wahrheitstabelle, um Äquivalenz zu zeigen?

A: Ja. Die boolesche Algebra hat Gesetze (zum Beispiel die De Morganschen Gesetze), mit denen man einen Ausdruck Schritt für Schritt in einen anderen umformt. Du lernst sie in der Lektion Boolesche Algebra. Eine Wahrheitstabelle ist langsamer, funktioniert aber immer.

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Logik & Mengen / Boolesche Logik

Boolesche Ausdrücke

Lerne, boolesche Ausdrücke mit 1 und 0 zu schreiben und auszuwerten, die Rangfolge NICHT, UND, ODER anzuwenden und ihre vollständige Wahrheitstabelle aufzustellen.

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