Die NICHT-Verknüpfung
Einen Wahrheitswert umkehren
Es sei $P$ = "7 ist eine gerade Zahl". Bestimme die Wahrheitswerte von $P$, $\neg P$ und $\neg(\neg P)$.
Bestimme P: 7 ist ungerade, also ist die Aussage "7 ist eine gerade Zahl" **falsch** = P = F
Schreibe die Verneinung in Worten: $\neg P$ = "7 ist keine gerade Zahl" = ¬P in Worten
Wende NICHT an: $\neg P = \neg F = W$ = ¬P = W
Wende NICHT ein zweites Mal an: $\neg(\neg P) = \neg W = F$, das ist dasselbe wie P = ¬(¬P) = F
Answer: P ist falsch, ¬P ist wahr, und ¬(¬P) ist wieder falsch. Zwei NICHT heben sich auf: ¬(¬P) = P.
Sätze auf Deutsch verneinen
Schreibe die Verneinung von "Anna hat ein Fahrrad." und von "Anna ist zu Hause."
Finde Verb und Nomen im ersten Satz: In "Anna hat ein Fahrrad" ist hat das Verb, und das Nomen steht mit dem Artikel ein = Verb: hat, ein Fahrrad
Verneine das Nomen mit kein: Ein Nomen mit ein wird auf Deutsch mit kein verneint: ein Fahrrad wird zu kein Fahrrad. "Anna hat nicht ein Fahrrad" klingt falsch = Anna hat kein Fahrrad.
Verneine den zweiten Satz: Hier gibt es kein Nomen mit ein, also verwenden wir nicht: ist wird zu ist nicht = Anna ist nicht zu Hause.
Prüfe die Wahrheitswerte: Wenn "Anna hat ein Fahrrad" wahr ist, dann ist "Anna hat kein Fahrrad" falsch, und umgekehrt = Genau einer ist wahr
Answer: "Anna hat kein Fahrrad." und "Anna ist nicht zu Hause." Verneinen heißt nicht einfach ein Wort einfügen: Halte dich an die Grammatik deiner Sprache.
Eine "Alle"-Aussage verneinen
Schreibe die Verneinung von "Alle Schüler haben den Test bestanden."
Verstehe die Behauptung: Die Aussage sagt, dass wirklich jeder einzelne Schüler bestanden hat = Behauptung: jeder hat bestanden
Frage, was sie falsch macht: Ein einziger Schüler, der durchgefallen ist, reicht schon, damit die Behauptung falsch ist = Mindestens einer ist durchgefallen
Schreibe die Verneinung: "Nicht alle Schüler haben den Test bestanden", anders gesagt "Mindestens ein Schüler hat den Test nicht bestanden" = Nicht alle haben bestanden.
Verwirf die verlockende falsche Antwort: "Kein Schüler hat bestanden" ist zu stark: Wenn 20 bestanden haben und 1 durchgefallen ist, sind die Behauptung und dieser Satz beide falsch = Keine Verneinung
Answer: "Nicht alle Schüler haben den Test bestanden" (mindestens einer hat nicht bestanden). Die Verneinung von "alle" ist "nicht alle", nicht "keiner".
NICHT zusammen mit UND
P = "Es regnet" ist wahr und Q = "Es ist kalt" ist falsch. Berechne $\neg P \land Q$ und $\neg(P \land Q)$.
NICHT wirkt nur auf das, was direkt dahinter steht: In $\neg P \land Q$ wird nur P verneint: $\neg P = \neg W = F$ = ¬P = F
Rechne den ersten Ausdruck fertig: $\neg P \land Q = F \land F = F$ = ¬P ∧ Q = F
Zweiter Ausdruck: zuerst die Klammer: $P \land Q = W \land F = F$ = P ∧ Q = F
Verneine jetzt die ganze Klammer: $\neg(P \land Q) = \neg F = W$ = ¬(P ∧ Q) = W
Answer: $\neg P \land Q$ ist falsch, aber $\neg(P \land Q)$ ist wahr. Die Klammern entscheiden, worauf sich NICHT bezieht!
Ein erster Blick auf De Morgan
Prüfe, dass $\neg(P \vee Q)$ und $\neg P \land \neg Q$ für jede Wahl von P und Q denselben Wert haben.
Linke Seite für P = W, Q = F: $\neg(W \vee F) = \neg W = F$ = F
Rechte Seite für P = W, Q = F: $\neg W \land \neg F = F \land W = F$ = F, gleich
Beide Seiten für P = F, Q = F: $\neg(F \vee F) = \neg F = W$ und $\neg F \land \neg F = W \land W = W$ = W, gleich
Die zwei übrigen Fälle: P = W, Q = W: $\neg W = F$ und $F \land F = F$. P = F, Q = W: $\neg W = F$ und $W \land F = F$ = F, gleich
Answer: Beide Seiten stimmen immer überein, also gilt $\neg(P \vee Q) = \neg P \land \neg Q$. "Ich möchte weder Tee noch Kaffee" bedeutet "Ich möchte keinen Tee UND ich möchte keinen Kaffee". Das ist eines der Gesetze von De Morgan.
Mistake: "Alle Katzen sind schwarz" mit "Keine Katze ist schwarz" verneinen
Why: Beide Sätze können gleichzeitig falsch sein (manche Katzen sind schwarz, manche nicht), also ist der zweite nicht die Verneinung des ersten.
Correct: Die Verneinung lautet "Nicht alle Katzen sind schwarz", also "Mindestens eine Katze ist nicht schwarz".
Mistake: Die Verneinung von $x > 5$ als $x < 5$ schreiben
Why: Dabei wird der Fall $x = 5$ vergessen. Für $x = 5$ sind $x > 5$ und $x < 5$ beide falsch.
Correct: $\neg(x > 5)$ ist $x \leq 5$: alle Zahlen, die nicht größer als 5 sind.
Mistake: NICHT in eine Klammer ziehen, ohne UND/ODER zu ändern: $\neg(P \land Q) = \neg P \land \neg Q$
Why: Teste es mit P = W, Q = F: $\neg(W \land F) = \neg F = W$, aber $\neg W \land \neg F = F \land W = F$. Die beiden Seiten sind verschieden.
Correct: Wenn NICHT in die Klammer wandert, wird aus UND ein ODER: $\neg(P \land Q) = \neg P \vee \neg Q$.
Mistake: Glauben, dass "nicht nicht" immer noch verneint ist
Why: In manchen Sprachen ist eine doppelte Verneinung beim Sprechen nur eine verstärkte Verneinung (Spanisch "No veo nada", Italienisch "Non vedo niente"). In der Logik zählt aber jedes NICHT.
Correct: Zwei NICHT heben sich auf: $\neg(\neg P) = P$. "Es stimmt nicht, dass der Laden nicht offen ist" bedeutet, dass der Laden offen ist.
Programmierung und Apps
Programmierer schreiben ! vor eine Bedingung, damit Code nur dann läuft, wenn diese Bedingung falsch ist.
Eine Hausaufgaben-App nutzt die Regel !erledigt: Sie zeigt eine Erinnerung nur, wenn die Hausaufgabe NICHT erledigt ist.
NICHT-Gatter in der Elektronik
Ein NICHT-Gatter (auch Inverter genannt) hat einen Eingang und einen Ausgang. Es gibt immer das umgekehrte Signal aus.
Ein Nachtlicht nutzt einen Lichtsensor, der 1 sendet, wenn es hell ist. Nach einem NICHT-Gatter bekommt die Lampe nur dann eine 1, wenn es dunkel ist.
Ladenregeln und Suchfilter
Regeln und Suchen schließen oft etwas mit UND NICHT aus: Das Ergebnis muss zu einer Sache passen, aber nicht zu einer anderen.
Eine Suche nach Pizza AND NOT Ananas zeigt Pizzaseiten, außer denen, auf denen Ananas vorkommt.
Die NICHT-Verknüpfung kehrt den Wahrheitswert um: $\neg W = F$ und $\neg F = W$
NICHT wirkt auf **eine** Aussage. Symbole: $\neg P$ in der Mathematik, NICHT P in Worten, !P beim Programmieren
Mit 1 und 0: NICHT 1 = 0, NICHT 0 = 1 und $\neg P = 1 - P$
Verneine einen Satz mit der Grammatik deiner Sprache (nicht oder kein) und denk daran: Die Verneinung von "alle" ist "nicht alle"
Doppelte Verneinung: Zwei NICHT heben sich auf, $\neg(\neg P) = P$
Klammern sind wichtig: $\neg(P \vee Q) = \neg P \land \neg Q$ und $\neg(P \land Q) = \neg P \vee \neg Q$ (Gesetze von De Morgan)
Q: Warum hat NICHT nur einen Eingang, während UND und ODER zwei haben?
A: UND und ODER verbinden zwei Aussagen, NICHT dagegen ändert einfach den Wahrheitswert einer einzigen Aussage. Deshalb hat die Wahrheitstabelle für NICHT nur zwei Zeilen: P = W und P = F.
Q: Ist "nicht glücklich" dasselbe wie "traurig"?
A: Nein. "Nicht glücklich" ist die Verneinung und umfasst alles, was nicht glücklich ist: traurig, gelangweilt, ruhig und so weiter. "Traurig" ist nur eine dieser Möglichkeiten. Eine Verneinung ist genau dann wahr, wenn die ursprüngliche Aussage falsch ist.
Q: Was ist die Verneinung von "$x > 5$"?
A: Sie lautet $x \leq 5$. Jede Zahl ist entweder größer als 5 oder nicht, und "nicht größer als 5" schließt die 5 selbst mit ein.
Q: Was sind die Gesetze von De Morgan?
A: Sie sagen dir, wie NICHT in eine Klammer wandert: $\neg(P \land Q) = \neg P \vee \neg Q$ und $\neg(P \vee Q) = \neg P \land \neg Q$. Aus UND wird ODER und aus ODER wird UND. In der Lektion über Wahrheitstabellen prüfst du sie Zeile für Zeile.
Die NICHT-Verknüpfung
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Die NICHT-Verknüpfung
Lerne, wie die NICHT-Verknüpfung wahr in falsch und falsch in wahr verwandelt und wie du Sätze richtig verneinst.