Kontraposition

Die **Kontraposition** einer Wenn-dann-Aussage "Wenn $p$, dann $q$" ($p \to q$) ist die Aussage "Wenn nicht $q$, dann nicht $p$": $$\neg q \to \neg p$$ Um sie zu bilden, machst du **zwei Dinge**: Du vertauschst Voraussetzung und Folgerung, und du verneinst beide. **Wichtige Tatsache:** Eine Aussage und ihre Kontraposition sind **logisch äquivalent**. Sie sind immer beide wahr oder beide falsch. Die Wahrheitstabelle zeigt es Zeile für Zeile (W = wahr, F = falsch): $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} p & q & \neg p & \neg q & p \to q & \neg q \to \neg p \\ \hline W & W & F & F & W & W \\ W & F & F & W & F & F \\ F & W & W & F & W & W \\ F & F & W & W & W & W \end{array}$$ Die letzten beiden Spalten sind gleich, also schreiben wir $p \to q \equiv \neg q \to \neg p$. (Die interaktive Tabelle in dieser Lektion prüft das für dich: Ihre letzte Spalte, $(p \to q) \leftrightarrow (\neg q \to \neg p)$, ist in jeder Zeile W.) **Die vier verwandten Aussagen** zu $p \to q$: - **Ursprüngliche Aussage**: $p \to q$ - **Umkehrung**: $q \to p$ (nur vertauschen) - **Inversion**: $\neg p \to \neg q$ (nur verneinen) - **Kontraposition**: $\neg q \to \neg p$ (vertauschen und verneinen) Die ursprüngliche Aussage und die Kontraposition stimmen immer überein. Auch die Umkehrung und die Inversion stimmen immer miteinander überein, denn die Inversion ist die Kontraposition der Umkehrung.

Eine Kontraposition bilden

Schreibe die Kontraposition von: "Wenn eine Zahl durch $10$ teilbar ist, dann endet sie auf $0$."

Bestimme die Voraussetzung $p$ und die Folgerung $q$: $p$: Eine Zahl ist durch $10$ teilbar. $q$: Sie endet auf $0$. = Zwei Teile gefunden

Verneine beide Teile: $\neg p$: Die Zahl ist nicht durch $10$ teilbar. $\neg q$: Sie endet nicht auf $0$. = Beide Teile verneint

Vertausche die Reihenfolge und schreibe $\neg q \to \neg p$: Setze die verneinte Folgerung nach vorne und die verneinte Voraussetzung nach hinten. = Wenn eine Zahl nicht auf $0$ endet, dann ist sie nicht durch $10$ teilbar.

Answer: Wenn eine Zahl nicht auf $0$ endet, dann ist sie nicht durch $10$ teilbar. Wie die ursprüngliche Aussage ist auch diese wahr: Zum Beispiel endet $73$ nicht auf $0$, und $73 \div 10 = 7{,}3$ ist keine ganze Zahl.

Alle vier verwandten Aussagen

Beginne mit "Wenn eine Figur ein Quadrat ist, dann hat sie vier rechte Winkel." Schreibe Umkehrung, Inversion und Kontraposition auf und entscheide jeweils, ob die Aussage wahr ist.

Prüfe die ursprüngliche Aussage $p \to q$: Jedes Quadrat hat vier rechte Winkel. = Wahr

Umkehrung $q \to p$: Wenn eine Figur vier rechte Winkel hat, dann ist sie ein Quadrat. Ein Rechteck mit den Seiten $3$ und $5$ hat vier rechte Winkel, ist aber kein Quadrat. = Falsch

Inversion $\neg p \to \neg q$: Wenn eine Figur kein Quadrat ist, dann hat sie keine vier rechten Winkel. Dasselbe Rechteck mit den Seiten $3$ und $5$ ist ein Gegenbeispiel. = Falsch

Kontraposition $\neg q \to \neg p$: Wenn eine Figur keine vier rechten Winkel hat, dann ist sie kein Quadrat. = Wahr

Answer: Die ursprüngliche Aussage und die Kontraposition sind wahr, Umkehrung und Inversion sind falsch. Ein einziges Gegenbeispiel (das Rechteck) widerlegt Umkehrung und Inversion gleichzeitig, weil die beiden zueinander äquivalent sind.

Die Äquivalenz mit einer Wahrheitstabelle beweisen

Zeige, dass $p \to q$ und $\neg q \to \neg p$ in jedem möglichen Fall denselben Wahrheitswert haben.

Liste alle Kombinationen von $p$ und $q$ auf: $(W,W)$, $(W,F)$, $(F,W)$, $(F,F)$ = 4 Zeilen

Fülle $p \to q$ aus: Eine Implikation ist nur falsch, wenn die Voraussetzung wahr und die Folgerung falsch ist: Zeile $(W,F)$. = $W, F, W, W$

Fülle $\neg q$ und $\neg p$ aus: Drehe jeden Wert um: $\neg q$ ist $F, W, F, W$ und $\neg p$ ist $F, F, W, W$. = Zwei Hilfsspalten

Fülle $\neg q \to \neg p$ aus: Sie ist nur falsch, wo $\neg q$ den Wert $W$ und $\neg p$ den Wert $F$ hat, und das passiert nur in Zeile $(W,F)$. = $W, F, W, W$

Vergleiche die beiden Spalten: Beide Spalten lauten $W, F, W, W$. = In allen 4 Zeilen gleich

Answer: Die Spalten stimmen in jeder Zeile überein, also gilt $p \to q \equiv \neg q \to \neg p$. Die Aussage und ihre Kontraposition sind logisch äquivalent.

Die Kontraposition bei einer Zahl anwenden

Die Regel "Wenn eine Zahl durch $6$ teilbar ist, dann ist sie durch $3$ teilbar" ist wahr. Entscheide mit ihrer Kontraposition, ob $2750$ durch $6$ teilbar ist.

Schreibe die Kontraposition: Vertauschen und verneinen. = Wenn eine Zahl nicht durch $3$ teilbar ist, dann ist sie nicht durch $6$ teilbar.

Prüfe die Teilbarkeit durch $3$ mit der Quersumme: $2 + 7 + 5 + 0 = 14$, und $14$ ist nicht durch $3$ teilbar. = $2750$ ist nicht durch $3$ teilbar

Kontrolliere mit einer Division: $2750 = 3 \times 916 + 2$ = Rest $2$

Wende die Kontraposition an: Die Voraussetzung "nicht durch $3$ teilbar" ist für $2750$ erfüllt. = $2750$ ist nicht durch $6$ teilbar

Answer: $2750$ ist nicht durch $6$ teilbar. Beachte: $2750$ ist gerade, die Teilbarkeit durch $2$ allein hätte die Frage also nicht entschieden. Die Kontraposition hat es geschafft.

Wenn n Quadrat gerade ist, dann ist n gerade

Erkläre mithilfe der Kontraposition, warum "Wenn $n^2$ gerade ist, dann ist $n$ gerade" für jede ganze Zahl $n$ gilt.

Schreibe die Kontraposition: Bei ganzen Zahlen bedeutet nicht gerade dasselbe wie ungerade. = Wenn $n$ ungerade ist, dann ist $n^2$ ungerade.

Schreibe eine ungerade Zahl allgemein auf: $n = 2k + 1$ für eine ganze Zahl $k$, also $n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$ = $n^2 = 4k^2 + 4k + 1$

Klammere $2$ aus: $n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ = Das Doppelte einer ganzen Zahl plus $1$, also ist $n^2$ ungerade

Prüfe mit $n = 7$: $k = 3$: $7^2 = 49 = 2 \times 24 + 1$ = $49$ ist ungerade

Ziehe den Schluss: Die Kontraposition ist wahr, und sie ist zur ursprünglichen Aussage äquivalent. = Die ursprüngliche Aussage ist wahr

Answer: Jede ungerade Zahl hat ein ungerades Quadrat, also ist die Kontraposition wahr und damit auch die ursprüngliche Aussage. Der direkte Weg (von $n^2$ gerade aus) ist viel schwieriger. Einen Satz so zu beweisen nennt man Beweis durch Kontraposition, den du im Thema Beweise kennenlernst.

Die Kontraposition gibt dir eine zweite Tür in dieselbe Aussage, und manchmal lässt sich diese Tür viel leichter öffnen: - **Zahlen**: Um zu zeigen, dass $2750$ nicht durch $6$ teilbar ist, genügt es zu sehen, dass die Zahl nicht durch $3$ teilbar ist - **Kontrolle**: Wenn eine richtige Lösung eine ganze Zahl sein muss und du $4{,}5$ erhältst, weißt du, dass etwas schiefgelaufen ist - **Computerprogramme**: "Wenn das Passwort stimmt, öffnet sich die Tür." Die Tür blieb zu, also war das Passwort falsch - **Beweise**: Später beweist du Aussagen wie "Wenn $n^2$ gerade ist, dann ist $n$ gerade", indem du stattdessen die Kontraposition beweist Wer weiß, welche verwandten Aussagen übereinstimmen, schützt sich auch vor einem sehr häufigen Fehler: anzunehmen, dass die Umkehrung einer wahren Aussage auch wahr sein muss.

Mistake: Nur die Teile vertauschen und $q \to p$ für die Kontraposition halten

Why: Vertauschen ohne Verneinen ergibt die Umkehrung, und die kann falsch sein, obwohl die ursprüngliche Aussage wahr ist.

Correct: Vertausche **und** verneine beide Teile: Die Kontraposition von $p \to q$ ist $\neg q \to \neg p$.

Mistake: "$x > 5$" als "$x < 5$" verneinen

Why: Dabei geht der Fall $x = 5$ verloren. Jede Zahl ist entweder größer als $5$ oder nicht größer als $5$, und "nicht größer" schließt die $5$ selbst ein.

Correct: Die Verneinung von $x > 5$ ist $x \le 5$, und die Verneinung von $x \ge 5$ ist $x < 5$.

Mistake: Annehmen, dass die Umkehrung einer wahren Aussage auch wahr ist

Why: "Wenn $x = 4$, dann $x^2 = 16$" ist wahr, aber "Wenn $x^2 = 16$, dann $x = 4$" ist falsch, denn auch $x = -4$ passt.

Correct: Nur die Kontraposition hat garantiert denselben Wahrheitswert wie die ursprüngliche Aussage. Die Umkehrung musst du extra prüfen.

Mistake: Sich in doppelten Verneinungen verlieren

Why: Bei "Wenn es nicht regnet, dann gehe ich zu Fuß zur Schule" schreiben manche "Wenn ich nicht zu Fuß gehe, dann regnet es nicht nicht" oder lassen aus Versehen eine Verneinung weg.

Correct: Die Verneinung von "es regnet nicht" ist "es regnet". Die Kontraposition lautet: "Wenn ich nicht zu Fuß zur Schule gehe, dann regnet es."

Teilbarkeitsproben und Prüfziffern

Viele Codes und schnelle Kopfrechenproben beruhen auf Teilbarkeitsregeln, und die Kontraposition erlaubt es, eine Zahl ohne Division auszusortieren.

Regel: Wenn eine Zahl durch $9$ teilbar ist, dann ist ihre Quersumme durch $9$ teilbar. Die Quersumme von $5812$ ist $16$, also kann $5812$ nicht durch $9$ teilbar sein.

Regeln für kostenlosen Versand

Onlineshops haben oft Regeln wie "Wenn deine Bestellung 50 € oder mehr kostet, ist der Versand kostenlos." Die Kontraposition sagt dir, was Versandkosten auf deiner Rechnung bedeuten.

Kontraposition: Wenn du Versandkosten bezahlt hast, dann lag deine Bestellung unter 50 €. Eine Rechnung mit Versandkosten beweist, dass die Bestellung unter der Grenze lag.

Tabellen im Sport lesen

Sportfans nutzen die Kontraposition, um anhand der Punktetabelle etwas auszuschließen, ohne jedes Spiel zu sehen.

In einer Liga mit $3$ Punkten für einen Sieg, $1$ für ein Unentschieden und $0$ für eine Niederlage gilt: Wenn eine Mannschaft alle $5$ Spiele gewonnen hat, hat sie $15$ Punkte. Eine Mannschaft mit weniger als $15$ Punkten hat nicht jedes Spiel gewonnen.

Die Kontraposition von $p \to q$ ist $\neg q \to \neg p$: Vertausche die beiden Teile und verneine beide

Eine Aussage und ihre Kontraposition sind logisch äquivalent: Sie sind immer beide wahr oder beide falsch

Die Wahrheitstabelle zeigt es: $p \to q$ und $\neg q \to \neg p$ sind nur in der Zeile $p$ wahr, $q$ falsch beide falsch

Die Umkehrung $q \to p$ und die Inversion $\neg p \to \neg q$ stimmen miteinander überein, aber nicht unbedingt mit der ursprünglichen Aussage

Verneine sorgfältig: Das Gegenteil von $x > 5$ ist $x \le 5$, und das Gegenteil von ungerade ist gerade

Wenn eine Aussage schwer direkt zu prüfen ist, prüfe stattdessen ihre Kontraposition, zum Beispiel "wenn $n$ ungerade ist, dann ist $n^2$ ungerade"

Q: Warum ist die Kontraposition immer wahr, wenn die ursprüngliche Aussage wahr ist?

A: Die Aussage $p \to q$ sagt: Immer wenn $p$ eintritt, tritt auch $q$ ein. Wenn also $q$ nicht eingetreten ist, kann auch $p$ nicht eingetreten sein, sonst wäre $q$ gefolgt. Genau das ist $\neg q \to \neg p$. Die Wahrheitstabelle bestätigt es in allen vier Fällen.

Q: Was ist der Unterschied zwischen der Inversion und der Kontraposition?

A: Beide verneinen die zwei Teile, aber die Inversion behält die Reihenfolge bei ($\neg p \to \neg q$), während die Kontraposition sie zusätzlich vertauscht ($\neg q \to \neg p$). Die Kontraposition ist zur ursprünglichen Aussage äquivalent, die Inversion zur Umkehrung.

Q: Wenn die ursprüngliche Aussage falsch ist, ist dann auch die Kontraposition falsch?

A: Ja. Die beiden sind äquivalent, also haben sie immer denselben Wahrheitswert. "Wenn eine Zahl gerade ist, dann ist sie durch $4$ teilbar" ist falsch ($6$ ist ein Gegenbeispiel), und ebenso "Wenn eine Zahl nicht durch $4$ teilbar ist, dann ist sie nicht gerade", mit demselben Gegenbeispiel $6$.

Q: Ist die Kontraposition dasselbe wie ein Widerspruchsbeweis?

A: Nein. Mit der Kontraposition beweist du direkt $\neg q \to \neg p$ statt $p \to q$. Ein Widerspruchsbeweis nimmt an, dass die ganze Aussage falsch ist, und kommt zu einem unmöglichen Ergebnis. Beide Methoden kommen im Thema Beweise vor.

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Kontraposition

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Logik & Mengen / Logisches Denken

Kontraposition

Lerne, wie du die Kontraposition einer Wenn-dann-Aussage bildest, warum sie immer denselben Wahrheitswert wie die ursprüngliche Aussage hat und wie du damit über Zahlen schlussfolgerst.

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