Umkehrung und Inversion
Die Umkehrung bilden
Original: Wenn eine Figur ein Quadrat ist, dann hat sie vier Seiten. Schreibe die Umkehrung auf und entscheide, ob sie wahr ist.
Voraussetzung und Folgerung bestimmen: $p$: Eine Figur ist ein Quadrat. $q$: Sie hat vier Seiten. = Original: $p \to q$ (wahr)
Die beiden Teile vertauschen: $q \to p$: Wenn eine Figur vier Seiten hat, dann ist sie ein Quadrat. = Das ist die Umkehrung
Ein Gegenbeispiel suchen: Ein Rechteck mit 5 cm mal 3 cm hat vier Seiten, ist aber kein Quadrat. = Die Umkehrung ist falsch
Answer: Umkehrung: Wenn eine Figur vier Seiten hat, dann ist sie ein Quadrat. Sie ist falsch, denn ein Rechteck mit 5 cm mal 3 cm ist ein Gegenbeispiel.
Die Inversion bilden
Original: Wenn eine Zahl durch 4 teilbar ist, dann ist sie gerade. Schreibe die Inversion auf und teste sie mit der Zahl 6.
Die Voraussetzung verneinen: nicht $p$: Eine Zahl ist nicht durch 4 teilbar = $\neg p$
Die Folgerung verneinen: nicht $q$: Sie ist nicht gerade = $\neg q$
Die Inversion aufschreiben: Wenn eine Zahl nicht durch 4 teilbar ist, dann ist sie nicht gerade. = $\neg p \to \neg q$
Mit 6 testen: $6 \div 4 = 1{,}5$, also ist 6 nicht durch 4 teilbar, aber $6 \div 2 = 3$, also ist 6 gerade. = Die Inversion ist falsch
Answer: Inversion: Wenn eine Zahl nicht durch 4 teilbar ist, dann ist sie nicht gerade. Sie ist falsch: 6 ist nicht durch 4 teilbar und trotzdem gerade.
Ein Gegenbeispiel für beide
Original: Wenn $x = 3$, dann $x^2 = 9$. Bestimme den Wahrheitswert des Originals, der Umkehrung und der Inversion.
Das Original prüfen: Wenn $x = 3$, dann $x^2 = 3 \times 3 = 9$. = Original: wahr
Die Umkehrung aufschreiben und testen: Wenn $x^2 = 9$, dann $x = 3$. Probiere $x = -3$: $(-3)^2 = 9$, aber $-3 \neq 3$. = Umkehrung: falsch
Die Inversion aufschreiben und testen: Wenn $x \neq 3$, dann $x^2 \neq 9$. Probiere $x = -3$: $-3 \neq 3$, aber $(-3)^2 = 9$. = Inversion: falsch
Vergleichen: Dieselbe Zahl $-3$ widerlegt die Umkehrung und die Inversion. = Umkehrung und Inversion stimmen überein
Answer: Das Original ist wahr, Umkehrung und Inversion sind beide falsch. Das Gegenbeispiel $x = -3$ funktioniert für beide.
Wenn beide Richtungen gelten
Original: Wenn ein Winkel $90^\circ$ misst, dann ist er ein rechter Winkel. Kannst du daraus eine Äquivalenz machen?
Das Original prüfen: Jeder Winkel von $90^\circ$ ist nach Definition ein rechter Winkel. = Original: wahr
Die Umkehrung aufschreiben: Wenn ein Winkel ein rechter Winkel ist, dann misst er $90^\circ$. = Umkehrung: $q \to p$
Die Umkehrung prüfen: Jeder rechte Winkel misst genau $90^\circ$. Es gibt kein Gegenbeispiel. = Umkehrung: wahr
Beide Richtungen verbinden: $p \to q$ und $q \to p$ sind beide wahr, also gilt $p \leftrightarrow q$. = Äquivalenz
Answer: Ja: Ein Winkel ist genau dann ein rechter Winkel, wenn er $90^\circ$ misst.
Falsches Original, wahre Umkehrung
Original: Wenn eine Zahl ein Vielfaches von 3 ist, dann ist sie ein Vielfaches von 6. Bestimme die Wahrheitswerte des Originals, der Umkehrung und der Inversion.
Das Original testen: 9 ist ein Vielfaches von 3, aber $9 \div 6 = 1{,}5$. = Original: falsch
Die Umkehrung testen: Wenn eine Zahl ein Vielfaches von 6 ist, dann ist sie ein Vielfaches von 3. Jedes Vielfache von 6 ist $6k = 3 \times 2k$. = Umkehrung: wahr
Die Inversion testen: Wenn eine Zahl kein Vielfaches von 3 ist, dann ist sie kein Vielfaches von 6. Ein Vielfaches von 6 wäre auch ein Vielfaches von 3, also wird das nie verletzt. = Inversion: wahr
Eine Schlussfolgerung ziehen: Der Wahrheitswert des Originals verrät nichts über die Umkehrung. = Jede Aussage muss geprüft werden
Answer: Das Original ist falsch (Gegenbeispiel 9), Umkehrung und Inversion sind dagegen beide wahr.
Mistake: Annehmen, dass die Umkehrung wahr ist, weil das Original wahr ist
Why: Wenn man Voraussetzung und Folgerung vertauscht, entsteht eine neue Aussage mit eigenem Wahrheitswert. Wenn $x = 3$, dann $x^2 = 9$ ist wahr, aber wenn $x^2 = 9$, dann $x = 3$ ist falsch.
Correct: Prüfe die Umkehrung immer für sich und suche ein Gegenbeispiel, hier $x = -3$.
Mistake: Umkehrung und Inversion verwechseln
Why: Beide entstehen aus denselben zwei Teilen und sehen sich daher ähnlich. Die Umkehrung ändert die Reihenfolge, die Inversion fügt zwei Verneinungen hinzu.
Correct: Umkehrung = vertauschen: $q \to p$. Inversion = beide verneinen: $\neg p \to \neg q$.
Mistake: Bei der Inversion nur einen Teil verneinen
Why: $\neg p \to q$ zu schreiben (wenn kein Quadrat, dann vier Seiten) ist nicht die Inversion. Das ist eine völlig andere Aussage.
Correct: Setze nicht vor die Voraussetzung **und** vor die Folgerung: wenn kein Quadrat, dann nicht vier Seiten.
Mistake: Ein passendes Beispiel als Beweis für die Umkehrung nehmen
Why: Bei wenn $x^2 = 9$, dann $x = 3$ passt das Beispiel $x = 3$, aber $x = -3$ nicht. Passende Beispiele beweisen nie eine allgemeine Aussage.
Correct: Ein Gegenbeispiel beweist, dass eine Aussage falsch ist. Um sie zu beweisen, brauchst du ein Argument, das jeden Fall abdeckt.
Aktionen im Onlineshop
Shops formulieren Regeln als Wenn-dann-Aussagen. Kunden lesen sie oft verkehrt herum, und genau das ist die Umkehrung.
Regel: Wenn deine Bestellung über 50 € liegt, dann ist der Versand kostenlos. Umkehrung: Wenn der Versand kostenlos ist, dann lag die Bestellung über 50 €. Auch ein Mitgliedscode kann kostenlosen Versand bringen, also kann die Umkehrung falsch sein.
Regeln in Computerprogrammen prüfen
Programmierer schreiben Bedingungen wie wenn n durch 6 teilbar ist, dann ist n gerade. Eine solche Bedingung umzudrehen, ist ein klassischer Fehler.
Ein Programm akzeptiert nur Zahlen, die durch 6 teilbar sind, und markiert sie als gerade. Ein Programmierer dreht die Prüfung um und akzeptiert jede gerade Zahl als durch 6 teilbar. Die Zahl 8 rutscht versehentlich durch.
Gute Definitionen
Wörterbücher und Mathebücher schreiben Definitionen, die in beide Richtungen gelten. Eine Definition ist eine Äquivalenz, eine Genau-dann-wenn-Aussage.
Ein Dreieck ist genau dann rechtwinklig, wenn es einen Winkel von $90^\circ$ hat. Jedes rechtwinklige Dreieck hat einen Winkel von $90^\circ$, und jedes Dreieck mit einem Winkel von $90^\circ$ ist rechtwinklig.
Eine Wenn-dann-Aussage hat die Form $p \to q$: wenn $p$, dann $q$
Die Umkehrung vertauscht die Teile: $q \to p$
Die Inversion verneint beide Teile: $\neg p \to \neg q$
Eine wahre Aussage kann eine falsche Umkehrung und eine falsche Inversion haben, zum Beispiel wenn $x = 3$, dann $x^2 = 9$
Umkehrung und Inversion haben immer denselben Wahrheitswert, und ein Gegenbeispiel genügt, um eine Aussage zu widerlegen
Wenn eine Aussage und ihre Umkehrung beide wahr sind, bilden sie eine Äquivalenz $p \leftrightarrow q$ (genau dann, wenn)
Q: Wenn das Original wahr ist, kann die Umkehrung dann auch wahr sein?
A: Manchmal. Wenn ein Winkel $90^\circ$ misst, dann ist er ein rechter Winkel, und auch die Umkehrung ist wahr. Du musst sie aber immer getrennt prüfen, sie folgt nie automatisch.
Q: Warum haben Umkehrung und Inversion immer denselben Wahrheitswert?
A: Schau dir die Wahrheitstabelle an: Die Spalten für $q \to p$ und $\neg p \to \neg q$ sind in allen vier Zeilen gleich. In der nächsten Lektion siehst du, warum: Jede ist die Kontraposition der anderen.
Q: Was bedeutet genau dann, wenn?
A: Es bedeutet, dass beide Richtungen gelten: $p \to q$ und $q \to p$. Wir schreiben $p \leftrightarrow q$. Zum Beispiel gilt $x + 4 = 10$ genau dann, wenn $x = 6$.
Q: Wie viele Gegenbeispiele brauche ich?
A: Nur eines. Ein einziger Fall, in dem die Voraussetzung wahr und die Folgerung falsch ist, zeigt, dass die ganze Aussage falsch ist.
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Umkehrung und Inversion
Lerne, wie du die Umkehrung und die Inversion einer Wenn-dann-Aussage bildest und warum eine wahre Aussage eine falsche Umkehrung haben kann.