Wenn n² gerade ist, dann ist n gerade

Beweise: Für jede ganze Zahl $n$ gilt: Wenn $n^2$ gerade ist, dann ist $n$ gerade.

Schreibe die Kontraposition auf: Verneine beide Teile und vertausche sie: "Wenn $n$ nicht gerade ist, dann ist $n^2$ nicht gerade" = Wenn $n$ ungerade ist, dann ist $n^2$ ungerade

Nimm die verneinte Behauptung an: Nimm an, $n$ ist ungerade, also $n = 2k + 1$ für eine ganze Zahl $k$ = $n = 2k + 1$

Quadriere und multipliziere aus: $n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$ = $n^2 = 4k^2 + 4k + 1$

Bringe es in die Form 2m + 1: $n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$, und $m = 2k^2 + 2k$ ist eine ganze Zahl = $n^2$ ist ungerade

Folgere: Wir haben "$n$ ungerade $\Rightarrow$ $n^2$ ungerade" bewiesen, die Kontraposition der Aussage = Wenn $n^2$ gerade ist, dann ist $n$ gerade

Answer: Die Kontraposition (wenn $n$ ungerade ist, dann ist $n^2$ ungerade) ist wahr, also ist die ursprüngliche Aussage wahr. q. e. d.

Wenn n² ungerade ist, dann ist n ungerade

Beweise: Für jede ganze Zahl $n$ gilt: Wenn $n^2$ ungerade ist, dann ist $n$ ungerade.

Schreibe die Kontraposition auf: Nicht ungerade heißt gerade, für die Behauptung und für die Voraussetzung = Wenn $n$ gerade ist, dann ist $n^2$ gerade

Nimm die verneinte Behauptung an: Nimm an, $n$ ist gerade, also $n = 2k$ für eine ganze Zahl $k$ = $n = 2k$

Quadriere: $n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$ = $n^2 = 2(2k^2)$

Folgere: $2k^2$ ist eine ganze Zahl, also ist $n^2$ gerade: Wir sind bei $\neg p$ angekommen = Die Kontraposition ist bewiesen

Answer: Da "$n$ gerade $\Rightarrow$ $n^2$ gerade" wahr ist, ist auch "$n^2$ ungerade $\Rightarrow$ $n$ ungerade" wahr. q. e. d.

Wenn xy ungerade ist, dann sind x und y ungerade

Beweise: Für alle ganzen Zahlen $x$ und $y$ gilt: Wenn $xy$ ungerade ist, dann sind $x$ und $y$ beide ungerade.

Verneine die Behauptung sorgfältig: Die Verneinung von "$x$ ist ungerade und $y$ ist ungerade" ist "$x$ ist gerade oder $y$ ist gerade" (aus und wird oder) = $\neg q$: $x$ ist gerade oder $y$ ist gerade

Schreibe die Kontraposition auf: Wenn $x$ gerade ist oder $y$ gerade ist, dann ist $xy$ nicht ungerade = Wenn $x$ oder $y$ gerade ist, dann ist $xy$ gerade

Fall 1: x ist gerade: $x = 2k$, also $xy = 2ky = 2(ky)$, und $ky$ ist eine ganze Zahl = $xy$ ist gerade

Fall 2: y ist gerade: $y = 2j$, also $xy = 2xj = 2(xj)$, und $xj$ ist eine ganze Zahl = $xy$ ist gerade

Folgere: In beiden Fällen ist $xy$ gerade, die Kontraposition gilt also = Wenn $xy$ ungerade ist, dann sind $x$ und $y$ ungerade

Answer: Jeder Fall der verneinten Behauptung führt zu $xy$ gerade, also ist die ursprüngliche Aussage wahr. q. e. d.

Wenn x + y ≥ 10, dann x ≥ 5 oder y ≥ 5

Beweise: Für alle reellen Zahlen $x$ und $y$ gilt: Wenn $x + y \geq 10$, dann ist $x \geq 5$ oder $y \geq 5$.

Verneine die Behauptung: Die Verneinung von "$x \geq 5$ oder $y \geq 5$" ist "$x < 5$ und $y < 5$" (aus oder wird und, aus $\geq$ wird $<$) = $\neg q$: $x < 5$ und $y < 5$

Verneine die Voraussetzung: Die Verneinung von $x + y \geq 10$ ist $x + y < 10$ = $\neg p$: $x + y < 10$

Nimm die verneinte Behauptung an: Nimm an: $x < 5$ und $y < 5$ = Zwei Ungleichungen

Addiere die Ungleichungen: $x + y < 5 + 5 = 10$ = $x + y < 10$

Folgere: Wir sind von $\neg q$ aus bei $\neg p$ angekommen = Die ursprüngliche Aussage ist wahr

Answer: Wenn $x < 5$ und $y < 5$, dann ist $x + y < 10$. Das ist die Kontraposition, also erzwingt $x + y \geq 10$, dass $x \geq 5$ oder $y \geq 5$ ist. q. e. d.

Die Methode wählen: n² - 6n + 5

Beweise: Für jede ganze Zahl $n$ gilt: Wenn $n^2 - 6n + 5$ gerade ist, dann ist $n$ ungerade.

Versuche zuerst den direkten Weg: Aus "$n^2 - 6n + 5$ ist gerade" folgt eine Gleichung $n^2 - 6n + 5 = 2m$, die wenig über $n$ verrät = Der direkte Beweis ist mühsam

Schreibe die Kontraposition auf: Wenn $n$ gerade ist, dann ist $n^2 - 6n + 5$ ungerade = $\neg q \to \neg p$

Nimm an, dass n gerade ist, und setze ein: $n = 2k$, also $n^2 - 6n + 5 = 4k^2 - 12k + 5$ = $4k^2 - 12k + 5$

Bringe es in die Form 2m + 1: $4k^2 - 12k + 5 = 2(2k^2 - 6k + 2) + 1$ = Der Ausdruck ist ungerade

Prüfe mit einer Zahl: $k = 5$, $n = 10$: $100 - 60 + 5 = 45 = 2 \cdot 22 + 1$ = Ungerade, wie vorhergesagt

Answer: Wenn $n$ gerade ist, dann ist $n^2 - 6n + 5$ ungerade. Das ist die Kontraposition, also ist die ursprüngliche Aussage wahr. q. e. d.

Mistake: Die Umkehrung statt der Kontraposition beweisen: Bei "wenn $n^2$ gerade ist, dann ist $n$ gerade" annehmen, dass $n$ gerade ist, und zeigen, dass $n^2$ gerade ist

Why: Damit beweist du $q \to p$, die Umkehrung, und das ist eine andere Aussage. Eine Aussage und ihre Umkehrung sind nicht äquivalent.

Correct: Verneine beide Teile und vertausche sie: Nimm an, $n$ ist ungerade ($\neg q$), und zeige, dass $n^2$ ungerade ist ($\neg p$).

Mistake: "$x$ und $y$ sind ungerade" verneinen als "$x$ und $y$ sind gerade"

Why: Die Behauptung ist schon falsch, sobald eine der Zahlen gerade ist. "Beide gerade" deckt nur einen Teil der Fälle ab, der Beweis wäre unvollständig.

Correct: "Nicht ($a$ und $b$)" heißt "nicht $a$ oder nicht $b$": $x$ ist gerade oder $y$ ist gerade. Beweise dann jeden Fall.

Mistake: $x \geq 5$ verneinen als $x \leq 5$

Why: Der Wert $x = 5$ erfüllt sowohl $x \geq 5$ als auch $x \leq 5$, also ist $x \leq 5$ nicht das Gegenteil von $x \geq 5$.

Correct: Die Verneinung von $x \geq 5$ ist $x < 5$, und die Verneinung von $x > 5$ ist $x \leq 5$.

Mistake: $\neg q$ annehmen und dann nach "irgendeinem Widerspruch" suchen

Why: Damit vermischst du zwei Methoden. Beim Beweis durch Kontraposition gibt es keinen Widerspruch: Du hast ein klares Ziel.

Correct: Nimm $\neg q$ an und arbeite, bis du genau bei $\neg p$ bist. Die Suche nach irgendeinem Widerspruch gehört zum Widerspruchsbeweis.

Qualitätskontrolle

Prüferinnen und Prüfer nutzen die Kontraposition, um Fälle auszuschließen, ohne jedes Teil doppelt zu wiegen.

Regel: Wenn ein Paket aus 4 Schachteln mindestens 2000 g wiegt, dann wiegt mindestens eine Schachtel mindestens 500 g. Kontraposition: Wenn jede Schachtel weniger als 500 g wiegt, wiegt das Paket weniger als 2000 g.

Software testen

Programmiererinnen und Programmierer testen Code mit der Kontraposition: Wenn der Code korrekt ist, liefert ein Test das richtige Ergebnis, also beweist ein falsches Ergebnis einen Fehler.

Eine Funktion soll $f(n) = 3n + 2$ berechnen. Wir haben bewiesen: Wenn $f(n)$ ungerade ist, dann ist $n$ ungerade. Kontraposition: Ein gerades $n$ muss ein gerades Ergebnis liefern.

Prüfziffern in Codes

Viele Codes verwenden eine einfache Regel, um Tippfehler zu erkennen. Die Kontraposition sagt dir, wann ein Code sicher falsch ist.

Regel: Wenn ein Code gültig ist, dann ist seine Quersumme durch 9 teilbar. Kontraposition: Wenn die Quersumme nicht durch 9 teilbar ist, ist der Code nicht gültig.

Q: Warum beweist die Kontraposition die ursprüngliche Aussage?

A: Weil beide logisch äquivalent sind: In der Wahrheitstabelle sind $p \to q$ und $\neg q \to \neg p$ in genau derselben Zeile falsch ($p$ wahr, $q$ falsch) und in allen anderen wahr. Wer die eine beweist, hat auch die andere bewiesen.

Q: Woran erkenne ich, dass ich Kontraposition statt eines direkten Beweises nehmen sollte?

A: Schau dir die Voraussetzung an. Wenn sie schwer zu nutzen ist (eine Aussage über $n^2$, ein Produkt, eine Summe), die verneinte Behauptung dir aber eine Formel liefert ($n = 2k$, $n = 2k + 1$, $x < 5$ und $y < 5$), ist die Kontraposition meist kürzer.

Q: Was ist der Unterschied zum Widerspruchsbeweis?

A: Beim Widerspruchsbeweis nimmst du $p$ und $\neg q$ an und suchst irgendeine unmögliche Situation. Beim Beweis durch Kontraposition nimmst du nur $\neg q$ an und musst genau bei $\neg p$ ankommen. Jeder Beweis durch Kontraposition lässt sich als Widerspruchsbeweis umschreiben, aber nicht jeder Widerspruchsbeweis ist eine Kontraposition.

Q: Wenn ich die Kontraposition beweise, ist dann auch die Umkehrung wahr?

A: Nicht automatisch. Die Umkehrung $q \to p$ ist eine eigene Aussage. Zum Beispiel sind "wenn $n^2$ gerade ist, dann ist $n$ gerade" und ihre Umkehrung "wenn $n$ gerade ist, dann ist $n^2$ gerade" beide wahr, aber jede braucht ihren eigenen Beweis.