Eine Gleichung als Beweis lösen

**Gegeben:** $3x + 5 = 20$. **Zu zeigen:** $x = 5$. Schreibe den Beweis in zwei Spalten.

Schreibe das Gegebene als Aussage 1: Aussage: $3x + 5 = 20$ = Begründung: Gegeben

Subtrahiere auf beiden Seiten 5: $3x + 5 - 5 = 20 - 5$, also Aussage: $3x = 15$ = Begründung: Subtraktionseigenschaft der Gleichheit

Dividiere beide Seiten durch 3: $\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}$, also Aussage: $x = 5$ = Begründung: Divisionseigenschaft der Gleichheit

Prüfe, ob die letzte Aussage die zu zeigende ist: Aussage 3 lautet $x = 5$, genau das sollten wir zeigen = Der Beweis ist fertig

Answer: 1. $3x + 5 = 20$ (Gegeben); 2. $3x = 15$ (Subtraktionseigenschaft der Gleichheit); 3. $x = 5$ (Divisionseigenschaft der Gleichheit).

Fehlende Begründungen ergänzen

**Gegeben:** $2(x - 4) = 10$. **Zu zeigen:** $x = 9$. Die Aussagen sind 1. $2(x - 4) = 10$, 2. $2x - 8 = 10$, 3. $2x = 18$, 4. $x = 9$. Finde die Begründung für jede Aussage.

Aussage 1 ist die Ausgangsinformation: $2(x - 4) = 10$ wurde uns gegeben = Begründung 1: Gegeben

Vergleiche Aussage 1 und 2: Aus $2(x - 4)$ wurde $2x - 8$: Die 2 wurde in die Klammer hineinmultipliziert = Begründung 2: Distributivgesetz

Vergleiche Aussage 2 und 3: $2x - 8 + 8 = 10 + 8$: Auf beiden Seiten wurde 8 addiert = Begründung 3: Additionseigenschaft der Gleichheit

Vergleiche Aussage 3 und 4: $\frac{2x}{2} = \frac{18}{2}$: Beide Seiten wurden durch 2 dividiert = Begründung 4: Divisionseigenschaft der Gleichheit

Answer: Gegeben, Distributivgesetz, Additionseigenschaft der Gleichheit, Divisionseigenschaft der Gleichheit. Probe: $2(9 - 4) = 2 \cdot 5 = 10$.

Ein Beweis mit Strecken

Die Punkte $A$, $B$, $C$, $D$ liegen in dieser Reihenfolge auf einer Geraden. **Gegeben:** $AB = CD$. **Zu zeigen:** $AC = BD$.

Beginne mit dem Gegebenen: Aussage: $AB = CD$ = Begründung: Gegeben

Schreibe auf, dass $BC$ gleich sich selbst ist: Aussage: $BC = BC$ = Begründung: Reflexive Eigenschaft

Addiere $BC$ auf beiden Seiten von Aussage 1: Aussage: $AB + BC = CD + BC$ = Begründung: Additionseigenschaft der Gleichheit

Wende auf beiden Seiten die Streckenaddition an: Aussage: $AB + BC = AC$ und $BC + CD = BD$ = Begründung: Streckenaddition (Postulat)

Ersetze beide Summen in Aussage 3: Aussage: $AC = BD$ = Begründung: Einsetzen (Substitution)

Answer: $AC = BD$. Probe mit Zahlen: Ist $AB = CD = 4$ und $BC = 7$, dann ist $AC = 11$ und $BD = 11$.

Winkel, die sich zu 180° ergänzen

**Gegeben:** $\angle 1$ und $\angle 2$ ergänzen sich zu $180^\circ$, $m\angle 1 = 65^\circ$. **Zu zeigen:** $m\angle 2 = 115^\circ$.

Schreibe das Gegebene auf: Aussage: $\angle 1$ und $\angle 2$ ergänzen sich zu $180^\circ$, $m\angle 1 = 65^\circ$ = Begründung: Gegeben

Nutze, was "ergänzen sich zu 180°" bedeutet: Aussage: $m\angle 1 + m\angle 2 = 180^\circ$ = Begründung: Definition (Winkel ergänzen sich zu 180°)

Setze $65^\circ$ für $m\angle 1$ ein: Aussage: $65^\circ + m\angle 2 = 180^\circ$ = Begründung: Einsetzen (Substitution)

Subtrahiere auf beiden Seiten $65^\circ$: Aussage: $m\angle 2 = 115^\circ$ = Begründung: Subtraktionseigenschaft der Gleichheit

Answer: $m\angle 2 = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$, und jeder Schritt hat seine Begründung.

Den Scheitelwinkelsatz beweisen

Zwei Geraden schneiden sich und bilden nacheinander $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$, also sind $\angle 1$ und $\angle 3$ Scheitelwinkel. **Gegeben:** $\angle 1$ und $\angle 2$ sind Nebenwinkel, $\angle 2$ und $\angle 3$ sind Nebenwinkel. **Zu zeigen:** $m\angle 1 = m\angle 3$.

Schreibe das Gegebene auf: Aussage: $\angle 1, \angle 2$ und $\angle 2, \angle 3$ sind Nebenwinkel = Begründung: Gegeben

Nebenwinkel liegen an einer Geraden: Aussage: $m\angle 1 + m\angle 2 = 180^\circ$ und $m\angle 2 + m\angle 3 = 180^\circ$ = Begründung: Nebenwinkelsatz (Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°)

Beide Summen sind $180^\circ$, also sind sie gleich: Aussage: $m\angle 1 + m\angle 2 = m\angle 2 + m\angle 3$ = Begründung: Einsetzen (Substitution)

Subtrahiere auf beiden Seiten $m\angle 2$: Aussage: $m\angle 1 = m\angle 3$ = Begründung: Subtraktionseigenschaft der Gleichheit

Answer: Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Ab jetzt darfst du das als Begründung verwenden: Scheitelwinkelsatz.

Mistake: Aufschreiben, was du getan hast, statt einer Begründung, zum Beispiel "Ich habe die 5 auf die andere Seite gebracht"

Why: Eine Begründung muss eine Regel nennen, die alle anerkennen. Eine Zahl "rüberbringen" ist keine Regel und versteckt, was wirklich passiert ist.

Correct: Nenne die Eigenschaft: Von $3x + 5 = 20$ zu $3x = 15$ ist die Subtraktionseigenschaft der Gleichheit (auf beiden Seiten wurde 5 subtrahiert).

Mistake: Division statt Multiplikation wählen bei $\frac{x}{4} = 3$ zu $x = 12$

Why: Der Schritt macht eine Division rückgängig, aber was du tatsächlich tust, ist beide Seiten mit 4 zu multiplizieren.

Correct: Frage dich, was du mit beiden Seiten gemacht hast. $\frac{x}{4} \cdot 4 = 3 \cdot 4$ ist die Multiplikationseigenschaft der Gleichheit.

Mistake: Die zu zeigende Aussage als Begründung oder als Aussage 1 verwenden

Why: Die zu zeigende Aussage ist das Ziel. Wer sie benutzt, bevor er sie erreicht hat, dreht sich im Kreis und beweist nichts.

Correct: Aussage 1 ist immer eine gegebene Information. Die zu zeigende Aussage kommt nur einmal vor, als letzte Aussage.

Mistake: Zwei Umformungen in einer Zeile mit einer einzigen Begründung

Why: Von $2(x - 4) = 10$ direkt zu $2x = 18$ braucht man zwei verschiedene Eigenschaften, eine Begründung reicht dafür nicht.

Correct: Eine Umformung pro Zeile: zuerst $2x - 8 = 10$ (Distributivgesetz), dann $2x = 18$ (Additionseigenschaft der Gleichheit).

Code Zeile für Zeile prüfen

Programmierer zeigen, dass eine Berechnung stimmt, indem sie jede Zeile begründen, genau wie die Zeilen eines Zwei-Spalten-Beweises.

Ein Programm löst $4x - 7 = 21$. Eine Prüferin kontrolliert jede Zeile: 7 addieren (Additionseigenschaft), dann durch 4 dividieren (Divisionseigenschaft).

Ein Regalwinkel

Schreiner nutzen die Winkeladdition, wenn eine schräge Strebe den rechten Winkel zwischen Wand und Regalbrett teilt.

Wand und Regalbrett treffen sich unter $90^\circ$. Eine Strebe teilt diese Ecke in zwei Winkel, die zusammen $90^\circ$ ergeben.

Entfernungen auf einer geraden Straße

Auf einer geraden Straße folgen die Entfernungen zwischen Orten der Streckenaddition, so lässt sich eine fehlende Entfernung beweisen.

Liegt der Ort $B$ zwischen den Orten $A$ und $C$, dann gilt $AB + BC = AC$.

Q: Ist ein Zwei-Spalten-Beweis etwas anderes als das Lösen einer Gleichung?

A: Die Schritte sind dieselben. Der Unterschied: Im Beweis schreibst du zu jedem Schritt die Begründung, du zeigst also nicht nur das Ergebnis, sondern auch, warum jeder Schritt erlaubt ist.

Q: Woher weiß ich, welche Begründung ich schreiben soll?

A: Vergleiche die neue Aussage mit der vorherigen und frage dich, was sich geändert hat. Wurde auf beiden Seiten etwas addiert? Wurde eine Klammer ausmultipliziert? Wurde ein Wert für einen anderen eingesetzt? Die Änderung verrät dir die Begründung.

Q: Was ist der Unterschied zwischen Einsetzen und der transitiven Eigenschaft?

A: Die transitive Eigenschaft arbeitet mit drei gleichen Dingen: Wenn $a = b$ und $b = c$, dann $a = c$. Einsetzen ist allgemeiner: Du ersetzt eine Größe in einer beliebigen Aussage durch eine gleich große, zum Beispiel $65^\circ$ statt $m\angle 1$. Viele Lehrkräfte akzeptieren beides, wenn beides passt.

Q: Kann ein Beweis mehrere richtige Versionen haben?

A: Ja. Manchmal kannst du die Schritte in anderer Reihenfolge machen oder eine andere Eigenschaft benutzen. Ein Beweis ist richtig, solange jede Aussage aus früheren folgt und jede Begründung gültig ist.