Eine Eiswaffel

Eine Eiswaffel hat einen Radius von 3 cm und eine Höhe von 10 cm. Bestimme ihr Volumen in Abhängigkeit von $\pi$ und dann mit $\pi \approx 3{,}14$, gerundet auf Zehntel.

Schreibe die Formel auf: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ = Formel bereit

Quadriere den Radius: $r^2 = 3^2 = 9$ = $r^2 = 9$

Multipliziere mit der Höhe und teile durch 3: $\frac{1}{3} \times 9 \times 10 = \frac{90}{3} = 30$ = $V = 30\pi$ cm³

Setze $\pi \approx 3{,}14$ ein: $30 \times 3{,}14 = 94{,}2$ = $V \approx 94{,}2$ cm³

Answer: Die Waffel fasst genau $30\pi$ cm³, also etwa $94{,}2$ cm³ Eis (ohne die Kugel oben drauf!).

Kegel gegen Zylinder

Ein Zylinder und ein Kegel haben beide einen Durchmesser von 8 cm und eine Höhe von 9 cm. Bestimme beide Volumen in Abhängigkeit von $\pi$ und vergleiche sie.

Bestimme den Radius aus dem Durchmesser: $r = 8 \div 2 = 4$ cm = $r = 4$ cm

Volumen des Zylinders: $V = \pi r^2 h = \pi \times 16 \times 9 = 144\pi$ = $144\pi$ cm³

Volumen des Kegels (ein Drittel): $V = \frac{1}{3} \times 144\pi = 48\pi$ = $48\pi$ cm³

Vergleiche: $144\pi \div 48\pi = 3$ = Der Zylinder fasst 3-mal so viel

Answer: Der Zylinder fasst $144\pi$ cm³ und der Kegel $48\pi \approx 150{,}72$ cm³. Drei Kegel füllen einen Zylinder.

Ein Sandhaufen

Ein Sandhaufen bildet einen Kegel mit einem Durchmesser von 6 m und einer Höhe von 2 m. Wie viele Kubikmeter Sand liegen im Haufen? Verwende $\pi \approx 3{,}14$ und runde auf Hundertstel.

Bestimme den Radius: $r = 6 \div 2 = 3$ m = $r = 3$ m

Setze in die Formel ein: $V = \frac{1}{3} \times 3{,}14 \times 3^2 \times 2$ = Werte eingesetzt

Berechne zuerst $\frac{1}{3} r^2 h$: $\frac{9 \times 2}{3} = \frac{18}{3} = 6$ = $V = 6\pi$

Multipliziere mit 3,14: $6 \times 3{,}14 = 18{,}84$ = $V \approx 18{,}84$ m³

Answer: Der Haufen enthält etwa $18{,}84$ m³ Sand (genau $6\pi$ m³).

Mit der Mantellinie rechnen

Ein Kegel hat einen Radius von 6 cm und eine Mantellinie von 10 cm. Bestimme sein Volumen in Abhängigkeit von $\pi$ und mit $\pi \approx 3{,}14$, gerundet auf Hundertstel.

Beachte: 10 cm ist die Mantellinie, nicht die Höhe: Radius, Höhe und Mantellinie bilden ein rechtwinkliges Dreieck: $l^2 = r^2 + h^2$ = Zuerst brauchen wir $h$

Wende den Satz des Pythagoras an: $h^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$ = $h = \sqrt{64} = 8$ cm

Wende die Volumenformel an: $V = \frac{1}{3}\pi \times 6^2 \times 8 = \frac{36 \times 8}{3}\pi = 96\pi$ = $V = 96\pi$ cm³

Setze $\pi \approx 3{,}14$ ein: $96 \times 3{,}14 = 301{,}44$ = $V \approx 301{,}44$ cm³

Answer: $V = 96\pi \approx 301{,}44$ cm³. Mit 10 cm als Höhe hättest du das falsche Ergebnis $120\pi$ cm³ erhalten.

Die Höhe eines Trichters bestimmen

Ein kegelförmiger Trichter fasst 314 cm³, wenn er voll ist. Sein Radius beträgt 5 cm. Wie hoch ist er? Verwende $\pi \approx 3{,}14$.

Schreibe die Formel mit den bekannten Werten auf: $314 = \frac{1}{3} \times 3{,}14 \times 5^2 \times h$ = Nur $h$ ist unbekannt

Multipliziere beide Seiten mit 3: $942 = 3{,}14 \times 25 \times h$ = $942 = 78{,}5h$

Teile beide Seiten durch 78,5: $h = 942 \div 78{,}5 = 12$ = $h = 12$ cm

Mache die Probe: $\frac{1}{3} \times 3{,}14 \times 25 \times 12 = 3{,}14 \times 100 = 314$ = Stimmt

Answer: Der Trichter ist $12$ cm hoch. Allgemein gilt $h = \frac{3V}{\pi r^2}$.

Mistake: Das $\frac{1}{3}$ vergessen und $V = \pi r^2 h$ verwenden

Why: Das ist die Formel für den Zylinder. Ein Kegel mit gleicher Grundfläche und Höhe fasst nur ein Drittel davon, also wird das Ergebnis 3-mal zu groß.

Correct: Schreibe immer $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ und teile durch 3. Für $r = 3$, $h = 10$: $\frac{1}{3}\pi \times 9 \times 10 = 30\pi$, nicht $90\pi$.

Mistake: Den Durchmesser statt des Radius verwenden

Why: Der Radius ist der halbe Durchmesser. Quadrierst du den Durchmesser, wird das Ergebnis 4-mal zu groß.

Correct: Ist der Durchmesser gegeben, halbiere ihn zuerst: Ein Durchmesser von 8 cm bedeutet $r = 4$ cm und $r^2 = 16$, nicht $64$.

Mistake: Die Mantellinie als Höhe verwenden

Why: Die Mantellinie verläuft entlang der schrägen Seite und ist deshalb immer länger als die senkrechte Höhe. Damit wird das Volumen zu groß.

Correct: Die Höhe geht senkrecht von der Spitze zum Mittelpunkt der Grundfläche. Kennst du nur die Mantellinie $l$, berechne $h$ mit $h^2 = l^2 - r^2$.

Mistake: Das Ergebnis in Quadrateinheiten angeben, zum Beispiel cm²

Why: Volumen ist dreidimensional: $r \times r \times h$ multipliziert drei Längen.

Correct: Volumen steht immer in Kubikeinheiten: cm³, m³, in³. Merke dir: $1$ cm³ $= 1$ mL.

In der Eisdiele

Eisdielen wählen Waffelgrößen und Preise danach, wie viel Eis in jede Waffel passt.

Eine kleine Waffel mit Radius 2 cm und Höhe 9 cm fasst $\frac{1}{3}\pi \times 4 \times 9 = 12\pi \approx 37{,}68$ cm³.

Papierbecher am Wasserspender

Viele Wasserspender in Büros haben kegelförmige Papierbecher. Sie sind billig herzustellen und lassen sich gut stapeln.

Ein kegelförmiger Papierbecher mit Radius 3 cm und Höhe 10 cm fasst $30\pi \approx 94{,}2$ cm³, also etwa $94$ mL Wasser.

Haufen aus Sand und Streusalz

Wenn Sand, Kies oder Streusalz von oben aufgeschüttet wird, entsteht ein Kegel. Bauarbeiter und Straßendienste schätzen mit der Kegelformel, wie viel Material in einem Haufen liegt.

Ein Sandhaufen mit Radius 3 m und Höhe 2 m enthält $6\pi \approx 18{,}84$ m³ Sand.

Q: Warum genau ein Drittel und nicht die Hälfte?

A: Ein Kegel wird nach oben immer schmaler, deshalb liegt der Großteil seines Volumens nahe der Grundfläche. Du kannst es mit Wasser oder Reis testen: Drei volle Kegel füllen einen Zylinder mit gleicher Grundfläche und Höhe. Später, in der Analysis, kannst du beweisen, dass der Faktor genau $\frac{1}{3}$ ist. Pyramiden folgen derselben Ein-Drittel-Regel.

Q: Was ist, wenn der Kegel schief ist (ein schiefer Kegel)?

A: Die Formel gilt trotzdem, solange $h$ die senkrechte Höhe von der Spitze zur Ebene der Grundfläche ist. Ein schiefer Kegel mit gleicher Grundfläche und gleicher senkrechter Höhe hat dasselbe Volumen wie ein gerader.

Q: Wann lasse ich das Ergebnis in Abhängigkeit von $\pi$ stehen?

A: Wenn die Aufgabe ein genaues Ergebnis verlangt oder "in Abhängigkeit von $\pi$" sagt, schreibe es zum Beispiel als $48\pi$ cm³. Brauchst du eine Zahl für eine echte Situation, multipliziere mit $3{,}14$ (oder nutze die $\pi$-Taste) und runde auf die Stelle, die die Aufgabe verlangt.

Q: Wie finde ich die Höhe, wenn ich nur die Mantellinie kenne?

A: Radius, Höhe und Mantellinie bilden ein rechtwinkliges Dreieck, in dem die Mantellinie die Hypotenuse ist. Also gilt $h = \sqrt{l^2 - r^2}$. Für $r = 5$ und $l = 13$: $h = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.