Volumen eines Balls

Ein Ball hat einen Radius von $3$ cm. Berechne sein Volumen mit $\pi$, dann mit $\pi \approx 3{,}14$, gerundet auf Hundertstel.

Schreibe die Formel auf: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ = Formel bereit

Nimm den Radius hoch 3: $r^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$ = $r^3 = 27$

Multipliziere mit $\frac{4}{3}$: $\frac{4}{3} \times 27 = \frac{108}{3} = 36$ = $V = 36\pi$ cm³

Ersetze $\pi$ durch $3{,}14$: $36 \times 3{,}14 = 113{,}04$ = $V \approx 113{,}04$ cm³

Answer: Das Volumen ist $36\pi$ cm³, also etwa $113{,}04$ cm³.

Start mit dem Durchmesser

Ein Globus hat einen Durchmesser von $12$ cm. Berechne sein Volumen mit $\pi$, dann mit $\pi \approx 3{,}14$, gerundet auf Hundertstel.

Bestimme den Radius (halber Durchmesser): $r = 12 \div 2 = 6$ = $r = 6$ cm

Nimm den Radius hoch 3: $6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216$ = $r^3 = 216$

Multipliziere mit $\frac{4}{3}$: $216 \div 3 = 72$, dann $72 \times 4 = 288$ = $V = 288\pi$ cm³

Ersetze $\pi$ durch $3{,}14$: $288 \times 3{,}14 = 904{,}32$ = $V \approx 904{,}32$ cm³

Answer: Der Globus hat ein Volumen von $288\pi$ cm³, etwa $904{,}32$ cm³. Wer $12$ als Radius nimmt, bekommt ein $8$-mal zu großes Volumen!

Volumen einer Halbkugel

Eine Schüssel hat die Form einer Halbkugel mit einem Innenradius von $6$ cm. Wie viel Suppe passt hinein? Rechne mit $\pi \approx 3{,}14$ und runde auf Hundertstel.

Schreibe die Formel für die Halbkugel auf (halbe Kugel): $V = \frac{2}{3}\pi r^3$ = Formel bereit

Nimm den Radius hoch 3: $6^3 = 216$ = $r^3 = 216$

Multipliziere mit $\frac{2}{3}$: $216 \div 3 = 72$, dann $72 \times 2 = 144$ = $V = 144\pi$ cm³

Ersetze $\pi$ durch $3{,}14$ und rechne in mL um ($1$ cm³ $= 1$ mL): $144 \times 3{,}14 = 452{,}16$ = $V \approx 452{,}16$ cm³ $\approx 452$ mL

Answer: In die Schüssel passen $144\pi$ cm³, etwa $452{,}16$ cm³, also ungefähr $452$ mL Suppe. Probe: Das ist genau die Hälfte des Globus aus Beispiel 2 ($288\pi \div 2 = 144\pi$).

Den Radius aus dem Volumen bestimmen

Eine Kugel hat ein Volumen von $4500\pi$ cm³. Wie groß ist ihr Radius?

Setze die Formel gleich dem Volumen: $\frac{4}{3}\pi r^3 = 4500\pi$ = Gleichung bereit

Teile beide Seiten durch $\pi$: $\frac{4}{3} r^3 = 4500$ = $\pi$ ist weg

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{3}{4}$: $r^3 = 4500 \times \frac{3}{4} = 3375$ = $r^3 = 3375$

Ziehe die Kubikwurzel (welche Zahl dreimal mit sich selbst multipliziert ergibt $3375$?): $15 \times 15 \times 15 = 3375$ = $r = 15$ cm

Answer: Der Radius ist $15$ cm. Probe: $\frac{4}{3} \times 15^3 = \frac{4}{3} \times 3375 = 4500$, also $V = 4500\pi$ cm³.

Archimedes: Kugel im Zylinder

Ein Ball mit Radius $3$ cm passt genau in eine Dose: Die Dose hat den Radius $3$ cm und die Höhe $6$ cm. Welchen Anteil der Dose füllt der Ball aus?

Volumen der Dose (Zylinder): $V = \pi r^2 h$: $\pi \times 3^2 \times 6 = \pi \times 9 \times 6$ = $V_{\text{Dose}} = 54\pi$ cm³

Volumen des Balls: $\frac{4}{3} \times 27 = 36$ = $V_{\text{Ball}} = 36\pi$ cm³

Vergleiche die beiden Volumen: $\frac{36\pi}{54\pi} = \frac{36}{54} = \frac{2}{3}$ = Der Ball füllt $\frac{2}{3}$ der Dose

Answer: Der Ball füllt $\frac{2}{3}$ der Dose aus, und $\frac{1}{3}$ (hier $18\pi$ cm³) bleibt leer. Das gilt für jede Kugel in ihrem passenden Zylinder: die Entdeckung des Archimedes.

Mistake: Den Durchmesser statt des Radius verwenden

Why: Die Formel braucht den Radius. Eine Kugel mit $10$ cm Durchmesser hat den Radius $5$ cm. Mit $10$ wird $r^3$ gleich $1000$ statt $125$, das Ergebnis ist also $8$-mal zu groß.

Correct: Halbiere immer zuerst den Durchmesser: $r = \frac{d}{2}$. Dann nimm $r$ hoch 3.

Mistake: Den Radius quadrieren statt hoch 3 nehmen

Why: Die Kreisfläche benutzt $r^2$, deshalb schreibt man leicht aus Gewohnheit $r^2$. Das Volumen ist aber dreidimensional und braucht drei Faktoren $r$.

Correct: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, also für $r = 3$: $r^3 = 27$, nicht $9$. Die Einheit ist cm³, nicht cm².

Mistake: Bei der Halbkugel den Radius halbieren statt das Volumen

Why: Eine Halbkugel hat denselben Radius wie die ganze Kugel. Nur das Volumen wird halbiert. Wer den Radius halbiert, macht das Volumen $8$-mal kleiner, nicht $2$-mal.

Correct: Halbkugel: Behalte $r$ und rechne $V = \frac{2}{3}\pi r^3$ (die Hälfte von $\frac{4}{3}\pi r^3$).

Mistake: Beim Bestimmen von $r$ durch $3$ teilen statt die Kubikwurzel ziehen

Why: Wenn du bei $r^3 = 216$ ankommst, ist der Radius nicht $216 \div 3 = 72$. $r^3$ bedeutet $r \times r \times r$, du brauchst also die Zahl, die dreimal mit sich selbst multipliziert $216$ ergibt.

Correct: $r = \sqrt[3]{216} = 6$, weil $6 \times 6 \times 6 = 216$. Lerne die Kubikzahlen $1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000$.

Sportbälle

Ballhersteller benutzen die Kugelformel, um zu wissen, wie viel Luft ein Ball fasst und wie viel Material er im Inneren braucht.

Ein Tennisball hat einen Durchmesser von etwa $6{,}6$ cm, also $r = 3{,}3$ cm. Sein Volumen ist etwa $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 3{,}3^3 \approx 150$ cm³.

Planeten und Weltraum

Planeten sind fast perfekte Kugeln. Weil der Radius hoch 3 genommen wird, hat ein Planet mit größerem Radius ein viel, viel größeres Volumen.

Der Erdradius beträgt etwa $6371$ km, also ist das Volumen der Erde etwa $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 6371^3 \approx 1{,}08 \times 10^{12}$ km³ (über eine Billion Kubikkilometer).

Eiskugeln und Seifenblasen

Ein Eisportionierer formt gleich große Kugeln, und eine Seifenblase ist eine dünne Haut um eine Kugel aus Luft. Beides sind Kugelvolumen.

Eine Seifenblase mit dem Radius $5$ cm enthält etwa $\frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 125 \approx 523{,}33$ cm³ Luft, ungefähr einen halben Liter.

Q: Woher kommt das $\frac{4}{3}$?

A: Aus der Entdeckung des Archimedes. Der Zylinder, der genau um eine Kugel passt, hat den Radius $r$ und die Höhe $2r$, also das Volumen $\pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3$. Die Kugel füllt $\frac{2}{3}$ davon: $\frac{2}{3} \times 2\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Q: Soll ich das Ergebnis mit $\pi$ stehen lassen oder mit $3{,}14$ rechnen?

A: Mach das, was die Aufgabe verlangt. Ein Ergebnis wie $36\pi$ cm³ ist exakt. Mit $3{,}14$ bekommst du eine Näherung als Dezimalzahl ($113{,}04$ cm³). Mit der $\pi$-Taste des Taschenrechners ist das Ergebnis etwas anders ($113{,}10$ cm³), also gib immer an, welchen Wert für $\pi$ du benutzt und wie du gerundet hast.

Q: Wie finde ich den Radius, wenn ich das Volumen kenne?

A: Mache die Formel Schritt für Schritt rückgängig: Teile das Volumen durch $\pi$, multipliziere mit $\frac{3}{4}$, um $r^3$ zu erhalten, und ziehe dann die Kubikwurzel. Für $V = 288\pi$: $288 \times \frac{3}{4} = 216$ und $\sqrt[3]{216} = 6$, also $r = 6$.

Q: Wenn ich den Radius verdopple, verdoppelt sich dann das Volumen?

A: Nein, es wird $8$-mal so groß, weil $2^3 = 8$. Verdreifachst du den Radius, wird das Volumen $27$-mal so groß ($3^3 = 27$). Deshalb fasst ein Wasserball so viel mehr Luft als ein Tennisball.