Teilbarkeit durch 3 und 9

Um zu prüfen, ob eine Zahl **durch 3 teilbar** oder **durch 9 teilbar** ist, hilft die letzte Ziffer nicht. Stattdessen addierst du alle ihre Ziffern. Dieses Ergebnis heißt **Quersumme**. ## Die Regel für 3 Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist. $$516: \quad 5 + 1 + 6 = 12, \quad 12 \div 3 = 4 \quad \checkmark \quad (516 \div 3 = 172)$$ ## Die Regel für 9 Eine Zahl ist durch $9$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $9$ teilbar ist. $$4527: \quad 4 + 5 + 2 + 7 = 18, \quad 18 \div 9 = 2 \quad \checkmark \quad (4527 \div 9 = 503)$$ ## Große Zahlen: noch einmal addieren Wenn die Quersumme noch groß ist, bildest du von ihr wieder die Quersumme, bis nur eine Ziffer übrig bleibt: $$987.654 \rightarrow 39 \rightarrow 12 \rightarrow 3$$ Die letzte Ziffer verrät alles: $3$, $6$ oder $9$ heißt teilbar durch $3$, und nur $9$ heißt teilbar durch $9$. ## 9 ist strenger als 3 Jede Zahl, die durch $9$ teilbar ist, ist auch durch $3$ teilbar (denn $9 = 3 \times 3$). Umgekehrt stimmt das nicht: $516$ ist durch $3$ teilbar, aber seine Quersumme $12$ ist nicht durch $9$ teilbar, also ist $516$ nicht durch $9$ teilbar.

3 und 9 mit der Quersumme prüfen

Ist $516$ durch $3$ teilbar? Ist die Zahl durch $9$ teilbar?

Addiere alle Ziffern: $5 + 1 + 6 = 12$ = Quersumme: $12$

Prüfe die Quersumme auf 3: $12 \div 3 = 4$, kein Rest = $516$ ist durch $3$ teilbar: $516 \div 3 = 172$

Prüfe die Quersumme auf 9: $12 \div 9 = 1$ Rest $3$ = $516$ ist nicht durch $9$ teilbar

Answer: $516$ ist durch $3$ teilbar ($516 \div 3 = 172$), aber nicht durch $9$, weil die Quersumme $12$ ein Vielfaches von $3$, aber nicht von $9$ ist.

Eine große Zahl: wiederholte Quersumme

Ist $987.654$ durch $3$ teilbar? Ist die Zahl durch $9$ teilbar?

Addiere alle sechs Ziffern: $9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 = 39$ = Erste Quersumme: $39$

Die Summe ist noch groß, also bilde ihre Quersumme: $3 + 9 = 12$ = Zweite Quersumme: $12$

Noch einmal, bis eine Ziffer bleibt: $1 + 2 = 3$ = Letzte Ziffer: $3$

Lies das Ergebnis ab: $3$ ist durch $3$ teilbar, aber nicht $9$ = Teilbar durch $3$, nicht durch $9$

Answer: $987.654$ ist durch $3$ teilbar ($987.654 \div 3 = 329.218$), aber nicht durch $9$.

Warum die Regel stimmt

Zeige, warum $4527$ genau dann durch $9$ teilbar ist, wenn $4 + 5 + 2 + 7$ es ist.

Schreibe die Zahl mit Stellenwerten: $4527 = 4 \times 1000 + 5 \times 100 + 2 \times 10 + 7$ = Tausender, Hunderter, Zehner, Einer

Zerlege jeden Stellenwert in Neunen plus 1: $1000 = 999 + 1, \; 100 = 99 + 1, \; 10 = 9 + 1$ = $4527 = 4 \times 999 + 5 \times 99 + 2 \times 9 + (4 + 5 + 2 + 7)$

Schau dir den ersten Teil an: $4 \times 999 + 5 \times 99 + 2 \times 9 = 3996 + 495 + 18 = 4509$ = $4509 = 9 \times 501$, immer ein Vielfaches von $9$

Nur die Quersumme muss noch geprüft werden: $4527 = 4509 + 18$ und $18 = 9 \times 2$ = $4527 = 9 \times 503$

Answer: Die Teile mit $999$, $99$ und $9$ sind immer Vielfache von $9$ (und von $3$), also entscheidet nur die Quersumme. Weil $18$ durch $9$ teilbar ist, ist es auch $4527$.

Eine fehlende Ziffer finden

Welche Ziffern passen in das Kästchen, damit $52\square4$ durch $3$ teilbar ist? Welche macht die Zahl durch $9$ teilbar?

Addiere die bekannten Ziffern: $5 + 2 + 4 = 11$ = Bekannte Summe: $11$

Welche Vielfachen von 3 erreichst du mit einer Ziffer (0 bis 9)?: $11 + \square$ kann $12$, $15$ oder $18$ sein = $\square = 1$, $4$ oder $7$

Suche jetzt ein Vielfaches von 9: Zwischen $11$ und $20$ ist $18$ das einzige Vielfache von $9$ = $\square = 7$

Prüfe mit einer Division: $5274 \div 9 = 586$ = Kein Rest

Answer: Für $3$ kann im Kästchen $1$, $4$ oder $7$ stehen ($5214$, $5244$, $5274$). Nur $7$ macht die Zahl auch durch $9$ teilbar: $5274 = 9 \times 586$.

Neunerprobe: eine Summe prüfen

Mia hat $2345 + 1678$ gerechnet und $4023$ erhalten. Prüfe ihr Ergebnis mit Quersummen.

Bringe die erste Zahl auf eine Ziffer: $2 + 3 + 4 + 5 = 14 \rightarrow 1 + 4 = 5$ = $2345$ lässt bei Division durch $9$ den Rest $5$

Bringe die zweite Zahl auf eine Ziffer: $1 + 6 + 7 + 8 = 22 \rightarrow 2 + 2 = 4$ = $1678$ lässt den Rest $4$

Addiere die beiden Reste: $5 + 4 = 9$, und $9$ zählt als Rest $0$ = Die Summe sollte den Rest $0$ lassen

Bringe Mias Ergebnis auf eine Ziffer: $4 + 0 + 2 + 3 = 9$, Rest $0$ = Beide Seiten stimmen überein

Answer: Beide Proben ergeben den Rest $0$, also besteht das Ergebnis $4023$ den Test. Hätte sie $4013$ geschrieben, käme $8$ heraus und man sähe sofort, dass etwas falsch ist.

Die Quersummenregel ist eine der nützlichsten Abkürzungen beim Rechnen: - **Gerecht teilen**: Kann man 378 Sticker auf 9 Freunde verteilen? $3 + 7 + 8 = 18$, also ja, ohne vorher zu dividieren. - **Brüche kürzen**: Bei $\frac{51}{87}$ sind beide Quersummen ($6$ und $15$) durch $3$ teilbar, also kannst du mit $3$ kürzen: $\frac{17}{29}$. - **Ergebnisse prüfen**: Die Quersumme behält den Rest bei der Division durch $9$, deshalb kannst du eine lange Addition in wenigen Sekunden kontrollieren (das heißt **Neunerprobe**). - **Zahlenrätsel**: Rätsel mit fehlenden Ziffern und Codes verstecken oft eine Zahl, die durch $3$ oder $9$ teilbar ist. Nach den Regeln für 2, 5 und 10 (die nur auf die letzte Ziffer schauen) ist das die erste Regel, die jede Ziffer braucht, und sie bereitet dich auf die Regeln für 6 und 12 vor.

Mistake: Auf die letzte Ziffer schauen, wie bei 2, 5 und 10

Why: Die letzte Ziffer sagt nichts über 3 oder 9. $23$ endet auf $3$, ist aber nicht durch $3$ teilbar, während $27$ auf $7$ endet und durch $3$ und $9$ teilbar ist.

Correct: Addiere immer alle Ziffern: $2 + 7 = 9$, also ist $27$ durch $3$ und durch $9$ teilbar.

Mistake: Glauben, jede durch 3 teilbare Zahl sei auch durch 9 teilbar

Why: Die Regel für $9$ ist strenger. Eine Quersumme von $12$ oder $15$ ist ein Vielfaches von $3$, aber nicht von $9$.

Correct: $516$ (Quersumme $12$) ist durch $3$ teilbar, aber nicht durch $9$. Andersherum klappt es immer: Jedes Vielfache von $9$ ist ein Vielfaches von $3$.

Mistake: Beim Ziffernrätsel nach der ersten passenden Ziffer aufhören

Why: Für $3$ passen meistens drei oder vier Ziffern, weil die Vielfachen von $3$ nur $3$ auseinanderliegen.

Correct: Bei $52\square4$ und $3$ prüfst du $12$, $15$ und $18$: Im Kästchen kann $1$, $4$ oder $7$ stehen.

Mistake: Glauben, eine bestandene Neunerprobe beweise, dass das Ergebnis stimmt

Why: Die Neunerprobe findet nur manche Fehler. Vertauschte Ziffern ändern die Quersumme nicht, also besteht $4032$ dieselbe Probe wie $4023$.

Correct: Stimmt die Probe nicht, ist das Ergebnis sicher falsch. Stimmt sie, ist das Ergebnis wahrscheinlich richtig, aber nicht sicher.

Gleich große Mannschaften

Trainer und Lehrkräfte müssen oft eine Gruppe in gleich große Mannschaften aufteilen. Die Quersumme zeigt sofort, ob es aufgeht.

Können $135$ Läufer in $9$ gleich großen Gruppen starten? $1 + 3 + 5 = 9$, also ja: $135 \div 9 = 15$ Läufer pro Gruppe.

Eine Rechnung prüfen

Vor den Taschenrechnern prüften Kaufleute und Buchhalter lange Additionen mit Quersummen. Auch heute findest du so schnell einen Flüchtigkeitsfehler in deiner eigenen Rechnung.

$1236 + 2458 = 3694$: Die Reste sind $3$ und $1$, zusammen $4$, und $3694$ ergibt ebenfalls $3 + 6 + 9 + 4 = 22 \rightarrow 4$. Die Probe stimmt.

Einen Code knacken

Rätselhefte und Escape Rooms lieben Codes mit einer fehlenden Ziffer. Ein Hinweis zur Teilbarkeit liefert die Lösung oft in einem Schritt.

Ein Code $7\square2$ ist durch $9$ teilbar: $7 + 2 = 9$, also muss im Kästchen $0$ oder $9$ stehen ($702$ oder $792$).

Die **Quersumme** ist die Summe aller Ziffern einer Zahl: Für $4527$ ist sie $4 + 5 + 2 + 7 = 18$

Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist, und durch $9$, wenn ihre Quersumme durch $9$ teilbar ist

Bei großen Zahlen bildest du immer wieder die Quersumme, bis eine Ziffer übrig bleibt: $3$, $6$, $9$ heißt teilbar durch $3$, nur $9$ heißt teilbar durch $9$

Jedes Vielfache von $9$ ist ein Vielfaches von $3$, aber nicht jedes Vielfache von $3$ ist ein Vielfaches von $9$

Es funktioniert, weil $10 = 9 + 1$, $100 = 99 + 1$, $1000 = 999 + 1$: Die Neunen fallen weg und nur die Quersumme bleibt

Eine Zahl und ihre Quersumme lassen bei Division durch $3$ oder $9$ denselben Rest, damit findest du fehlende Ziffern und prüfst Summen (Neunerprobe)

Q: Spielt die Reihenfolge der Ziffern eine Rolle?

A: Nein. $4527$, $7254$ und $2745$ haben alle die Quersumme $18$, also sind alle drei durch $9$ teilbar. Ziffern zu vertauschen ändert die Quersumme nie.

Q: Was ist mit der Ziffer 0?

A: Eine $0$ ändert die Quersumme nicht, du kannst sie also überspringen. $3051$ und $351$ haben dieselbe Quersumme $9$ und sind beide durch $9$ teilbar.

Q: Warum klappt der Trick nicht bei 7?

A: Er klappt bei $3$ und $9$, weil $10$ genau $1$ mehr als ein Vielfaches von $9$ ist. Bei $7$ stimmt das nicht ($10 = 7 + 3$), also fallen die Stellenwerte nicht weg. Für die $7$ braucht man einen anderen Test.

Q: Wie bekomme ich den Rest aus der Quersumme?

A: Bilde so lange die Quersumme, bis eine Ziffer bleibt. Für $9$ ist diese Ziffer der Rest, nur $9$ bedeutet Rest $0$. Zum Beispiel $7654 \rightarrow 22 \rightarrow 4$, und tatsächlich ist $7654 = 9 \times 850 + 4$.

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Teilbarkeit durch 3 und 9

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Zahlentheorie / Teilbarkeit

Teilbarkeit durch 3 und 9

Lerne die Quersummenregel: Addiere die Ziffern einer Zahl und sieh sofort, ob sie durch 3 oder durch 9 teilbar ist, finde fehlende Ziffern und prüfe Summen.

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