Teilbarkeit durch 4 mit den letzten zwei Ziffern

Ist $7316$ durch $4$ teilbar?

Trenne die letzten zwei Ziffern ab: $7316 = 73 \times 100 + 16$ = Letzte zwei Ziffern: $16$

Überlege, warum die Hunderter egal sind: $100 = 4 \times 25$, also ist $7300$ ein Vielfaches von $4$ = Nur $16$ entscheidet

Prüfe die letzten zwei Ziffern: $16 = 4 \times 4$ = $16$ ist durch $4$ teilbar

Schließe und prüfe nach: $7316 \div 4 = 1829$ = Teilbar, Rest $0$

Answer: Ja. Die letzten zwei Ziffern bilden 16, und 16 ist durch 4 teilbar, also ist 7316 durch 4 teilbar (7316 : 4 = 1829).

Der Schnelltest mit der Zehnerziffer

Welche der Zahlen $3572$, $6134$ und $9048$ sind durch $4$ teilbar?

Prüfe $3572$: Zehnerziffer $7$ ist ungerade: Ungerade Zehnerziffer: Die letzte Ziffer muss $2$ oder $6$ sein. Sie ist $2$ = $72 = 4 \times 18$, teilbar

Prüfe $6134$: Zehnerziffer $3$ ist ungerade: Ungerade Zehnerziffer: Die letzte Ziffer muss $2$ oder $6$ sein. Sie ist $4$ = $34 = 4 \times 8 + 2$, nicht teilbar

Prüfe $9048$: Zehnerziffer $4$ ist gerade: Gerade Zehnerziffer: Die letzte Ziffer muss $0$, $4$ oder $8$ sein. Sie ist $8$ = $48 = 4 \times 12$, teilbar

Answer: 3572 und 9048 sind durch 4 teilbar. 6134 nicht: Es bleibt der Rest 2.

Teilbarkeit durch 8 mit den letzten drei Ziffern

Ist $45.136$ durch $8$ teilbar?

Trenne die letzten drei Ziffern ab: $45.136 = 45 \times 1000 + 136$, und $1000 = 8 \times 125$ = Nur $136$ entscheidet

Teile $136$ durch $8$, indem du dreimal halbierst: $136 \to 68 \to 34 \to 17$ = Dreimal glatt halbiert: $136 = 8 \times 17$

Schließe und prüfe nach: $45.136 \div 8 = 5642$ = Teilbar, Rest $0$

Answer: Ja. Die letzten drei Ziffern bilden 136 = 8 · 17, also ist 45.136 durch 8 teilbar (45.136 : 8 = 5642).

Teilbarkeit durch 6: zwei Tests, beide müssen klappen

Welche der Zahlen $5742$ und $3754$ ist durch $6$ teilbar?

Prüfe $5742$ auf $2$: Die letzte Ziffer $2$ ist gerade = Durch $2$ teilbar

Prüfe $5742$ auf $3$: $5 + 7 + 4 + 2 = 18$, und $18 = 3 \times 6$ = Durch $3$ teilbar, also durch $6$: $5742 \div 6 = 957$

Prüfe $3754$ auf $2$: Die letzte Ziffer $4$ ist gerade = Durch $2$ teilbar

Prüfe $3754$ auf $3$: $3 + 7 + 5 + 4 = 19$, und $19 = 3 \times 6 + 1$ = Nicht durch $3$ teilbar, also nicht durch $6$

Answer: 5742 ist durch 6 teilbar. 3754 ist gerade, besteht aber den Test für 3 nicht, also ist es nicht durch 6 teilbar.

Schaltjahre

Ein Jahr ist ein Schaltjahr, wenn es durch $4$ teilbar ist, außer volle Jahrhunderte (Endung $00$), die durch $400$ teilbar sein müssen. Welche der Jahre $2024$, $1900$, $2000$ und $2100$ sind Schaltjahre?

Prüfe $2024$: Kein volles Jahrhundert. Letzte zwei Ziffern $24 = 4 \times 6$ = Schaltjahr

Prüfe $1900$: Volles Jahrhundert: $1900 \div 400 = 4{,}75$ = Kein Schaltjahr

Prüfe $2000$: Volles Jahrhundert: $2000 \div 400 = 5$ = Schaltjahr

Prüfe $2100$: Volles Jahrhundert: $2100 \div 400 = 5{,}25$ = Kein Schaltjahr

Answer: 2024 und 2000 sind Schaltjahre. 1900 und 2100 sind zwar durch 4 teilbar, aber volle Jahrhunderte, die nicht durch 400 teilbar sind, also keine Schaltjahre.

Mistake: Für $4$ nur die letzte Ziffer prüfen: "$2134$ endet auf $4$, also ist es durch $4$ teilbar"

Why: Die Regel für $4$ liest die letzten **zwei** Ziffern, weil $10$ kein Vielfaches von $4$ ist. Hier ist $34 = 4 \times 8 + 2$.

Correct: Prüfe die letzten zwei Ziffern: $34$ lässt den Rest $2$, also ist $2134$ nicht durch $4$ teilbar.

Mistake: Für $8$ nur die letzten zwei Ziffern prüfen: "$3124$ endet auf $24 = 8 \times 3$, also ist es durch $8$ teilbar"

Why: $100$ ist kein Vielfaches von $8$ ($100 = 8 \times 12 + 4$), also zählt die Hunderterziffer noch mit. Die Regel für $8$ braucht die letzten **drei** Ziffern.

Correct: Prüfe $124$: $124 = 8 \times 15 + 4$. Also ist $3124$ nicht durch $8$ teilbar (Rest $4$).

Mistake: Glauben, dass teilbar durch $2$ und durch $4$ auch teilbar durch $8$ bedeutet

Why: $12$ ist durch $2$ und durch $4$ teilbar, aber $12 \div 8 = 1{,}5$. Regeln kombinieren klappt nur, wenn die beiden Zahlen teilerfremd sind, wie $2$ und $3$ bei $6$. $2$ und $4$ haben den gemeinsamen Teiler $2$.

Correct: Für $8$ benutzt du die eigene Regel (letzte drei Ziffern). Für $6$ darfst du $2$ und $3$ kombinieren.

Mistake: Für $6$ nur einen Teil der Regel prüfen: "$27$ ist durch $3$ teilbar, also durch $6$"

Why: Für $6$ braucht man **beide** Tests. $27$ ist ungerade und fällt beim Test für $2$ durch. Genauso ist $26$ gerade, aber seine Quersumme $8$ fällt beim Test für $3$ durch.

Correct: Eine Zahl ist nur dann durch $6$ teilbar, wenn sie gerade ist **und** ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist, zum Beispiel $5742$.

Schaltjahre in einem Jahrhundert

Der Kalender fügt in jedem durch 4 teilbaren Jahr einen Tag (29. Februar) ein, lässt aber volle Jahrhunderte aus, die nicht durch 400 teilbar sind.

$2024$ ist ein Schaltjahr ($24 = 4 \times 6$), $2000$ war eines ($2000 = 400 \times 5$), aber $1900$ nicht ($1900 \div 400 = 4{,}75$).

Verpacken im Sechserpack

Bäckereien, Eierhöfe und Getränkehersteller packen in Sechsern. Die Regeln für 2 und 3 verraten schon vor dem Zählen, ob nichts übrig bleibt.

$4320$ Eier passen genau in Schachteln zu $6$: $4320$ ist gerade und $4 + 3 + 2 + 0 = 9$ ist durch $3$ teilbar, also $4320 \div 6 = 720$ Schachteln.

Kisten zu acht

Flaschen und Dosen werden oft in Kisten zu 8 transportiert. Bei einer großen Bestellung entscheiden nur die letzten drei Ziffern, ob die Kisten genau aufgehen.

$1560$ Bleistifte passen in Schachteln zu $8$: Die letzten drei Ziffern $560 = 8 \times 70$, also $1560 \div 8 = 195$ Schachteln.

Q: Warum entscheiden die letzten zwei Ziffern über die Teilbarkeit durch 4?

A: Jede ganze Zahl besteht aus einer Anzahl Hunderter plus ihren letzten zwei Ziffern: $7316 = 73 \times 100 + 16$. Da $100 = 4 \times 25$, ist jede ganze Anzahl von Hundertern durch $4$ teilbar. Der Rest der ganzen Zahl bei Division durch $4$ ist deshalb derselbe wie der Rest der letzten zwei Ziffern. Dieselbe Idee mit $1000 = 8 \times 125$ ergibt die Regel für $8$.

Q: Wenn eine Zahl durch 4 teilbar ist, ist sie dann auch durch 8 teilbar?

A: Nicht immer. $12$, $20$ und $28$ sind durch $4$ teilbar, aber nicht durch $8$. Die Kette gilt nur nach unten: Jedes Vielfache von $8$ ist ein Vielfaches von $4$ (weil $8 = 4 \times 2$), und jedes Vielfache von $4$ ist gerade.

Q: Kann ich andere Regeln so bauen wie 6 = 2 und 3?

A: Ja, aber nur mit teilerfremden Zahlen (kein gemeinsamer Teiler außer $1$). $6 = 2 \times 3$ funktioniert, weil $2$ und $3$ teilerfremd sind. $8 = 2 \times 4$ funktioniert nicht, weil $2$ und $4$ den Teiler $2$ gemeinsam haben: $12$ besteht beide Tests und ist trotzdem nicht durch $8$ teilbar. Die Lektion Kombinierte Teilbarkeitsregeln zeigt das für $12$, $15$, $18$ und $36$.

Q: Warum müssen volle Jahrhunderte durch 400 teilbar sein, um Schaltjahre zu sein?

A: Ein Jahr dauert etwa $365{,}2422$ Tage. Ein Schalttag alle $4$ Jahre ergibt im Mittel $365{,}25$ Tage, etwas zu lang. Lässt man alle $400$ Jahre $3$ Schalttage aus ($1700$, $1800$, $1900$, aber nicht $2000$), bleiben $97$ Schaltjahre in $400$ Jahren: $365 + \frac{97}{400} = 365{,}2425$ Tage, sehr nah am echten Wert.