ggT durch Auflisten der Teiler finden

Finde den ggT von $24$ und $36$.

Liste alle Teiler von 24 auf: $24 = 1 \times 24 = 2 \times 12 = 3 \times 8 = 4 \times 6$ = Teiler: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$

Liste alle Teiler von 36 auf: $36 = 1 \times 36 = 2 \times 18 = 3 \times 12 = 4 \times 9 = 6 \times 6$ = Teiler: $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$

Markiere die gemeinsamen Teiler: Beide Listen enthalten: $1, 2, 3, 4, 6, 12$ = Gemeinsame Teiler gefunden

Finde den größten: Die größte Zahl in beiden Listen ist $12$ = $\text{ggT}(24, 36) = 12$

Answer: Der ggT von 24 und 36 ist $12$.

ggT mit Primfaktorzerlegung finden

Finde den ggT von $48$ und $60$ mit Primfaktorzerlegung.

Finde die Primfaktorzerlegung von 48: $48 = 2 \times 24 = 2 \times 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$ = $48 = 2^4 \times 3$

Finde die Primfaktorzerlegung von 60: $60 = 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 15 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$ = $60 = 2^2 \times 3 \times 5$

Identifiziere gemeinsame Primfaktoren: Beide haben: $2$ (in beiden) und $3$ (in beiden) = Gemeinsame Primzahlen: $2$ und $3$

Nimm die niedrigste Potenz jedes gemeinsamen Primfaktors: $2$: niedrigste Potenz ist $2^2$; $3$: niedrigste Potenz ist $3^1$ = Verwende $2^2$ und $3^1$

Multipliziere die gemeinsamen Faktoren: $2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$ = $\text{ggT}(48, 60) = 12$

Answer: Der ggT von 48 und 60 ist $12$.

ggT von drei Zahlen finden

Finde den ggT von $18$, $24$ und $30$.

Primfaktorzerlegung von 18: $18 = 2 \times 9 = 2 \times 3 \times 3$ = $18 = 2 \times 3^2$

Primfaktorzerlegung von 24: $24 = 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 2 \times 3$ = $24 = 2^3 \times 3$

Primfaktorzerlegung von 30: $30 = 2 \times 15 = 2 \times 3 \times 5$ = $30 = 2 \times 3 \times 5$

Finde Primzahlen, die in ALLEN drei vorkommen: $2$ kommt in allen vor (niedrigste: $2^1$); $3$ kommt in allen vor (niedrigste: $3^1$) = Gemeinsam: $2^1$ und $3^1$

Multipliziere die gemeinsamen Faktoren: $2 \times 3 = 6$ = $\text{ggT}(18, 24, 30) = 6$

Answer: Der ggT von 18, 24 und 30 ist $6$.

Brüche mit dem ggT kürzen

Kürze $\frac{36}{48}$ mit dem ggT.

Finde den ggT von Zähler und Nenner: Teiler von 36: $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$; Teiler von 48: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48$ = $\text{ggT}(36, 48) = 12$

Teile beide durch den ggT: $\frac{36 \div 12}{48 \div 12} = \frac{3}{4}$ = Gekürzter Bruch

Überprüfe, ob vollständig gekürzt: $\text{ggT}(3, 4) = 1$, also ist er vollständig gekürzt = $\frac{3}{4}$ ist gekürzt

Answer: $\frac{36}{48} = \frac{3}{4}$

Mistake: Verwechslung von ggT und kgV

Why: Der ggT handelt vom Teilen (was IN beide Zahlen passt), während das kgV vom Multiplizieren handelt (worin beide Zahlen passen).

Correct: ggT von 12 und 18 ist 6 (teilt beide). kgV von 12 und 18 ist 36 (beide teilen es).

Mistake: Vergessen, die NIEDRIGSTE Potenz zu nehmen bei Primfaktorzerlegung

Why: Schüler multiplizieren manchmal alle Primfaktoren statt nur die gemeinsamen mit den niedrigsten Potenzen.

Correct: Für $2^4 \times 3$ und $2^2 \times 3 \times 5$, nimm $2^2$ (nicht $2^4$) und $3^1$. ggT = $2^2 \times 3 = 12$.

Mistake: Aufhören, bevor man den GRÖSSTEN gemeinsamen Teiler gefunden hat

Why: Einen beliebigen gemeinsamen Teiler zu finden bedeutet nicht, dass er der größte ist.

Correct: Für 24 und 36 sind die gemeinsamen Teiler 1, 2, 3, 4, 6, 12. Der ggT ist 12, nicht irgendein anderer wie 2 oder 6.

Brüche kürzen

Um Brüche vollständig zu kürzen, muss man den ggT von Zähler und Nenner finden.

Um $\frac{42}{56}$ zu kürzen: ggT(42, 56) = 14, also $\frac{42}{56} = \frac{42 \div 14}{56 \div 14} = \frac{3}{4}$

Materialien ohne Verschnitt schneiden

Beim Schneiden von Brettern oder Stoff hilft der ggT, die größtmöglichen gleichen Stücke zu finden.

Du hast ein 72 cm Brett und ein 90 cm Brett. Um sie in gleiche Stücke ohne Verschnitt zu schneiden, verwende Stücke von ggT(72, 90) = 18 cm.

Gegenstände in Gruppen ordnen

Der ggT hilft beim Verteilen verschiedener Dinge in gleiche Gruppen.

Mit 28 Äpfeln und 42 Orangen kannst du ggT(28, 42) = 14 identische Geschenkkörbe machen, jeder mit 2 Äpfeln und 3 Orangen.

Q: Was, wenn der ggT zweier Zahlen 1 ist?

A: Wenn ggT = 1, nennt man die Zahlen **teilerfremd** oder **koprim**. Sie haben keine gemeinsamen Teiler außer 1. Beispiele: ggT(8, 15) = 1, ggT(7, 12) = 1.

Q: Kann der ggT größer als eine der Zahlen sein?

A: Nein, der ggT ist immer kleiner oder gleich der kleineren Zahl. Der ggT muss beide Zahlen teilen, also kann er keine von beiden überschreiten.

Q: Wie unterscheidet sich der ggT vom kgV?

A: Der ggT ist die größte Zahl, die IN beide Zahlen passt. Das kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches) ist die kleinste Zahl, in die beide Zahlen passen. Für 12 und 18: ggT = 6, kgV = 36.