Wie sich (1 + 1/n)^n der Zahl e nähert

Berechne $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ für $n = 1$, $n = 2$ und $n = 12$. Was fällt dir auf?

Setze $n = 1$: $\left(1 + \frac{1}{1}\right)^1 = 2^1 = 2$ = $2$

Setze $n = 2$: $\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25$ = $2{,}25$

Setze $n = 12$ (mit dem Taschenrechner): $\left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 1{,}083333^{12} \approx 2{,}61304$ = $\approx 2{,}61304$

Vergleiche mit größeren $n$: $n = 365$ ergibt $\approx 2{,}71457$, $n = 1\,000\,000$ ergibt $\approx 2{,}71828$ = Die Werte wachsen immer langsamer

Answer: Die Ergebnisse $2$, $2{,}25$, $2{,}61304$, ... werden immer größer, pendeln sich aber bei $e \approx 2{,}71828$ ein und überschreiten diesen Wert nie.

Immer häufiger verzinsen

Du legst 1000 € auf ein gedachtes Konto, das 100 % Zinsen pro Jahr zahlt. Wie viel hast du nach einem Jahr, wenn die Zinsen jährlich, monatlich oder täglich gutgeschrieben werden?

Verwende die Zinseszinsformel: $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n}$ mit $P = 1000$, $r = 1$ (100 %), $t = 1$ Jahr = $A = 1000\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}$

Jährlich: $n = 1$: $1000 \cdot 2^1 = 2000$ = 2000 €

Monatlich: $n = 12$: $1000 \cdot \left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 1000 \cdot 2{,}61304$ = etwa 2613,04 €

Täglich: $n = 365$: $1000 \cdot \left(1 + \frac{1}{365}\right)^{365} \approx 1000 \cdot 2{,}71457$ = etwa 2714,57 €

Bestimme die Grenze: Zinsen in jedem Augenblick gutzuschreiben ergibt $1000 \cdot e \approx 1000 \cdot 2{,}71828$ = etwa 2718,28 €

Answer: Jährlich: 2000 €, monatlich: etwa 2613,04 €, täglich: etwa 2714,57 €. Egal wie oft die Zinsen gutgeschrieben werden, der Betrag überschreitet nie etwa 2718,28 €, also $1000 \cdot e$.

Die natürliche Exponentialfunktion auswerten

Sei $f(x) = e^x$. Bestimme mit $e \approx 2{,}71828$ und $e^2 \approx 7{,}389$ die Werte $f(0)$, $f(1)$, $f(-1)$ und $f(2)$. Runde auf drei Nachkommastellen.

Bestimme $f(0)$: Jede Zahl ungleich null hoch $0$ ergibt $1$: $e^0 = 1$ = $f(0) = 1$

Bestimme $f(1)$: $e^1 = e \approx 2{,}71828$ = $f(1) \approx 2{,}718$

Bestimme $f(-1)$: $e^{-1} = \frac{1}{e} \approx \frac{1}{2{,}71828} \approx 0{,}36788$ = $f(-1) \approx 0{,}368$

Bestimme $f(2)$: $e^2 = e \cdot e \approx 2{,}71828 \cdot 2{,}71828 \approx 7{,}389$ = $f(2) \approx 7{,}389$

Answer: $f(0) = 1$, $f(1) \approx 2{,}718$, $f(-1) \approx 0{,}368$, $f(2) \approx 7{,}389$. Jeder Schritt um $1$ nach rechts multipliziert den Wert mit $e$.

Wo liegt y = e^x?

Vergleiche $2^x$, $e^x$ und $3^x$ bei $x = 2$ und bei $x = -1$. Verwende $e^2 \approx 7{,}389$ und $e^{-1} \approx 0{,}368$.

Werte bei $x = 2$ aus: $2^2 = 4$, $e^2 \approx 7{,}389$, $3^2 = 9$ = $4 < 7{,}389 < 9$

Werte bei $x = -1$ aus: $2^{-1} = 0{,}5$, $e^{-1} \approx 0{,}368$, $3^{-1} \approx 0{,}333$ = $0{,}333 < 0{,}368 < 0{,}5$

Werte bei $x = 0$ aus: $2^0 = e^0 = 3^0 = 1$ = Alle drei treffen sich in $(0, 1)$

Beschreibe den Graphen: Weil $2 < e < 3$ gilt, liegt der Wert von $e^x$ immer zwischen den anderen beiden = Der Graph von $e^x$ liegt zwischen $2^x$ und $3^x$

Answer: Für $x > 0$ liegt $e^x$ über $2^x$ und unter $3^x$; für $x < 0$ kehrt sich die Reihenfolge um, aber $e^x$ bleibt in der Mitte. Alle drei Graphen schneiden die y-Achse bei $1$ und haben die x-Achse als waagerechte Asymptote.

Ein erster Blick auf die stetige Verzinsung

1000 € werden ein Jahr lang zu 12 % pro Jahr angelegt. Vergleiche jährliche, monatliche, tägliche und stetige Verzinsung. Verwende für die stetige Verzinsung $A = Pe^{rt}$ und $e^{0{,}12} \approx 1{,}1275$.

Jährlich: $1000 \cdot 1{,}12 = 1120$ = 1120,00 €

Monatlich: $1000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}12}{12}\right)^{12} = 1000 \cdot 1{,}01^{12} \approx 1126{,}83$ = 1126,83 €

Täglich: $1000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}12}{365}\right)^{365} \approx 1127{,}47$ = 1127,47 €

Stetig: $A = Pe^{rt} = 1000 \cdot e^{0{,}12 \cdot 1} \approx 1000 \cdot 1{,}1275$ = 1127,50 €

Answer: Die Beträge sind 1120,00 €, 1126,83 €, 1127,47 € und 1127,50 €. Häufigeres Verzinsen hilft, aber der Gewinn wird winzig, und die Obergrenze ist $Pe^{rt}$. Die Lektion Stetiges Wachstum und stetige Abnahme behandelt diese Formel ausführlich.

Mistake: Glauben, dass $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ unbegrenzt wächst oder auf $1$ schrumpft

Why: Zwei Effekte wirken gegeneinander: $1 + \frac{1}{n}$ kommt $1$ immer näher, aber der Exponent $n$ wird größer. Keiner der beiden gewinnt vollständig.

Correct: Prüfe es mit einer Tabelle: $2$, $2{,}25$, $2{,}613$, $2{,}7146$, $2{,}71828$. Die Werte steigen, pendeln sich aber bei $e \approx 2{,}71828$ ein.

Mistake: $e$ wie eine Variable behandeln, zum Beispiel wie $x$

Why: Buchstaben stehen in der Algebra meist für Unbekannte, deshalb versuchen Schüler, nach $e$ aufzulösen oder andere Zahlen für $e$ einzusetzen.

Correct: $e$ ist eine feste Konstante, genau wie $\pi$. In $y = e^x$ ist $x$ die Variable; $e \approx 2{,}71828$ ändert sich nie.

Mistake: $e^2$ als $2e \approx 5{,}437$ berechnen

Why: Ein Exponent bedeutet wiederholtes Multiplizieren, nicht Multiplizieren mit dem Exponenten.

Correct: $e^2 = e \cdot e \approx 2{,}71828 \cdot 2{,}71828 \approx 7{,}389$.

Mistake: $e = 2{,}71828$ oder $e = 2{,}72$ schreiben, als wäre der Wert exakt

Why: $e$ ist irrational, deshalb ist keine endliche Dezimalzahl und kein Bruch genau gleich $e$.

Correct: Schreibe $e \approx 2{,}71828$ und runde erst am Ende einer Rechnung, so genau wie die Aufgabe es verlangt.

Banken und Verzinsungshäufigkeit

Banken nennen einen Jahreszinssatz, schreiben die Zinsen aber eventuell jährlich, monatlich oder täglich gut. Je häufiger das passiert, desto näher kommt das Ergebnis der stetigen Grenze, die auf $e$ beruht.

Bei 12 % pro Jahr wachsen 1000 € bei jährlicher Verzinsung auf 1120,00 € und bei stetiger Verzinsung auf etwa 1127,50 € ($1000 \cdot e^{0{,}12}$).

Wachsende Zellkulturen

Zellen in einer Laborkultur teilen sich ständig, nicht einmal am Tag. Deshalb beschreiben Biologen ihr Wachstum mit der Basis $e$: $N = N_0 e^{kt}$.

Eine Kultur mit 200 Zellen, beschrieben durch $N = 200e^{t}$ ($t$ in Stunden), hat nach 1 Stunde $200e^{1} \approx 544$ Zellen.

Wichteln und 1/e

Beim Wichteln zieht jede Person einen Namen aus einem Hut. Die Wahrscheinlichkeit, dass niemand den eigenen Namen zieht, ist fast genau $\frac{1}{e}$, sobald die Gruppe mehr als ein paar Personen hat.

In einer Klasse mit 25 Schülern ist die Wahrscheinlichkeit, dass niemand den eigenen Namen zieht, etwa $0{,}368$. In etwa 63 % der Fälle muss also neu gezogen werden.

Q: Warum heißt e die natürliche Basis?

A: Weil sie in Natur und Finanzwelt von selbst auftaucht, wann immer etwas ständig und nicht in Schritten wächst. In der Analysis ist $e^x$ die einzige Exponentialfunktion, deren Steigung in jedem Punkt gleich ihrem eigenen Wert ist. Deshalb sind Formeln mit der Basis $e$ am einfachsten.

Q: Wer hat e entdeckt?

A: Jakob Bernoulli fand sie um 1683, als er Zinseszinsen untersuchte, genau wie in dieser Lektion. Leonhard Euler gab ihr später den Namen $e$, bewies viele ihrer Eigenschaften und berechnete viele Nachkommastellen. Deshalb heißt sie Eulersche Zahl.

Q: Ist e dasselbe wie die Euler-Mascheroni-Konstante?

A: Nein. Die Eulersche Zahl $e \approx 2{,}71828$ ist die Basis der natürlichen Exponentialfunktion. Die Euler-Mascheroni-Konstante $\gamma \approx 0{,}5772$ ist eine andere Zahl aus der Zahlentheorie. In diesem Thema wird nur $e$ verwendet.

Q: Wie verwende ich e auf dem Taschenrechner?

A: Die meisten wissenschaftlichen Taschenrechner haben eine $e^x$-Taste. Der Rechner in dieser Lektion kennt $e$ auch: Tippe e^0.5 für $e^{0{,}5}$ ein, was etwa $1{,}6487$ ergibt. Ohne $e$-Taste tippst du stattdessen 2.71828 ein, zum Beispiel 2.71828^0.5.