Ein Grenzwert an einer Lücke

Schätze mit einer Wertetabelle $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$.

Prüfe die Stelle selbst: Bei $x = 2$: $\frac{4 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}$ = $f(2)$ ist nicht definiert, also brauchen wir eine Tabelle

Nähere dich von links: $f(1{,}9) = 3{,}9$, $f(1{,}99) = 3{,}99$, $f(1{,}999) = 3{,}999$ = Die linke Seite strebt gegen $4$

Nähere dich von rechts: $f(2{,}1) = 4{,}1$, $f(2{,}01) = 4{,}01$, $f(2{,}001) = 4{,}001$ = Die rechte Seite strebt gegen $4$

Vergleiche beide Seiten: Beide Seiten nähern sich demselben Wert = $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$

Answer: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$, obwohl $f(2)$ nicht existiert

Ein Grenzwert ohne Faktorisieren

Schätze $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ ($x$ im Bogenmaß).

Stelle den Taschenrechner auf Bogenmaß: Grenzwerte mit $\sin x$ verwenden immer das Bogenmaß = Modus: RAD

Nähere dich von rechts: $x = 0{,}1$: $0{,}998334$; $x = 0{,}01$: $0{,}999983$; $x = 0{,}001$: $0{,}9999998$ = Die Werte streben gegen $1$

Nähere dich von links: $\frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{-\sin x}{-x} = \frac{\sin x}{x}$, also ergibt $x = -0{,}1$ wieder $0{,}998334$ = Dieselben Werte, sie streben gegen $1$

Ziehe den Schluss: Beide Seiten nähern sich $1$ = $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Answer: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Wenn die beiden Seiten nicht übereinstimmen

Entscheide mit einer Wertetabelle, ob $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ existiert.

Nähere dich von links: $x = -0{,}1$: $\frac{0{,}1}{-0{,}1} = -1$; $x = -0{,}01$: $-1$; $x = -0{,}001$: $-1$ = Die linke Seite bleibt bei $-1$

Nähere dich von rechts: $x = 0{,}1$: $\frac{0{,}1}{0{,}1} = 1$; $x = 0{,}01$: $1$; $x = 0{,}001$: $1$ = Die rechte Seite bleibt bei $1$

Vergleiche beide Seiten: $-1 \neq 1$ = Die Seiten nähern sich verschiedenen Zahlen

Ziehe den Schluss: Ein beidseitiger Grenzwert braucht einen einzigen Wert = $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ existiert nicht

Answer: Der Grenzwert existiert nicht: Die linke Seite nähert sich $-1$, die rechte Seite nähert sich $1$

Funktionswerte, die unbeschränkt wachsen

Beschreibe mit einer Wertetabelle $\lim_{x \to 3} \frac{1}{(x - 3)^2}$.

Nähere dich von links: $x = 2{,}9$: $\frac{1}{0{,}01} = 100$; $x = 2{,}99$: $10\,000$; $x = 2{,}999$: $1\,000\,000$ = Die Werte schießen nach oben

Nähere dich von rechts: $x = 3{,}1$: $100$; $x = 3{,}01$: $10\,000$; $x = 3{,}001$: $1\,000\,000$ = Derselbe Anstieg nach oben

Suche ein Muster: Jedes Mal, wenn $x$ zehnmal näher an $3$ rückt, wird $f(x)$ hundertmal größer = Es wird keine Zahl angenähert

Beschreibe das Verhalten: Die Funktionswerte wachsen von beiden Seiten unbeschränkt = $\lim_{x \to 3} \frac{1}{(x - 3)^2} = \infty$

Answer: Die Funktion wächst unbeschränkt: $\lim_{x \to 3} \frac{1}{(x - 3)^2} = \infty$, es gibt also keinen endlichen Grenzwert (senkrechte Asymptote $x = 3$)

Wenn dich eine Tabelle täuscht

Eine Schülerin verwendet $x = 0{,}1$, $0{,}01$, $0{,}001$, um $\lim_{x \to 0} \sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ zu schätzen, und erhält jedes Mal $0$. Ist der Grenzwert $0$?

Prüfe ihre Werte: $\sin(10\pi) = 0$, $\sin(100\pi) = 0$, $\sin(1000\pi) = 0$ = Lauter Nullen, das wirkt überzeugend

Probiere andere Werte nahe $0$: $x = 0{,}4$: $\sin(2{,}5\pi) = 1$; $x = \frac{2}{9} \approx 0{,}222$: $\sin(4{,}5\pi) = 1$ = Es tauchen Werte gleich $1$ auf

Probiere noch mehr Werte: $x = \frac{2}{3}$: $\sin(1{,}5\pi) = -1$; $x = \frac{2}{7}$: $\sin(3{,}5\pi) = -1$ = Auch Werte gleich $-1$ tauchen auf

Ziehe den Schluss: Nahe $0$ schwingt die Funktion ständig zwischen $-1$ und $1$ hin und her = Der Grenzwert existiert nicht

Answer: Nein. $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ schwingt nahe $0$ unendlich oft zwischen $-1$ und $1$, daher existiert der Grenzwert nicht. Die gewählten $x$-Werte haben zufällig nur Nullstellen getroffen.

Mistake: Nur eine Seite von $a$ verwenden

Why: Eine Tabelle mit nur $x = 1{,}9$, $1{,}99$, $1{,}999$ zeigt den linksseitigen Grenzwert. Die rechte Seite kann woanders hinstreben, wie bei $\frac{|x|}{x}$.

Correct: Lege immer beide Spalten an: Werte knapp unter $a$ und Werte knapp über $a$.

Mistake: $x$-Werte wählen, die nicht nah an $a$ liegen

Why: Werte wie $x = 1$, $1{,}5$, $2{,}5$, $3$ sind zu weit weg. Weit entfernt vom Punkt kann sich die Funktion ganz anders verhalten.

Correct: Rücke jedes Mal um den Faktor $10$ näher: $a \pm 0{,}1$, $a \pm 0{,}01$, $a \pm 0{,}001$.

Mistake: $x = a$ in die Tabelle schreiben und $f(a)$ als Grenzwert nehmen

Why: Der Grenzwert beschreibt, was in der Nähe von $a$ passiert, nicht bei $a$. An einer Lücke ist $f(a)$ vielleicht nicht definiert, an einem verschobenen Punkt eine andere Zahl.

Correct: Lass $x = a$ aus der Tabelle weg und lies nur den Trend der benachbarten Werte ab.

Mistake: Wenigen Werten blind vertrauen

Why: Besondere $x$-Werte können ein Schwingen verbergen, wie bei $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$, und Rundung kann kleine Unterschiede zwischen den Seiten verdecken.

Correct: Verwende mehrere Werte, die nicht alle demselben Muster folgen, behalte genug Nachkommastellen und bestätige mit einem Graphen oder einer Rechnung.

Momentangeschwindigkeit in der Physik

Ein Tachometer zeigt die Geschwindigkeit in einem Augenblick. Physiker bestimmen sie, indem sie Durchschnittsgeschwindigkeiten über immer kürzere Zeitintervalle berechnen und den Trend in der Tabelle ablesen.

Ein Ball fällt in $t$ Sekunden $s(t) = 5t^2$ Meter. Durchschnittsgeschwindigkeiten ab $t = 2$: über $0{,}1$ s sind es $20{,}5$ m/s, über $0{,}01$ s sind es $20{,}05$ m/s, über $0{,}001$ s sind es $20{,}005$ m/s.

Wachstumsraten in der Biologie

Eine Bakterienkultur, die sich jede Stunde verdoppelt, wächst nicht sprunghaft. Ihre momentane Wachstumsrate ergibt sich aus einer Tabelle des Ausdrucks $\frac{2^h - 1}{h}$ für winzige Zeitschritte $h$.

Für $h = 0{,}1$ Stunden liefert die Tabelle $0{,}7177$, für $h = 0{,}01$ ergibt sich $0{,}6956$, für $h = 0{,}001$ ergibt sich $0{,}6934$: Die Rate pendelt sich bei etwa $0{,}693$ pro Stunde ein.

Signalverarbeitung und Audio

Audiosoftware verwendet Funktionen wie $\frac{\sin(2x)}{x}$, um Klang zu filtern. Bei $x = 0$ liefert die Formel $\frac{0}{0}$, deshalb setzen Programmierer dort den Grenzwert aus einer Tabelle ein.

Nahe $0$ (im Bogenmaß) liefert $\frac{\sin(2x)}{x}$ bei $x = 0{,}1$ den Wert $1{,}98669$ und bei $x = 0{,}01$ den Wert $1{,}99987$.

Q: Wie viele Werte brauche ich in der Tabelle?

A: Meist reichen drei auf jeder Seite, etwa $a \pm 0{,}1$, $a \pm 0{,}01$, $a \pm 0{,}001$, um einen klaren Trend zu sehen. Ist der Trend nicht eindeutig, nimm Werte, die noch näher liegen, wie $a \pm 0{,}0001$.

Q: Warum setze ich nicht einfach $x = a$ ein?

A: Weil es beim Grenzwert um die Werte in der Nähe von $a$ geht, nicht um den Wert bei $a$. Oft ist $f(a)$ nicht definiert (eine Lücke oder $\frac{0}{0}$), und manchmal existiert $f(a)$, weicht aber vom Grenzwert ab. Die Tabelle zeigt den Trend, den $f(a)$ nicht zeigen kann.

Q: Ist eine Tabelle ein Beweis, dass der Grenzwert stimmt?

A: Nein. Eine Tabelle liefert nur starke Hinweise. Exakte Ergebnisse kommen aus der Algebra (Grenzwerte durch direktes Einsetzen, Faktorisieren) oder aus den Grenzwertsätzen. Tabellen eignen sich hervorragend zum Schätzen und zum Überprüfen einer Rechnung.

Q: Was bedeutet es, wenn mein Taschenrechner sehr nahe an $a$ seltsame Werte zeigt?

A: Bei extrem kleinen Abständen wie $x - a = 0{,}0000000001$ kann ein Taschenrechner Stellen verlieren, wenn er fast gleiche Zahlen subtrahiert. Springen die Werte plötzlich hin und her, geh zurück zu $a \pm 0{,}001$ oder $a \pm 0{,}0001$, wo die Rechnung noch zuverlässig ist.