Einführung in Grenzwerte

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Was bedeutet ?
1. a) nähert sich 3, wenn sich der 5 nähert
2. b)
3. c) ist 5, wenn gleich 3 ist
4. d)
Lösung: nähert sich 3, wenn sich der 5 nähert
Die Notation bedeutet, dass sich der Wert von immer mehr 3 nähert, je näher an 5 kommt. Das ist anders als .
2.
Finde
Lösung: 10
Für stetige Funktionen wie ist der Grenzwert gleich dem Funktionswert: .
3.
Finde
Lösung: 5
Direktes Einsetzen funktioniert: .
4.
Welche Form erhältst du, wenn du durch direktes Einsetzen versuchst?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Zähler: . Nenner: . Das ergibt , eine unbestimmte Form, die Faktorisierung erfordert.
5.
Finde
Lösung: 6
1. Faktorisiere den Zähler . Was erhältst du? (x+3)(x-3)
2. Nach dem Faktorisieren, kürze den gemeinsamen Faktor. Welcher vereinfachte Ausdruck bleibt? x+3
3. Setze nun in den vereinfachten Ausdruck ein. 6
6.
Finde
Lösung: 2
. Also .
7.
Welche Aussage ist wahr über , wenn ?
1. a)Der Grenzwert ist 0
2. b)Der Grenzwert ist 4, obwohl nicht definiert ist
3. c)Der Grenzwert ist gleich
4. d)Der Grenzwert existiert nicht
Lösung: Der Grenzwert ist 4, obwohl nicht definiert ist
für . Der Grenzwert ist , aber ist nicht definiert. Das zeigt, dass Grenzwerte an Stellen existieren können, wo die Funktion nicht definiert ist!
8.
Finde
Lösung: 1
1. Faktorisiere den Zähler . Was sind die Faktoren? (x+1)(x+2)
2. Nach dem Faktorisieren und Kürzen von , welcher Ausdruck bleibt? x+2
3. Setze in den vereinfachten Ausdruck ein. 1
9.
Was ist ?
1. a)Existiert nicht
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Wenn sich von rechts (positive Seite) der 0 nähert, wird immer größer: , , usw. Also .
10.
Finde
Lösung: 2.5
. Für gilt und , also ist der Grenzwert .
11.
Finde
Lösung: 0.5
1. Was ist die höchste Potenz von im Ausdruck? x^2
2. Nach Division aller Terme durch , was ist der neue Zähler? 2 - 3/x + 1/x^2
3. Für , wohin gehen , und ? 0
4. Der Grenzwert vereinfacht sich zu 0.5
12.
Für , was können wir über sagen?
1. a)Der Grenzwert ist 1
2. b)Der Grenzwert ist 0
3. c)Existiert nicht, weil und
4. d)Der Grenzwert ist -1
Lösung: Existiert nicht, weil und
Von rechts: . Von links: . Da die einseitigen Grenzwerte unterschiedlich sind, existiert der zweiseitige Grenzwert nicht.
13.
Finde
Lösung: infinity
Wenn der Grad des Zählers (3) höher ist als der des Nenners (2), ist der Grenzwert . Der Zähler wächst schneller als der Nenner.
14.
Finde
Lösung: 0.25
1. Beachte, dass als faktorisiert werden kann. Wie heißt diese Technik? Differenz von Quadraten
2. Schreibe den Ausdruck mit dieser Faktorisierung um. Was vereinfacht sich? sqrt(x) - 2
3. Der vereinfachte Ausdruck ist . Setze ein. 0.25
15.
Wahr oder Falsch: Wenn , dann ist .
1. a)Falsch
2. b)Wahr
Lösung: Falsch
FALSCH. Der Grenzwert kann existieren, auch wenn nicht definiert ist oder einen anderen Wert hat. Zum Beispiel: , aber ist nicht definiert.
16.
Finde
Lösung: 5/3
1. Faktorisiere den Zähler . (x-5)(x+5)
2. Faktorisiere den Nenner . (x-5)(x+1)
3. Nach dem Kürzen von , was ist der vereinfachte Ausdruck? (x+5)/(x+1)
4. Setze in den vereinfachten Ausdruck ein. 5/3
17.
Wenn und , finde
Lösung: 15
Nach der Produktregel für Grenzwerte: .
18.
Finde
Lösung: 5
Für Polynome funktioniert direktes Einsetzen immer: .