Ein Term, der verschwindet

Bestimme $\lim_{x \to \infty} \left(3 + \frac{5}{x^2}\right)$.

Setze einige große Werte für x ein: $x = 10$: $3 + \frac{5}{100} = 3{,}05$; $x = 100$: $3 + \frac{5}{10000} = 3{,}0005$ = Die Werte nähern sich $3$

Wende die Grundregel an: $\frac{5}{x^2} = 5 \cdot \frac{1}{x^2}$ und $\frac{1}{x^2} \to 0$ = $\frac{5}{x^2} \to 0$

Addiere die Grenzwerte: $3 + 0$ = $3$

Answer: $\lim_{x \to \infty} \left(3 + \frac{5}{x^2}\right) = 3$, also ist $y = 3$ eine waagerechte Asymptote.

Gleicher Grad: Quotient der Leitkoeffizienten

Bestimme $\lim_{x \to \infty} \frac{6x^2 - 1}{2x^2 + 5}$.

Vergleiche die Grade: Zähler: Grad $2$. Nenner: Grad $2$ = Gleicher Grad

Teile jeden Term durch $x^2$: $\frac{6x^2 - 1}{2x^2 + 5} = \frac{6 - \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{5}{x^2}}$ = Nur die Brüche mit $x$ im Nenner verändern sich

Lass x unbeschränkt wachsen: $\frac{1}{x^2} \to 0$ und $\frac{5}{x^2} \to 0$, also strebt der Ausdruck gegen $\frac{6 - 0}{2 + 0}$ = $\frac{6}{2} = 3$

Prüfe mit einem großen Wert: $x = 100$: $\frac{59999}{20005} \approx 2{,}9992$ = Sehr nahe an $3$

Answer: $\lim_{x \to \infty} \frac{6x^2 - 1}{2x^2 + 5} = 3$. Die waagerechte Asymptote ist $y = 3$.

Kleinerer Grad im Zähler

Bestimme $\lim_{x \to \infty} \frac{3x + 1}{x^2 + 1}$.

Vergleiche die Grade: Zähler: Grad $1$. Nenner: Grad $2$ = Der Nenner wächst schneller

Teile jeden Term durch $x^2$: $\frac{\frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}}$ = Zähler $\to 0$, Nenner $\to 1$

Bestimme den Grenzwert: $\frac{0 + 0}{1 + 0}$ = $0$

Answer: $\lim_{x \to \infty} \frac{3x + 1}{x^2 + 1} = 0$, also ist $y = 0$ (die $x$-Achse) die waagerechte Asymptote. Bei $x = 100$ ist der Wert $\frac{301}{10001} \approx 0{,}03$.

Gegen minus unendlich

Bestimme $\lim_{x \to -\infty} \frac{4x^3 - x}{2 - 8x^3}$.

Finde die höchsten Terme: Zähler: $4x^3$. Nenner: $-8x^3$ (die höchste Potenz, auch wenn sie hinten steht) = Beide haben Grad $3$

Teile jeden Term durch $x^3$: $\frac{4 - \frac{1}{x^2}}{\frac{2}{x^3} - 8}$ = Die kleinen Brüche streben auch für $x \to -\infty$ gegen $0$

Bilde den Quotienten der Leitkoeffizienten: $\frac{4}{-8}$ = $-\frac{1}{2}$

Prüfe mit einem Wert: $x = -10$: $\frac{-3990}{8002} \approx -0{,}4986$ = Nahe an $-0{,}5$

Answer: $\lim_{x \to -\infty} \frac{4x^3 - x}{2 - 8x^3} = -\frac{1}{2}$. Die waagerechte Asymptote ist $y = -\frac{1}{2}$ (an beiden Enden).

Größerer Grad im Zähler: kein endlicher Grenzwert

Beschreibe $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^2 + 1}$.

Vergleiche die Grade: Zähler: Grad $3$. Nenner: Grad $2$ = Der Zähler wächst schneller

Teile jeden Term durch $x^2$: $\frac{x}{1 + \frac{1}{x^2}}$ = Der Nenner $\to 1$, aber der Zähler $x$ wächst immer weiter

Teste große Werte: $x = 10$: $\frac{1000}{101} \approx 9{,}9$; $x = 100$: $\frac{1000000}{10001} \approx 99{,}99$ = Die Werte wachsen unbeschränkt

Answer: Es gibt keinen endlichen Grenzwert: $\frac{x^3}{x^2 + 1}$ wächst unbeschränkt, geschrieben $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^2 + 1} = \infty$. Der Graph hat keine waagerechte Asymptote. (Ausblick über diese Lektion hinaus: Weit rechts schmiegt sich der Graph an die schräge Gerade $y = x$ an.)

Mistake: Unendlich einsetzen: $\frac{\infty}{\infty} = 1$

Why: $\infty$ ist keine Zahl, du kannst es weder einsetzen noch kürzen. Zähler und Nenner können sehr unterschiedlich schnell wachsen.

Correct: Teile zuerst durch die höchste Potenz von $x$. Für $\frac{6x^2 - 1}{2x^2 + 5}$ ist der Grenzwert $3$, nicht $1$.

Mistake: Den zuerst geschriebenen Koeffizienten statt des Leitkoeffizienten nehmen: $\frac{4x^3 - x}{2 - 8x^3} \to \frac{4}{2} = 2$

Why: Der Leitkoeffizient gehört zum Term mit der höchsten Potenz, egal wo er im Ausdruck steht.

Correct: Der höchste Term von $2 - 8x^3$ ist $-8x^3$, also ist der Grenzwert $\frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}$.

Mistake: Die Regeln vertauschen: "Kleinerer Grad im Zähler heißt kein Grenzwert"

Why: Wenn der Nenner den größeren Grad hat, wächst er viel schneller und drückt den Bruch gegen $0$.

Correct: Kleinerer Grad im Zähler: Grenzwert $0$. Größerer Grad im Zähler: kein endlicher Grenzwert. Gleicher Grad: Quotient der Leitkoeffizienten.

Mistake: Glauben, ein Graph könne seine waagerechte Asymptote nie schneiden

Why: Eine waagerechte Asymptote beschreibt nur den Graphen ganz links und ganz rechts. In der Mitte darf die Kurve sie schneiden.

Correct: $y = \frac{3x + 1}{x^2 + 1}$ hat die Asymptote $y = 0$ und schneidet sie trotzdem bei $x = -\frac{1}{3}$.

Abkühlender Kaffee

Nach dem newtonschen Abkühlungsgesetz kühlt ein heißes Getränk auf die Temperatur des Raums ab. Die Temperatur auf lange Sicht ist ein Grenzwert im Unendlichen.

Eine Tasse Tee folgt $T(t) = 22 + 60e^{-0{,}05t}$ (Grad Celsius, $t$ in Minuten). Da $e^{-0{,}05t} \to 0$, nähert sich der Tee $22°C$.

Stückkosten in einer Werkstatt

Fixkosten (Miete, Maschinen) werden auf alle hergestellten Stücke verteilt. Je mehr Stücke, desto kleiner der Anteil pro Stück, also nähern sich die Stückkosten den Kosten pro Stück an Material.

Eine Bäckerei mit 300 € Fixkosten pro Tag und 2 € Zutaten pro Kuchen hat die Stückkosten $\frac{300 + 2x}{x}$, die sich 2 € pro Kuchen nähern.

Salzkonzentration in einem Tank

Verfahrensingenieure modellieren, wie sich eine Mischung mit der Zeit verändert. Wenn ständig Salzwasser in einen Tank fließt, pendelt sich die Konzentration auf einen festen Wert ein.

Wenn die Salzmenge in einem Tank wie $50t$ Gramm wächst und das Volumen $100 + 2t$ Liter beträgt, strebt die Konzentration $\frac{50t}{100 + 2t}$ gegen $\frac{50}{2} = 25$ Gramm pro Liter.

Q: Kann ich statt den Grenzwert zu berechnen einfach eine sehr große Zahl einsetzen?

A: Eine große Zahl wie $x = 1000$ ist eine gute Probe und zeigt oft den Trend, aber sie ist kein Beweis. Die Rechnung (Teilen durch die höchste Potenz) liefert den exakten Wert, zum Beispiel genau $3$ statt $2{,}9992$.

Q: Sind die Grenzwerte für $\infty$ und $-\infty$ immer gleich?

A: Bei gebrochenrationalen Funktionen mit endlichem Grenzwert ja: Beide Enden liefern dieselbe waagerechte Asymptote. Andere Funktionen können sich unterscheiden. Zum Beispiel strebt $e^{-x} \to 0$ für $x \to \infty$, aber $e^{-x}$ wächst für $x \to -\infty$ unbeschränkt.

Q: Kann ein Graph seine waagerechte Asymptote schneiden?

A: Ja. Die Asymptote beschreibt nur das Verhalten ganz links oder ganz rechts. Der Graph von $\frac{3x + 1}{x^2 + 1}$ schneidet $y = 0$ bei $x = -\frac{1}{3}$ und nähert sich der Geraden danach wieder an.

Q: Was passiert, wenn der Grad des Zählers genau um eins größer ist als der des Nenners?

A: Das ist ein Ausblick über diese Lektion hinaus. Es gibt dann keine waagerechte Asymptote, aber der Graph nähert sich einer schrägen Geraden (einer schiefen Asymptote). Für $\frac{x^3}{x^2 + 1}$ ist das die Gerade $y = x$. Du findest sie mit der Polynomdivision.