Einseitige Grenzwerte am Graphen ablesen

Der Graph von $f$ zeigt die Gerade $y = x + 1$ für $x < 1$ (offener Kreis bei $(1, 2)$) und die Gerade $y = x + 3$ für $x \ge 1$ (ausgefüllter Punkt bei $(1, 4)$). Bestimme $\lim_{x \to 1^-} f(x)$, $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ und $\lim_{x \to 1} f(x)$.

Folge dem Graphen von links: Fahre den linken Teil bis $x = 1$ entlang: Die Höhen nähern sich dem offenen Kreis bei $y = 2$ = $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$

Folge dem Graphen von rechts: Fahre den rechten Teil bis $x = 1$ entlang: Die Höhen nähern sich $y = 4$ = $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$

Vergleiche die beiden Seiten: $2 \neq 4$, also springt der Graph bei $x = 1$ = Die einseitigen Grenzwerte sind verschieden

Entscheide über den beidseitigen Grenzwert: Verschiedene einseitige Grenzwerte bedeuten, dass kein einzelner Wert angenähert wird. Der ausgefüllte Punkt $f(1) = 4$ ändert daran nichts = $\lim_{x \to 1} f(x)$ existiert nicht

Answer: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$, $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$, also existiert $\lim_{x \to 1} f(x)$ nicht (obwohl $f(1) = 4$ ist).

Die Funktion |x|/x an der Stelle null

Bestimme $\lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x}$ und $\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x}$. Existiert $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$?

Vereinfache für positive $x$: Für $x > 0$ gilt $|x| = x$, also $\frac{|x|}{x} = \frac{x}{x} = 1$ = $\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = 1$

Vereinfache für negative $x$: Für $x < 0$ gilt $|x| = -x$, also $\frac{|x|}{x} = \frac{-x}{x} = -1$ = $\lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = -1$

Prüfe mit Zahlen: $\frac{|0{,}01|}{0{,}01} = 1$ und $\frac{|-0{,}01|}{-0{,}01} = -1$ = Die Wertetabelle bestätigt das

Vergleiche: $-1 \neq 1$ = Der beidseitige Grenzwert existiert nicht

Answer: Der linksseitige Grenzwert ist $-1$, der rechtsseitige Grenzwert ist $1$, also existiert $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ nicht. Die Funktion ist bei $x = 0$ nicht einmal definiert, aber das ist nicht der Grund: Der Grund ist, dass die beiden Seiten nicht übereinstimmen.

Eine abschnittsweise Funktion mit Grenzwert

Es sei $g(x) = x^2$ für $x < 2$, $g(2) = 7$ und $g(x) = 3x - 2$ für $x > 2$. Bestimme $\lim_{x \to 2} g(x)$.

Linke Seite: Nimm den Abschnitt für $x < 2$: $x^2 \to 2^2 = 4$ = $\lim_{x \to 2^-} g(x) = 4$

Rechte Seite: Nimm den Abschnitt für $x > 2$: $3x - 2 \to 3 \cdot 2 - 2 = 4$ = $\lim_{x \to 2^+} g(x) = 4$

Vergleiche die einseitigen Grenzwerte: Beide Seiten nähern sich $4$ = $\lim_{x \to 2} g(x) = 4$

Betrachte den Funktionswert $g(2)$: $g(2) = 7$, aber der Grenzwert betrachtet nur Werte in der Nähe von $2$ = Grenzwert $4$, Funktionswert $7$

Answer: $\lim_{x \to 2} g(x) = 4$. Der einzelne Wert $g(2) = 7$ ändert den Grenzwert nicht; er erzeugt nur eine Lücke mit einem separaten Punkt darüber.

Ein Betrag im Nenner

Berechne $\lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|}$ und $\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|}$.

Faktorisiere den Zähler: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ = $\frac{(x - 2)(x + 2)}{|x - 2|}$

Rechte Seite: $x > 2$: $|x - 2| = x - 2$, also ist der Bruch $x + 2 \to 4$ = $\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|} = 4$

Linke Seite: $x < 2$: $|x - 2| = -(x - 2)$, also ist der Bruch $-(x + 2) \to -4$ = $\lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|} = -4$

Prüfe mit einer Wertetabelle: $x = 2{,}01$: $\frac{0{,}0401}{0{,}01} = 4{,}01$; $x = 1{,}99$: $\frac{-0{,}0399}{0{,}01} = -3{,}99$ = Werte nahe $4$ und nahe $-4$

Answer: $\lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|} = -4$ und $\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|} = 4$, also existiert der beidseitige Grenzwert bei $2$ nicht.

Eine Konstante so wählen, dass der Grenzwert existiert

Es sei $h(x) = 2x + k$ für $x < 3$ und $h(x) = x^2 - 1$ für $x \ge 3$. Bestimme $k$ so, dass $\lim_{x \to 3} h(x)$ existiert.

Rechtsseitiger Grenzwert: $x^2 - 1 \to 3^2 - 1 = 8$ = $\lim_{x \to 3^+} h(x) = 8$

Linksseitiger Grenzwert (mit $k$): $2x + k \to 2 \cdot 3 + k = 6 + k$ = $\lim_{x \to 3^-} h(x) = 6 + k$

Setze die einseitigen Grenzwerte gleich: $6 + k = 8$ = $k = 2$

Probe: Mit $k = 2$: links $2 \cdot 3 + 2 = 8$, rechts $8$ = $\lim_{x \to 3} h(x) = 8$

Answer: $k = 2$. Dann sind beide einseitigen Grenzwerte gleich $8$, also $\lim_{x \to 3} h(x) = 8$.

Mistake: Den ausgefüllten Punkt $f(a)$ als Grenzwert nehmen

Why: Ein Grenzwert beschreibt die Höhen, denen sich der Graph in der Nähe von $a$ nähert, nicht die Höhe an der Stelle $a$. In Beispiel 1 ist $f(1) = 4$, aber von links nähert sich der Graph dem Wert $2$.

Correct: Verfolge jede Seite des Graphen bis $a$ und ignoriere den Punkt bei $x = a$. Verwende $f(a)$ nur, wenn nach dem Funktionswert gefragt ist.

Mistake: $x \to 3^-$ als "$x$ strebt gegen $-3$" lesen

Why: Das kleine Minuszeichen steht hinter der Zahl, hochgestellt. Es beschreibt die Richtung, nicht das Vorzeichen der Zahl.

Correct: $x \to 3^-$ bedeutet $x = 2{,}9$; $2{,}99$; $2{,}999$; ... (Werte unter $3$). $x \to 3^+$ bedeutet $x = 3{,}1$; $3{,}01$; $3{,}001$; ...

Mistake: Den Abschnitt, der $x = a$ enthält, für beide Seiten verwenden

Why: Bei $f(x) = x + 1$ für $x < 1$ und $f(x) = x + 3$ für $x \ge 1$ beschreibt $x + 3$ nur die rechte Seite. Die linke Seite wird immer vom Abschnitt für $x < 1$ beschrieben.

Correct: Für $x \to a^-$ nimmst du die Formel für Werte knapp unter $a$, für $x \to a^+$ die Formel für Werte knapp über $a$. Das Zeichen $\le$ oder $\ge$ entscheidet nur über $f(a)$.

Mistake: Behaupten, der Grenzwert existiert, weil beide einseitigen Grenzwerte existieren

Why: In Beispiel 1 existieren beide einseitigen Grenzwerte ($2$ und $4$), aber es sind verschiedene Zahlen, also gibt es keinen einzelnen Wert $L$.

Correct: Der beidseitige Grenzwert existiert nur, wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren **und** gleich sind.

Parkgebühren

Viele Parkhäuser rechnen pro angefangene Stunde ab, also springt der Preis bei jeder vollen Stunde. Einseitige Grenzwerte beschreiben den Preis kurz vor und kurz nach dem Sprung.

Ein Parkhaus verlangt $P(t) = 3$ € für $0 < t \le 1$ Stunde und $P(t) = 5$ € für $1 < t \le 2$ Stunden. Kurz vor einer Stunde zahlst du 3 €, kurz danach 5 €.

Eine Rampe ohne Stufe bauen

Wer eine Rampe an eine Plattform anschließt, muss dafür sorgen, dass die Höhen von beiden Seiten zusammenpassen. Sonst entsteht eine Stufe, über die man stolpern kann.

Eine Rampe hat die Höhe $h(x) = 0{,}2x$ Meter für $0 \le x < 5$, und bei $x = 5$ beginnt eine Plattform mit der konstanten Höhe $c$. Rampe und Plattform treffen sich genau dann ohne Stufe, wenn $\lim_{x \to 5^-} h(x) = c$ ist.

Handytarife mit Datenvolumen

Ein Datentarif hat oft einen festen Preis bis zu einer Grenze und danach einen Aufpreis pro Gigabyte. Einseitige Grenzwerte zeigen, ob der Preis an der Grenze springt.

Ein Tarif kostet $C(g) = 10$ € für $0 \le g \le 5$ GB und $C(g) = 10 + 2(g - 5)$ € für $g > 5$. Knapp über 5 GB beginnt der Preis zu steigen, aber er startet bei 10.

Q: Kann ein einseitiger Grenzwert existieren, wenn der beidseitige nicht existiert?

A: Ja, und das ist der typische Fall an einer Sprungstelle. Bei $\frac{|x|}{x}$ an der Stelle $0$ existieren beide einseitigen Grenzwerte ($-1$ und $1$), aber der beidseitige nicht, weil sie verschieden sind.

Q: Entscheidet der ausgefüllte Punkt oder der offene Kreis über den Grenzwert?

A: Keines von beiden. Kreise und Punkte zeigen nur den Funktionswert $f(a)$. Die Grenzwerte ergeben sich aus der Kurve auf jeder Seite, während sie sich $x = a$ nähert.

Q: Was ist, wenn die Funktion nur auf einer Seite definiert ist?

A: Dann ist nur ein einseitiger Grenzwert sinnvoll. Bei $\sqrt{x}$ an der Stelle $0$ gibt es links keine Werte, also verwenden wir $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0$. Am Rand der Definitionsmenge ist der einseitige Grenzwert die natürliche Frage.

Q: Kann ein einseitiger Grenzwert unendlich sein?

A: Ja. Zum Beispiel wächst $\frac{1}{x}$ für $x \to 0^+$ über alle Grenzen. Diese Fälle behandelt die Lektion Uneigentliche Grenzwerte; in dieser Lektion sind alle einseitigen Grenzwerte Zahlen.