Basiswechselformel

Die meisten Taschenrechner haben nur zwei Logarithmustasten: **log** (Basis 10, der dekadische Logarithmus, manchmal auch $\lg$ geschrieben) und **ln** (Basis $e$). Mit der **Basiswechselformel** berechnest du einen Logarithmus zu **jeder** Basis mit einer dieser Tasten: $$\log_b x = \frac{\log_c x}{\log_c b}$$ Dabei gilt $x > 0$, $b > 0$, $b \neq 1$, und die neue Basis $c$ darf jede positive Zahl außer $1$ sein. In der Praxis wählst du $c = 10$ oder $c = e$: $$\log_b x = \frac{\log x}{\log b} = \frac{\ln x}{\ln b}$$ **Warum sie gilt:** Setze $y = \log_b x$. Dann ist $b^y = x$. Nimm auf beiden Seiten den dekadischen Logarithmus: $\log(b^y) = \log x$. Die Potenzregel macht daraus $y \cdot \log b = \log x$, also $y = \dfrac{\log x}{\log b}$. **Beispiel:** $\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3} \approx \dfrac{1{,}69897}{0{,}47712} \approx 3{,}56$ (auf 2 Nachkommastellen gerundet). Probe: $3^{3{,}56} \approx 50$. Ein nützlicher Sonderfall: Vertauschst du Basis und Argument, erhältst du den Kehrwert, $$\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$$ **Runden:** Führe die ganze Division im Taschenrechner aus und runde nur das Endergebnis, und zwar auf so viele Nachkommastellen, wie die Aufgabe verlangt.

Ein Logarithmus zur Basis 3 mit log

Berechne $\log_3 50$. Runde auf 2 Nachkommastellen.

Schreibe die Basiswechselformel mit Basis 10 auf: $\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3}$ = $\dfrac{\log 50}{\log 3}$

Bestimme beide dekadischen Logarithmen mit dem Taschenrechner: $\log 50 \approx 1{,}69897$ und $\log 3 \approx 0{,}47712$ = Vorerst alle Stellen behalten

Teile und runde erst am Ende: $1{,}69897 : 0{,}47712 \approx 3{,}56088$ = $\approx 3{,}56$

Mache die Probe mit der Definition: $3^3 = 27$ und $3^4 = 81$, also muss das Ergebnis zwischen 3 und 4 liegen. Außerdem ist $3^{3{,}56} \approx 50$ = Plausibel

Answer: $\log_3 50 \approx 3{,}56$

Derselbe Logarithmus mit ln

Berechne $\log_3 50$ noch einmal, diesmal mit natürlichen Logarithmen. Runde auf 2 Nachkommastellen.

Schreibe die Formel mit Basis $e$ auf: $\log_3 50 = \dfrac{\ln 50}{\ln 3}$ = $\dfrac{\ln 50}{\ln 3}$

Bestimme beide natürlichen Logarithmen: $\ln 50 \approx 3{,}91202$ und $\ln 3 \approx 1{,}09861$ = Andere Zahlen als mit log

Teile und runde: $3{,}91202 : 1{,}09861 \approx 3{,}56088$ = $\approx 3{,}56$

Answer: $\log_3 50 \approx 3{,}56$: Zähler und Nenner ändern sich, der Quotient bleibt gleich. Es ist egal, ob du log oder ln verwendest.

Ein exaktes Ergebnis mit geschickter Basis

Bestimme den exakten Wert von $\log_4 8$.

Erkenne, dass 4 und 8 beide Potenzen von 2 sind: $4 = 2^2$ und $8 = 2^3$ = Wähle die neue Basis $c = 2$

Wende die Basiswechselformel mit Basis 2 an: $\log_4 8 = \dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}$ = $\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}$

Berechne die beiden einfachen Logarithmen: $\log_2 8 = 3$ und $\log_2 4 = 2$ = $\dfrac{3}{2}$

Probe: $4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$ = Stimmt

Answer: $\log_4 8 = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$ (exakt, kein Runden nötig)

Basis und Argument vertauschen

Du weißt, dass $\log_2 5 \approx 2{,}3219$ ist. Bestimme $\log_5 2$ ohne die log-Taste. Runde auf 2 Nachkommastellen.

Schreibe beide Logarithmen mit der Basiswechselformel: $\log_2 5 = \dfrac{\log 5}{\log 2}$ und $\log_5 2 = \dfrac{\log 2}{\log 5}$ = Die Brüche sind Kehrwerte voneinander

Verwende die Kehrwertregel: $\log_5 2 = \dfrac{1}{\log_2 5}$ = $\dfrac{1}{2{,}3219}$

Teile und runde: $1 : 2{,}3219 \approx 0{,}43068$ = $\approx 0{,}43$

Answer: $\log_5 2 \approx 0{,}43$. Probe: $2{,}3219 \cdot 0{,}43068 \approx 1$

Drei Nachkommastellen und eine Überraschung

Berechne $\log_8 1000$ mit natürlichen Logarithmen. Runde auf 3 Nachkommastellen und vergleiche dann mit $\log_2 10$.

Schreibe die Formel mit ln auf: $\log_8 1000 = \dfrac{\ln 1000}{\ln 8}$ = $\dfrac{\ln 1000}{\ln 8}$

Bestimme beide natürlichen Logarithmen: $\ln 1000 \approx 6{,}907755$ und $\ln 8 \approx 2{,}079442$ = Alle Stellen behalten

Teile und runde auf 3 Nachkommastellen: $6{,}907755 : 2{,}079442 \approx 3{,}321928$ = $\approx 3{,}322$

Vergleiche mit $\log_2 10$: Auch $\log_2 10 = \dfrac{\ln 10}{\ln 2} \approx 3{,}322$, denn $\ln 1000 = 3 \ln 10$ und $\ln 8 = 3 \ln 2$, die 3 kürzt sich also weg = $\log_8 1000 = \log_2 10$

Answer: $\log_8 1000 \approx 3{,}322$, genau dieselbe Zahl wie $\log_2 10$

Erst die Basiswechselformel macht Logarithmen im Alltag benutzbar: - **Jede Basis auf jedem Taschenrechner**: $\log_2$, $\log_3$ oder $\log_{1{,}05}$ werden zu einer einzigen Division mit der **log**- oder **ln**-Taste. - **Geld und Wachstum**: Die Zeit, in der sich ein Guthaben bei 5 % Zinsen pro Jahr verdoppelt, ist $\log_{1{,}05} 2 = \dfrac{\log 2}{\log 1{,}05} \approx 14{,}21$ Jahre. - **Informatik**: Binäre Suche und Bits arbeiten mit der Basis 2. Die Suche in 1 000 000 sortierten Einträgen braucht etwa $\log_2 1000000 \approx 19{,}93$, also 20 Halbierungen. - **Biologie**: Eine Population, die sich jede Stunde verdreifacht, braucht $\log_3 500 \approx 5{,}66$ Stunden, um 500-mal so groß zu werden. - **Gleichungen lösen**: Jede Exponentialgleichung wie $2^x = 50$ hat die Lösung $x = \log_2 50$, und die berechnest du mit dieser Formel. Außerdem erklärt sie, warum $\log$ und $\ln$ genügen: Jeder andere Logarithmus ist einfach einer von beiden, geteilt durch eine Konstante.

Mistake: Den Bruch verkehrt herum schreiben: $\log_3 50 = \dfrac{\log 3}{\log 50} \approx 0{,}28$

Why: Die Basis gehört in den Nenner. Eine schnelle Abschätzung zeigt den Fehler: $3^3 = 27$ und $3^4 = 81$, also muss $\log_3 50$ zwischen 3 und 4 liegen, nicht unter 1.

Correct: Argument oben, Basis unten: $\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3} \approx 3{,}56$

Mistake: Aus dem Quotienten zweier Logarithmen den Logarithmus eines Quotienten machen: $\dfrac{\log 50}{\log 3} = \log\dfrac{50}{3} \approx 1{,}22$

Why: Die Quotientenregel sagt $\log 50 - \log 3 = \log \dfrac{50}{3}$. Sie handelt von einer Differenz von Logarithmen, nicht von einer Division.

Correct: $\dfrac{\log 50}{\log 3}$ ist eine ganz normale Division zweier Zahlen: $1{,}69897 : 0{,}47712 \approx 3{,}56$

Mistake: Das Wort log kürzen: $\dfrac{\log 50}{\log 3} = \dfrac{50}{3} \approx 16{,}67$

Why: log ist eine Funktion, kein Faktor. Man kann es nicht wie eine gemeinsame Zahl in einem Bruch kürzen.

Correct: Berechne zuerst $\log 50$ und $\log 3$, dann teile: $\approx 3{,}56$

Mistake: Zu früh runden: $\dfrac{1{,}70}{0{,}48} \approx 3{,}54$

Why: Wenn du $\log 50$ und $\log 3$ vor dem Teilen rundest, ändert sich die zweite Nachkommastelle des Ergebnisses.

Correct: Teile mit allen Stellen des Taschenrechners (oder tippe log(50)/log(3) in einem Zug ein) und runde nur das Endergebnis: $3{,}56$

Wann verdoppelt sich dein Erspartes?

Bei jährlicher Verzinsung mit Zinseszins wird das Geld jedes Jahr mit demselben Wachstumsfaktor multipliziert. Die Verdopplungszeit ist ein Logarithmus mit diesem Faktor als Basis.

Bei 3 % pro Jahr ist der Faktor $1{,}03$, das Geld verdoppelt sich also, wenn $1{,}03^t = 2$ ist, das heißt nach $t = \log_{1{,}03} 2$ Jahren.

Binäre Suche in der Informatik

Die binäre Suche findet einen Eintrag in einer sortierten Liste, indem sie die Liste immer wieder halbiert. Die Zahl der Halbierungen ist ein Logarithmus zur Basis 2, und Computer berechnen ihn mit dem Basiswechsel.

Eine sortierte Liste mit 1024 Namen braucht $\log_2 1024 = 10$ Halbierungen, denn $2^{10} = 1024$.

Bakterien, die sich stündlich verdreifachen

Manche Bakterienkulturen verdreifachen sich jede Stunde. Die Zeit bis zu einer bestimmten Größe ist ein Logarithmus zur Basis 3.

Nach 2 Stunden ist die Kultur $3^2 = 9$-mal so groß, nach 4 Stunden $3^4 = 81$-mal so groß.

Basiswechselformel: $\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}$ für jede neue Basis $c > 0$, $c \neq 1$

Auf dem Taschenrechner nimmst du $c = 10$ oder $c = e$: $\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b} = \dfrac{\ln x}{\ln b}$, beide liefern dasselbe Ergebnis

Das Argument kommt nach oben, die Basis nach unten

Die Formel gilt, weil aus $b^y = x$ mit der Potenzregel $y \log b = \log x$ folgt, also $y = \dfrac{\log x}{\log b}$

Vertauschen von Basis und Argument ergibt den Kehrwert: $\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}$

Teile mit allen Stellen und runde nur das Endergebnis, auf die verlangten Nachkommastellen

Q: Soll ich in der Formel log oder ln verwenden?

A: Beides geht. $\dfrac{\log 50}{\log 3}$ und $\dfrac{\ln 50}{\ln 3}$ sind beide $\approx 3{,}56$. Verwende nur oben und unten dieselbe Art von Logarithmus.

Q: Mein Taschenrechner hat eine $\log_b$-Taste. Brauche ich die Formel trotzdem?

A: Die Taste liefert dir die Zahl, aber die Formel brauchst du trotzdem für exakte Werte wie $\log_4 8 = \dfrac{3}{2}$, zum Vereinfachen von Termen, zum Lösen von Gleichungen von Hand und in Prüfungen, in denen nur log und ln erlaubt sind. Die Taste selbst rechnet intern mit dem Basiswechsel.

Q: Auf wie viele Nachkommastellen soll ich runden?

A: Auf so viele, wie die Aufgabe verlangt. Steht nichts dabei, sind 2 bis 4 Nachkommastellen üblich (zum Beispiel $\log_3 50 \approx 3{,}56$ oder $3{,}5609$). Runde immer nur einmal, ganz am Ende.

Q: Warum ist $\log_b a \cdot \log_a b = 1$?

A: Mit dem Basiswechsel ist $\log_b a = \dfrac{\log a}{\log b}$ und $\log_a b = \dfrac{\log b}{\log a}$. Beim Multiplizieren der beiden Brüche kürzt sich alles weg, und es bleibt $1$. Die beiden Logarithmen sind also Kehrwerte voneinander.

Präsentation beenden

Basiswechselformel

1 / 14

Analysis-Vorbereitung / Logarithmen

Basiswechselformel

Mit der Basiswechselformel berechnest du Logarithmen zu jeder beliebigen Basis mit der log- oder ln-Taste deines Taschenrechners.

Fortgeschritten25 Min

Verwende Pfeiltasten oder Leertaste zum Navigieren