ln einer Potenz von e berechnen

Berechne $\ln(e^5)$ ohne Taschenrechner.

Als Frage formulieren: $\ln(e^5)$ fragt: Mit welcher Hochzahl muss ich $e$ potenzieren, um $e^5$ zu erhalten? = $e^{?} = e^5$

Hochzahl ablesen: Die Hochzahl, die aus $e$ den Wert $e^5$ macht, ist $5$ = $? = 5$

Umkehrregel anwenden: $\ln$ macht $e^x$ rückgängig: $\ln(e^x) = x$ = $\ln(e^5) = 5$

Answer: $\ln(e^5) = 5$

Zwischen ln-Form und Exponentialform wechseln

(a) Schreibe $\ln x = 3$ in Exponentialform und bestimme $x$. (b) Schreibe $e^0 = 1$ in Logarithmusform.

Definition für (a) verwenden: $\ln x = y$ bedeutet $e^y = x$, also bedeutet $\ln x = 3$, dass $e^3 = x$ = $x = e^3$

Mit dem Taschenrechner auswerten: $e^3 \approx 20{,}09$ = $x \approx 20{,}09$

(b) in ln-Form umschreiben: In $e^0 = 1$ ist die Hochzahl $0$ und das Ergebnis $1$, also $\ln 1 = 0$ = $\ln 1 = 0$

Answer: (a) $x = e^3 \approx 20{,}09$. (b) $\ln 1 = 0$.

Vereinfachen mit den Umkehrregeln

Vereinfache $e^{\ln 7}$ und $\ln \sqrt{e}$.

$e^{\ln 7}$ vereinfachen: $e^x$ macht $\ln$ rückgängig: $e^{\ln x} = x$ für $x > 0$ = $e^{\ln 7} = 7$

$\sqrt{e}$ als Potenz von $e$ schreiben: Eine Quadratwurzel ist die Hochzahl $\frac{1}{2}$ = $\sqrt{e} = e^{1/2}$

$\ln(e^x) = x$ anwenden: $\ln(e^{1/2})$ ist die Hochzahl $\frac{1}{2}$ = $\ln \sqrt{e} = \frac{1}{2}$

Answer: $e^{\ln 7} = 7$ und $\ln \sqrt{e} = \frac{1}{2} = 0{,}5$

ln mit dem Taschenrechner berechnen

Bestimme $\ln 10$ auf 3 Nachkommastellen und überprüfe das Ergebnis.

Die Taste LN drücken (nicht LOG): Tippe ln(10) in den Taschenrechner = $\ln 10 = 2{,}302585...$

Auf 3 Nachkommastellen runden: Die 4. Nachkommastelle ist $5$, also wird aufgerundet = $\ln 10 \approx 2{,}303$

Mit $e^x$ überprüfen: $e^{2{,}303} \approx 10{,}004$, das liegt sehr nah an $10$ = Probe stimmt

Größenordnung prüfen: $e^2 \approx 7{,}39$ und $e^3 \approx 20{,}09$, und $10$ liegt dazwischen = $2 < \ln 10 < 3$

Answer: $\ln 10 \approx 2{,}303$

Eine Exponentialgleichung mit ln lösen

Löse $3e^{2x} = 60$. Runde auf 3 Nachkommastellen.

Die Potenz von $e$ isolieren: Beide Seiten durch $3$ teilen: $e^{2x} = \frac{60}{3}$ = $e^{2x} = 20$

Auf beiden Seiten $\ln$ anwenden: $\ln(e^{2x}) = \ln 20$, und $\ln(e^{2x}) = 2x$ = $2x = \ln 20$

$\ln 20$ berechnen: Taschenrechner: $\ln 20 \approx 2{,}9957$ = $2x \approx 2{,}9957$

Durch 2 teilen: $x = \frac{\ln 20}{2} \approx 1{,}4979$ = $x \approx 1{,}498$

Probe: $3e^{2 \cdot 1{,}498} = 3e^{2{,}996} \approx 3 \cdot 20{,}005 \approx 60$ = Probe stimmt

Answer: $x = \frac{\ln 20}{2} \approx 1{,}498$

Mistake: $\ln 1 = 1$ oder $\ln e = 0$ schreiben

Why: Die beiden wichtigen Werte werden leicht vertauscht. $\ln$ liefert eine Hochzahl, nicht die Zahl selbst.

Correct: $\ln 1 = 0$, denn $e^0 = 1$, und $\ln e = 1$, denn $e^1 = e$.

Mistake: $\ln$ von null oder einer negativen Zahl bilden, etwa $\ln 0$ oder $\ln(-3)$

Why: $e^y$ ist immer positiv, egal welchen Wert $y$ hat. Keine Potenz von $e$ ergibt $0$ oder eine negative Zahl.

Correct: $\ln x$ existiert nur für $x > 0$. Der Taschenrechner zeigt bei $\ln 0$ und $\ln(-3)$ einen Fehler.

Mistake: Auf dem Taschenrechner LOG statt LN drücken

Why: LOG ist der dekadische Logarithmus zur Basis 10, LN der natürliche Logarithmus zur Basis $e$. Sie liefern verschiedene Ergebnisse.

Correct: $\log 10 = 1$, aber $\ln 10 \approx 2{,}303$. Nimm LN, sobald die Basis $e$ ist.

Mistake: $e^x = 20$ durch Teilen lösen: $x = \frac{20}{e}$

Why: $x$ ist eine Hochzahl, kein Faktor. Durch $e$ zu teilen macht das Potenzieren nicht rückgängig.

Correct: Mache $e^x$ mit $\ln$ rückgängig: $x = \ln 20 \approx 2{,}996$.

Biologie: Wann erreicht die Kultur ihr Ziel?

Eine Bakterienkultur mit genug Nährstoffen wächst stetig nach $N = N_0 e^{rt}$. Um herauszufinden, WANN sie eine bestimmte Größe erreicht, brauchst du $\ln$, damit $t$ aus dem Exponenten herunterkommt.

Bei $N = 1000e^{0{,}3t}$ erreicht die Kultur 3000, wenn $e^{0{,}3t} = 3$ ist, also $0{,}3t = \ln 3$ und $t = \frac{\ln 3}{0{,}3} \approx 3{,}66$ Stunden.

Finanzen: Verdopplungszeit bei stetiger Verzinsung

Banken vergleichen Sparangebote mit stetiger Verzinsung, $A = Pe^{rt}$. Die Zeit, bis sich das Geld verdoppelt, ist $t = \frac{\ln 2}{r}$.

Bei 7 % stetiger Verzinsung verdoppelt sich Geld nach $\frac{\ln 2}{0{,}07} \approx 9{,}90$ Jahren. Weil $\ln 2 \approx 0{,}693$ ist, nutzen Banker die "70er-Regel": 70 geteilt durch den Zinssatz in Prozent.

Medizin: Wie lange ein Medikament im Blut bleibt

Viele Medikamente werden stetig abgebaut, die Menge im Blut folgt also $C = C_0 e^{-kt}$. Ärztinnen und Ärzte bestimmen mit $\ln$, wann die nächste Dosis fällig ist.

Ein Medikament mit $k = 0{,}25$ pro Stunde hat eine Halbwertszeit von $\frac{\ln 2}{0{,}25} \approx 2{,}77$ Stunden: Danach ist noch die Hälfte übrig.

Q: Warum heißt er natürlicher Logarithmus?

A: Weil seine Basis $e$ ganz natürlich auftaucht: bei stetigem Wachstum, bei stetiger Verzinsung und in der Analysis, wo $e^x$ und $\ln x$ die einfachsten Änderungsraten haben. Das "n" in $\ln$ steht für das lateinische "logarithmus naturalis".

Q: Ist ln dasselbe wie log?

A: Nein. $\log x$ (dekadischer Logarithmus, auch $\lg x$ geschrieben) hat die Basis 10, $\ln x$ hat die Basis $e$. Zum Beispiel ist $\log 100 = 2$, aber $\ln 100 \approx 4{,}605$. Beide beantworten dieselbe Art von Frage, nur die Basis ist eine andere.

Q: Warum zeigt mein Taschenrechner bei ln(0) einen Fehler?

A: Weil $e^y$ immer positiv ist: Es gibt keine Potenz von $e$, die $0$ oder eine negative Zahl ergibt. Der Graph von $y = \ln x$ liegt nur rechts der $y$-Achse, die eine senkrechte Asymptote ist.

Q: Wie hängen die Graphen von $y = e^x$ und $y = \ln x$ zusammen?

A: Sie sind Spiegelbilder voneinander an der Geraden $y = x$, weil sie Umkehrfunktionen sind. Der Punkt $(0, 1)$ auf $y = e^x$ gehört zum Punkt $(1, 0)$ auf $y = \ln x$, und $(1, e)$ gehört zu $(e, 1)$.