Die Regel mit Zahlen prüfen

Zeige, dass $\log_2(4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8$ gilt.

Berechne die linke Seite: $4 \cdot 8 = 32$ und $2^5 = 32$ = $\log_2 32 = 5$

Berechne jeden Logarithmus auf der rechten Seite: $2^2 = 4$ und $2^3 = 8$ = $\log_2 4 = 2$, $\log_2 8 = 3$

Addiere und vergleiche: $2 + 3 = 5$, genau wie links = $5 = 5$

Answer: Beide Seiten ergeben $5$: Die Multiplikation von $4$ mit $8$ addiert die Exponenten $2$ und $3$.

Einen Logarithmus zerlegen

Zerlege $\log_3(9x)$ so weit wie möglich ($x > 0$).

Schreibe das Produkt als Summe: $\log_3(9x) = \log_3 9 + \log_3 x$ = $\log_3 9 + \log_3 x$

Berechne den Logarithmus, der geht: $3^2 = 9$, also $\log_3 9 = 2$ = $2$

Schreibe das Ergebnis: Ersetze $\log_3 9$ durch $2$ = $2 + \log_3 x$

Answer: $\log_3(9x) = 2 + \log_3 x$

Eine Summe von Logarithmen zusammenfassen

Schreibe $\log_4 2 + \log_4 8$ als einen einzigen Logarithmus und berechne ihn.

Prüfe, ob die Basen gleich sind: Beide Logarithmen haben die Basis $4$, die Regel gilt also = Gleiche Basis

Multipliziere die Argumente: $\log_4 2 + \log_4 8 = \log_4(2 \cdot 8)$ = $\log_4 16$

Berechne: $4^2 = 16$ = $\log_4 16 = 2$

Answer: $\log_4 2 + \log_4 8 = \log_4 16 = 2$

Mit bekannten Logarithmen rechnen

Nutze $\log 2 \approx 0{,}301$ und $\log 3 \approx 0{,}477$ (dekadische Logarithmen, Basis 10), um $\log 12$ zu nähern.

Zerlege das Argument in Zahlen, deren Logarithmen du kennst: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ = $\log 12 = \log 2 + \log 2 + \log 3$

Setze die bekannten Werte ein: $0{,}301 + 0{,}301 + 0{,}477$ = $1{,}079$

Prüfe mit dem Taschenrechner: $\log 12 = 1{,}07918\ldots$ = $\log 12 \approx 1{,}079$

Answer: $\log 12 \approx 1{,}079$

Zusammenfassen mit Variablen

Schreibe $\log_2 x + \log_2(x + 2)$ als einen einzigen Logarithmus und berechne ihn für $x = 2$.

Multipliziere die Argumente: $\log_2 x + \log_2(x+2) = \log_2\big(x(x+2)\big)$ = $\log_2(x^2 + 2x)$

Beachte die Definitionsmenge: Beide ursprünglichen Logarithmen brauchen $x > 0$ und $x + 2 > 0$ = $x > 0$

Setze $x = 2$ ein: $2^2 + 2 \cdot 2 = 8$ = $\log_2 8$

Berechne und prüfe: $\log_2 8 = 3$, und $\log_2 2 + \log_2 4 = 1 + 2 = 3$ = $3$

Answer: $\log_2(x^2 + 2x)$ für $x > 0$; bei $x = 2$ ist der Wert $3$.

Mistake: $\log(M + N) = \log M + \log N$ schreiben

Why: Die Regel gilt für ein Produkt im Logarithmus, nicht für eine Summe. Probe: $\log(6 + 4) = \log 10 = 1$, aber $\log 6 + \log 4 \approx 0{,}778 + 0{,}602 = 1{,}380$.

Correct: Nur $\log(MN) = \log M + \log N$ gilt. Der Logarithmus einer Summe, wie $\log(x + 3)$, lässt sich nicht aufteilen.

Mistake: Die Logarithmen multiplizieren: $\log_b(MN) = \log_b M \cdot \log_b N$

Why: Wenn man die Zahlen multipliziert, werden die Exponenten addiert, nicht multipliziert. Probe: $\log_2 4 \cdot \log_2 8 = 2 \cdot 3 = 6$, aber $\log_2 32 = 5$.

Correct: Ein Produkt innen wird außen zu einer Summe: $\log_2(4 \cdot 8) = 2 + 3 = 5$.

Mistake: Logarithmen mit verschiedenen Basen zusammenfassen: $\log_2 x + \log_3 y = \log_6(xy)$

Why: Der Beweis nutzt $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$, und das gilt nur, wenn beide Potenzen dieselbe Basis $b$ haben.

Correct: Fasse nur Logarithmen mit gleicher Basis zusammen. $\log_2 x + \log_3 y$ bleibt so stehen (oder nutze zuerst die Basiswechselformel).

Mistake: Die Regel mit negativen Faktoren anwenden: $\log\big((-2)(-5)\big) = \log(-2) + \log(-5)$

Why: $\log 10 = 1$ existiert, aber $\log(-2)$ und $\log(-5)$ nicht: Das Argument eines Logarithmus muss positiv sein.

Correct: Die Regel braucht $M > 0$ und $N > 0$. Beim Zusammenfassen behältst du die Definitionsmenge der ursprünglichen Logarithmen (zum Beispiel $x > 0$).

Dezibel und Schallintensität

Der Schallpegel in Dezibel ist $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$. Wird die Intensität $I$ mit einem Faktor $k$ multipliziert, liefert die Produktregel $\log(k \cdot \frac{I}{I_0}) = \log k + \log\frac{I}{I_0}$, der Pegel steigt also um $10 \log k$.

Ein Ton, der 10-mal intensiver wird, steigt um $10 \log 10 = 10$ Dezibel, egal bei welchem Pegel er beginnt.

Rechenschieber: Multiplizieren durch Addieren

Ein Rechenschieber markiert jede Zahl $x$ im Abstand $\log x$ vom Anfang. Verschiebt man eine Skala an der anderen, addiert man zwei Abstände, und nach der Produktregel ist die Summe der Abstände der Logarithmus des Produkts.

Für $2 \cdot 3$ addiert man $\log 2 + \log 3 \approx 0{,}301 + 0{,}477 = 0{,}778$, und genau dort steht die $6$.

Bits an Information

In der Informatik braucht man $\log_2 N$ Bits, um eine von $N$ gleich wahrscheinlichen Möglichkeiten zu speichern. Zwei unabhängige Auswahlen multiplizieren die Möglichkeiten, addieren aber die Bits.

Eine Auswahl aus $8$ Symbolen braucht $\log_2 8 = 3$ Bits, eine Auswahl aus $4$ braucht $2$ Bits, zusammen gibt es $32$ Möglichkeiten: $\log_2 32 = 3 + 2 = 5$ Bits.

Q: Gilt die Produktregel auch für mehr als zwei Faktoren?

A: Ja. Wende sie einfach mehrmals an: $\log_b(MNP) = \log_b M + \log_b N + \log_b P$. Zum Beispiel $\log 42 = \log 2 + \log 3 + \log 7$.

Q: Gilt sie auch für den natürlichen Logarithmus?

A: Ja, sie gilt für jede zulässige Basis, auch für $e$: $\ln(MN) = \ln M + \ln N$. Zum Beispiel $\ln 2 + \ln 5 = \ln 10$.

Q: Gibt es eine Regel für $\log(M + N)$?

A: Nein. Der Logarithmus einer Summe hat im Allgemeinen keine einfachere Form. $\log(6 + 4) = \log 10 = 1$, aber $\log 6 + \log 4 \approx 1{,}380$.

Q: Was ist der Unterschied zur Quotienten- und zur Potenzregel?

A: Sie sind Geschwister derselben Idee. Die Produktregel macht aus Multiplikation eine Addition, die Quotientenregel für Logarithmen macht aus Division eine Subtraktion, die Potenzregel für Logarithmen macht aus einer Potenz eine Multiplikation mit dem Exponenten.