Karten ziehen ohne Zurücklegen

Ein Standardkartenspiel hat 52 Karten. Du ziehst 2 Karten ohne Zurücklegen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Karten Herz sind?

Finde P(erstes Herz): Es gibt 13 Herz-Karten von 52 Karten = $P(H_1) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$

Finde P(zweites Herz | erstes war Herz): Nach dem Ziehen von 1 Herz: 12 Herz bleiben, 51 Karten insgesamt = $P(H_2 | H_1) = \frac{12}{51}$

Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten: $P(H_1 \text{ und } H_2) = \frac{13}{52} \times \frac{12}{51}$ = $= \frac{156}{2652}$

Vereinfache: $\frac{156}{2652} = \frac{1}{17}$ = $\approx 0{,}059$ oder etwa $5{,}9\%$

Answer: Die Wahrscheinlichkeit, 2 Herz-Karten hintereinander zu ziehen, ist $\frac{1}{17}$ oder ungefähr $5{,}9\%$

Auswahl aus einer Gruppe

Ein Beutel enthält 6 rote Murmeln und 4 blaue Murmeln. Du ziehst 2 Murmeln ohne Zurücklegen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine rote, dann eine blaue Murmel zu ziehen?

Finde P(rot zuerst): 6 rote Murmeln von 10 insgesamt = $P(R) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Finde P(blau als zweites | rot zuerst): Nach Entnahme einer roten: 4 blaue von 9 verbleibenden = $P(B | R) = \frac{4}{9}$

Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten: $P(R \text{ dann } B) = \frac{3}{5} \times \frac{4}{9}$ = $= \frac{12}{45}$

Vereinfache: $\frac{12}{45} = \frac{4}{15}$ = $\approx 0{,}267$ oder etwa $26{,}7\%$

Answer: Die Wahrscheinlichkeit ist $\frac{4}{15}$ oder ungefähr $26{,}7\%$

Drei abhängige Ereignisse

Ein Glas enthält 5 rote, 3 grüne und 2 gelbe Bonbons. Du nimmst 3 Bonbons ohne Zurücklegen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, rot, dann grün, dann gelb zu nehmen?

Finde P(rot zuerst): 5 rote von 10 insgesamt = $P(R) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Finde P(grün als zweites | rot zuerst): 3 grüne von 9 verbleibenden = $P(G | R) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Finde P(gelb als drittes | rot dann grün): 2 gelbe von 8 verbleibenden = $P(Y | R,G) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Multipliziere alle Wahrscheinlichkeiten: $P(R,G,Y) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{4}$ = $= \frac{1}{24} \approx 4{,}2\%$

Answer: Die Wahrscheinlichkeit ist $\frac{1}{24}$ oder ungefähr $4{,}2\%$

Mistake: Den gleichen Nenner für beide Ereignisse verwenden

Why: Beim Ziehen ohne Zurücklegen verringert sich die Gesamtzahl der Elemente. 52 für beide Kartenziehungen zu verwenden ignoriert diese Änderung.

Correct: Nach der ersten Ziehung den Nenner reduzieren. Zweite Ziehung aus 51 Karten, dritte aus 50 Karten usw.

Mistake: Vergessen, den Zähler anzupassen

Why: Wenn du zuerst ein Herz ziehst, sind nur noch 12 Herz übrig, nicht 13. Das erste Ereignis verändert, was bleibt.

Correct: Beim Ziehen derselben Kategorie sowohl Zähler ALS AUCH Nenner reduzieren. Bei unterschiedlicher Kategorie nur den Nenner reduzieren.

Mistake: Abhängige Ereignisse als unabhängig behandeln

Why: Die Verwendung von $P(A) \times P(B)$ statt $P(A) \times P(B|A)$ gibt falsche Antworten für abhängige Ereignisse.

Correct: Frage immer: Verändert das erste Ereignis, was für das zweite verfügbar ist? Wenn ja, sind die Ereignisse abhängig.

Qualitätskontrolle

Fabriken testen Produktproben. Jedes getestete Element wird aus der Charge entfernt, wodurch nachfolgende Auswahlen abhängig werden.

Eine Kiste hat 100 Glühbirnen, 5 defekt. Test von 3 ohne Zurücklegen: $P(\text{alle gut}) = \frac{95}{100} \times \frac{94}{99} \times \frac{93}{98}$

Kartenspiel-Strategien

Professionelle Kartenspieler verfolgen, welche Karten gespielt wurden, um verbleibende Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.

Beim Blackjack: Wenn 3 Asse aus einem einzelnen Kartenspiel ausgeteilt wurden, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die nächste Karte ein Ass ist, $\frac{1}{49}$, nicht $\frac{4}{52}$.

Ausschussmitglieder auswählen

Bei der Auswahl von Personen für Ausschüsse verringert jede Auswahl den Pool für nachfolgende Wahlen.

Aus 8 Männern und 6 Frauen, 2 Personen auswählen: $P(\text{beide Frauen}) = \frac{6}{14} \times \frac{5}{13}$

Q: Wie erkenne ich, ob Ereignisse abhängig oder unabhängig sind?

A: Frage: Verändert das erste Ereignis, was für das zweite möglich ist? Karten ohne Zurücklegen ziehen ist abhängig (Stapel schrumpft). Zweimal würfeln ist unabhängig (erster Wurf beeinflusst zweiten nicht).

Q: Was bedeutet 'ohne Zurücklegen'?

A: Es bedeutet, dass du das Element nach der Auswahl nicht zurücklegst. Dies verändert die Wahrscheinlichkeiten für nachfolgende Auswahlen, weil sowohl die Gesamtzahl als auch möglicherweise die Anzahl der gewünschten Elemente abnehmen.

Q: Können Ereignisse auch mit Zurücklegen abhängig sein?

A: Ja! Wenn das Ergebnis eines Ereignisses Informationen liefert, die die Wahrscheinlichkeit eines anderen verändern, sind sie abhängig. Zum Beispiel beeinflusst das Wissen, dass es heute geregnet hat, die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen regnet.