Fairer Würfelwurf

Was ist der Erwartungswert beim Würfeln mit einem fairen sechsseitigen Würfel?

Liste alle Ergebnisse und ihre Wahrscheinlichkeiten auf: Ergebnisse: $1, 2, 3, 4, 5, 6$. Jedes hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$ = 6 gleich wahrscheinliche Ergebnisse

Wende die Erwartungswertformel an: $E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}$ = Summe der gewichteten Ergebnisse

Vereinfache die Berechnung: $E(X) = \frac{1}{6}(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = \frac{21}{6}$ = $\frac{21}{6} = 3{,}5$

Answer: $E(X) = 3{,}5$. Im Durchschnitt erwartest du, 3,5 zu würfeln (auch wenn du nie tatsächlich 3,5 würfeln kannst)!

Lotterielos

Ein Lotterielos kostet 2 Euro. Du hast eine 1% Chance, 100 Euro zu gewinnen, und eine 99% Chance, nichts zu gewinnen. Was ist der Erwartungswert des Kaufs eines Loses?

Identifiziere Ergebnisse und Wahrscheinlichkeiten: Gewinn: 100 Euro mit $P = 0{,}01$. Verlust: 0 Euro mit $P = 0{,}99$ = Zwei mögliche Ergebnisse

Berechne den erwarteten Gewinn: $E(\text{Gewinn}) = 100 \cdot 0{,}01 + 0 \cdot 0{,}99 = 1$ Euro = Erwarteter Gewinn: 1 Euro

Ziehe die Kosten des Loses ab: $E(\text{Profit}) = 1 - 2 = -1$ Euro = Erwarteter Verlust von 1 Euro

Answer: $E(\text{Profit}) = -1$ Euro. Im Durchschnitt verlierst du 1 Euro pro Los. Deshalb sind Lotterien für die Veranstalter profitabel!

Spiel mit gewichteter Münze

Eine manipulierte Münze landet zu 70% auf Kopf. Du gewinnst 5 Euro für Kopf und verlierst 8 Euro für Zahl. Was ist der Erwartungswert eines Wurfs?

Weise Werte und Wahrscheinlichkeiten zu: Kopf: +5 Euro, $P = 0{,}70$. Zahl: $-8$ Euro, $P = 0{,}30$ = Ein positives, ein negatives Ergebnis

Wende die Erwartungswertformel an: $E(X) = 5 \cdot 0{,}70 + (-8) \cdot 0{,}30$ = $E(X) = 3{,}5 + (-2{,}4)$

Berechne das Endergebnis: $E(X) = 3{,}5 - 2{,}4 = 1{,}1$ = $E(X) = 1{,}1$ Euro

Answer: $E(X) = 1{,}1$ Euro. Im Durchschnitt gewinnst du 1,10 Euro pro Wurf. Das ist ein vorteilhaftes Spiel!

Erwartete Versicherungskosten

Eine Versicherung weiß, dass 2% der Kunden einen Schaden melden werden, der durchschnittlich 5000 Euro beträgt. Die Jahresprämie beträgt 150 Euro. Was ist der erwartete Gewinn des Unternehmens pro Kunde?

Berechne die erwartete Auszahlung: $E(\text{Auszahlung}) = 5000 \cdot 0{,}02 + 0 \cdot 0{,}98 = 100$ Euro = Erwartete Zahlung: 100 Euro pro Kunde

Berechne den erwarteten Gewinn: $E(\text{Gewinn}) = \text{Prämie} - E(\text{Auszahlung})$ = $E(\text{Gewinn}) = 150 - 100$

Finde die Antwort: $E(\text{Gewinn}) = 50$ Euro pro Kunde = 50 Euro Gewinn im Durchschnitt

Answer: Die Versicherung erwartet, im Durchschnitt 50 Euro Gewinn pro Kunde zu machen. So bleiben Versicherungsunternehmen im Geschäft!

Mistake: Vergessen, dass der Erwartungswert keine ganze Zahl sein muss (wie 3,5 bei einem Würfel)

Why: Der Erwartungswert ist ein theoretischer Durchschnitt, kein tatsächliches Ergebnis. Du kannst keine 3,5 würfeln, aber über viele Würfe nähert sich dein Durchschnitt 3,5 an.

Correct: Verstehe, dass der Erwartungswert den langfristigen Durchschnitt darstellt, nicht ein bestimmtes Ergebnis, das du erhalten wirst.

Mistake: Gleiche Wahrscheinlichkeiten verwenden, wenn die Ergebnisse nicht gleich wahrscheinlich sind

Why: Eine manipulierte Münze oder ein gewichteter Würfel hat unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten für jedes Ergebnis.

Correct: Prüfe immer, ob die Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Verwende die tatsächliche Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis.

Mistake: Vergessen, die Kosten bei der Berechnung des erwarteten Gewinns abzuziehen

Why: 10 Euro zu gewinnen ist kein Gewinn, wenn du 15 Euro zum Spielen bezahlt hast!

Correct: $E(\text{Gewinn}) = E(\text{Ertrag}) - \text{Kosten}$

Mistake: Wahrscheinlichkeiten addieren statt Ergebnis mit Wahrscheinlichkeit multiplizieren

Why: Die Formel lautet $x \cdot P(x)$, nicht $x + P(x)$.

Correct: Jedes Ergebnis muss mit seiner Wahrscheinlichkeit multipliziert werden, dann addiere alle Produkte.

Casinospiele und Hausvorteil

Casinos gestalten Spiele so, dass der Erwartungswert immer das Haus begünstigt. Beim Roulette bedeutet der Hausvorteil, dass Spieler im Durchschnitt etwa 2,7% (europäisch) oder 5,3% (amerikanisch) ihrer Einsätze verlieren.

Beim europäischen Roulette ergibt ein 10-Euro-Einsatz auf Rot: $E = 10 \cdot \frac{18}{37} + (-10) \cdot \frac{19}{37} \approx -0{,}27$ Euro. Du verlierst im Durchschnitt 27 Cent pro 10-Euro-Einsatz.

Investitionsentscheidungen

Investoren verwenden den Erwartungswert, um verschiedene Anlageoptionen zu vergleichen, indem sie potenzielle Renditen gegen ihre Wahrscheinlichkeiten abwägen.

Aktie A hat eine 60% Chance auf 20% Gewinn und eine 40% Chance auf 10% Verlust. $E(\text{Rendite}) = 0{,}20 \cdot 0{,}60 + (-0{,}10) \cdot 0{,}40 = 0{,}08 = 8\%$ erwartete Rendite.

Spielshow-Strategie

Spielshow-Kandidaten verwenden den Erwartungswert, um zu entscheiden, ob sie einen garantierten Preis behalten oder ihn für eine Chance auf etwas Größeres riskieren sollen.

Du hast 1000 Euro gewonnen. Du kannst sie behalten oder eine Münze werfen: Kopf gewinnt 2500 Euro, Zahl gewinnt nichts. $E(\text{Wurf}) = 2500 \cdot 0{,}5 + 0 \cdot 0{,}5 = 1250$ Euro. Mathematisch gesehen solltest du werfen!

Q: Warum ist der Erwartungswert eines Würfels 3,5, wenn ich niemals 3,5 würfeln kann?

A: Der Erwartungswert ist der Durchschnitt über viele Versuche, nicht ein einzelnes Ergebnis. Wenn du einen Würfel 1000 Mal wirfst und alle Ergebnisse mittels, wirst du sehr nahe an 3,5 kommen. Es ist das theoretische Zentrum der Verteilung.

Q: Wie unterscheidet sich der Erwartungswert vom Modus oder Median?

A: Der Erwartungswert (Mittelwert) gewichtet Ergebnisse nach ihrer Wahrscheinlichkeit. Der Modus ist das wahrscheinlichste Ergebnis, und der Median ist der mittlere Wert. Für einen fairen Würfel: Mittelwert = 3,5, Modus = keiner (alle gleich wahrscheinlich), Median = 3,5.

Q: Kann der Erwartungswert negativ sein?

A: Ja! Wenn Verluste die Gewinne im Durchschnitt überwiegen, ist der Erwartungswert negativ. Die meisten Glücksspiele haben für Spieler einen negativen Erwartungswert, weshalb Casinos profitabel sind.

Q: Sollte ich immer die Option mit dem höchsten Erwartungswert wählen?

A: Nicht unbedingt. Der Erwartungswert ignoriert die Risikotoleranz. Würdest du deine gesamten Ersparnisse auf einen Münzwurf setzen, der sie verdoppelt oder verliert? Der Erwartungswert ist positiv, aber die meisten Menschen würden dieses Risiko nicht eingehen.