Einführung in Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Bei einer gültigen Wahrscheinlichkeitsverteilung müssen alle Wahrscheinlichkeiten sich summieren zu:
1. a)100
2. b)1
3. c)0
4. d)Es hängt von der Anzahl der Ergebnisse ab
Lösung: 1
Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in einer Verteilung muss 1 (oder 100%) ergeben. Dies stellt sicher, dass eines der Ergebnisse definitiv eintritt.
2.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine beliebige Zahl mit einem fairen 6-seitigen Würfel zu würfeln?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Ein fairer Würfel hat 6 gleich wahrscheinliche Ergebnisse. Jede Seite hat eine Wahrscheinlichkeit von gewürfelt zu werden.
3.
Wenn die Wahrscheinlichkeiten in einer Verteilung , und sind, welche Wahrscheinlichkeit fehlt?
Lösung: 0.1
. Da sich Wahrscheinlichkeiten zu 1 summieren müssen, ist die fehlende Wahrscheinlichkeit .
4.
Welche Art von Verteilung hat alle Ergebnisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit?
1. a)Poisson-Verteilung
2. b)Gleichverteilung
3. c)Normalverteilung
4. d)Binomialverteilung
Lösung: Gleichverteilung
Eine Gleichverteilung ist eine, bei der alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Ein fairer Würfel ist ein Beispiel - jede Zahl hat Wahrscheinlichkeit .
5.
Wie viele Gesamtergebnisse sind möglich, wenn man zwei Würfel wirft?
Lösung: 36
Würfel 1 hat 6 Optionen, Würfel 2 hat 6 Optionen. Gesamtergebnisse = .
6.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln eine Summe von 7 zu würfeln? Schreibe als gekürzten Bruch (z.B. 1/6).
Lösung: 1/6
Es gibt 6 Möglichkeiten, eine Summe von 7 zu würfeln: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Bei 36 Gesamtergebnissen: .
7.
Welche Summe ist beim Würfeln mit zwei Würfeln am WAHRSCHEINLICHSTEN?
1. a)12
2. b)7
3. c)2
4. d)6
Lösung: 2
Die Summe 7 hat die meisten Kombinationen (6 Möglichkeiten) und ist daher am wahrscheinlichsten. Summe 2 und 12 haben jeweils nur 1 Möglichkeit.
8.
Ein Beutel enthält 3 rote, 2 blaue und 5 grüne Murmeln. Erstelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Ziehen einer Murmel.
Lösung: P(red)=0.3, P(blue)=0.2, P(green)=0.5
1. Wie viele Murmeln sind insgesamt im Beutel? 10
2. Was ist P(rot)? Schreibe als Dezimalzahl. 0.3
3. Was ist P(blau)? Schreibe als Dezimalzahl. 0.2
4. Was ist P(grün)? Schreibe als Dezimalzahl. 0.5
9.
Berechne den Erwartungswert beim Würfeln mit einem fairen Würfel.
Lösung: 3.5
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses? 1/6
2. Berechne: 1
3. Berechne: 2.5
4. Addiere die beiden Teile, um zu erhalten 3.5
10.
Ein Spiel kostet 5 Euro zum Spielen. Du gewinnst 20 Euro, wenn du eine 6 würfelst, sonst gewinnst du nichts. Was ist der erwartete Gewinn pro Spiel?
1. a) Euro
2. b) Euro (etwa Euro)
3. c) Euro
4. d) Euro (etwa Euro)
Lösung: Euro (etwa Euro)
Euro. Du verlierst im Durchschnitt!
11.
Eine Fabrik produziert Artikel mit einer Fehlerquote von 4%. In einer Charge von 250 Artikeln, wie viele defekte Artikel werden erwartet?
Lösung: 10
1. Wandle 4% in eine Dezimalzahl um 0.04
2. Wie viele Artikel sind in der Charge? 250
3. Berechne: 10
12.
Eine Münze ist so manipuliert, dass P(Kopf) = 0,6 und P(Zahl) = 0,4. Wenn Kopf 3 Euro gewinnt und Zahl 2 Euro verliert, was ist der Erwartungswert pro Wurf?
Lösung: 1
Euro. Im Durchschnitt gewinnst du 1 Euro pro Wurf!
13.
Ein Lottoschein kostet 2 Euro. Du hast eine 1%ige Chance, 100 Euro zu gewinnen, 5%ige Chance, 10 Euro zu gewinnen, und sonst gewinnst du nichts. Ist dies ein faires Spiel?
Lösung: No, expected profit is -0.5 euros
1. Was ist P(100 gewinnen)? 0.01
2. Was ist P(10 gewinnen)? 0.05
3. Was ist P(0 gewinnen)? 0.94
4. Berechne den erwarteten Gewinn: 1.5
5. Ziehe die Ticketkosten vom erwarteten Gewinn ab -0.5
14.
Welche Aussage über den Erwartungswert ist FALSCH?
1. a)Der Erwartungswert kann negativ sein
2. b)Der Erwartungswert ist immer eines der möglichen Ergebnisse
3. c)Der Erwartungswert repräsentiert den langfristigen Durchschnitt
4. d)Der Erwartungswert ist ein gewichteter Durchschnitt der Ergebnisse
Lösung: Der Erwartungswert ist immer eines der möglichen Ergebnisse
FALSCH: Der Erwartungswert ist NICHT immer ein mögliches Ergebnis. Für einen Würfel ist , aber du kannst keine 3,5 würfeln! Der Erwartungswert ist ein theoretischer Durchschnitt, nicht unbedingt ein erreichbares Ergebnis.
15.
Eine Versicherungsgesellschaft weiß, dass 2% der Kunden Ansprüche mit einem Durchschnitt von 8000 Euro stellen. Sie berechnen jedem Kunden eine jährliche Prämie von 200 Euro. Mit 5000 Kunden, was ist ihr erwarteter Jahresgewinn?
Lösung: 200000
1. Berechne das Gesamtprämieneinnahmen: 1000000
2. Wie viele Kunden werden voraussichtlich Ansprüche stellen? 100
3. Berechne die erwarteten Auszahlungen: 800000
4. Berechne den erwarteten Gewinn: Einnahmen - Auszahlungen 200000