Wahrscheinlichkeiten bei der Normalverteilung

**Wahrscheinlichkeiten bei der Normalverteilung** beantworten Fragen wie "Welcher Anteil der Flaschen enthält weniger als 494 mL?", wenn eine Größe $X$ einer **Normalverteilung** mit Mittelwert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ folgt, gemessen in echten Einheiten (cm, Punkte, Stunden, mL). Die Wahrscheinlichkeit ist die **Fläche unter der Glockenkurve** über den gefragten Werten. Jede Normalverteilungskurve wird mit einem einzigen Schritt zur Kurve der Standardnormalverteilung, deshalb brauchst du immer nur eine z-Tabelle. ## Das Vier-Schritte-Verfahren 1. **Skizzieren und schraffieren**: links von $a$, rechts von $a$ oder zwischen $a$ und $b$. 2. **Standardisieren**: Rechne jeden Wert in einen **z-Wert** um $$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$ 3. **z-Tabelle ablesen**: Sie gibt die Fläche **links** von $z$ an, also $P(Z < z)$ (siehe die Lektion zur Standardnormalverteilung). 4. **An den Bereich anpassen**: - Links: $P(X < a) = P(Z < z_a)$ - Rechts: $P(X > a) = 1 - P(Z < z_a)$ - Dazwischen: $P(a < X < b) = P(Z < z_b) - P(Z < z_a)$ ## Rückwärts rechnen: Perzentile und Grenzwerte Manchmal ist die Fläche gegeben und der Wert fehlt ("Ab welchem Ergebnis gehört man zu den besten 10 %?"). Suche in der Tabelle den z-Wert mit passender linker Fläche und rechne dann in echte Einheiten zurück: $$x = \mu + z\sigma$$ Eine Wahrscheinlichkeit von $0{,}9332$ bedeutet auch **93,32 % der Grundgesamtheit**, so lässt sich jedes Ergebnis als Anteil von Menschen, Flaschen oder Akkus lesen.

Linke Fläche: kleiner als 174 cm

Die Körpergröße von Frauen in einem Land ist normalverteilt mit $\mu = 165$ cm und $\sigma = 6$ cm. Welcher Anteil der Frauen ist kleiner als 174 cm?

Skizzieren und schraffieren: Schraffiere die Fläche links von 174 cm, das liegt rechts vom Mittelwert 165 cm = Das Ergebnis muss größer als 0,5 sein

Standardisieren: $z = \frac{174 - 165}{6} = \frac{9}{6}$ = $z = 1{,}5$

z-Tabelle ablesen: Zeile 1,5, Spalte 0,00 = $P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332$

Deuten: Eine linke Fläche muss nicht angepasst werden = $P(X < 174) = 0{,}9332$

Answer: $P(X < 174) = 0{,}9332$: Etwa 93,32 % der Frauen sind kleiner als 174 cm.

Rechte Fläche: Akkus mit über 14 Stunden Laufzeit

Ein Handyakku hält im Mittel $\mu = 12$ Stunden mit $\sigma = 1{,}6$ Stunden, normalverteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Akku länger als 14 Stunden hält?

Skizzieren und schraffieren: Schraffiere den rechten Rand ab 14 Stunden = Eine kleine Fläche, kleiner als 0,5

Standardisieren: $z = \frac{14 - 12}{1{,}6} = \frac{2}{1{,}6}$ = $z = 1{,}25$

z-Tabelle ablesen: Zeile 1,2, Spalte 0,05 = $P(Z < 1{,}25) = 0{,}8944$

Gegenwahrscheinlichkeit bilden: Die Tabelle liefert die linke Fläche, also ziehst du von 1 ab: $1 - 0{,}8944$ = $P(X > 14) = 0{,}1056$

Answer: $P(X > 14) = 0{,}1056$: Etwa 10,56 % der Akkus halten länger als 14 Stunden.

Fläche zwischen zwei Werten: Prüfungsergebnisse

Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit $\mu = 70$ und $\sigma = 8$. Wie viel Prozent der Schülerinnen und Schüler erreichen zwischen 62 und 86 Punkten?

Unteren Wert standardisieren: $z_1 = \frac{62 - 70}{8} = \frac{-8}{8}$ = $z_1 = -1$

Oberen Wert standardisieren: $z_2 = \frac{86 - 70}{8} = \frac{16}{8}$ = $z_2 = 2$

Beide linken Flächen ablesen: $P(Z < 2) = 0{,}9772$ und $P(Z < -1) = 0{,}1587$ = Zwei Tabellenwerte

Subtrahieren: große linke Fläche minus kleine linke Fläche: $0{,}9772 - 0{,}1587$ = $0{,}8185$

Answer: $P(62 < X < 86) = 0{,}8185$, also erreichen etwa 81,85 % zwischen 62 und 86 Punkten.

Umkehraufgabe: das Ergebnis für die besten 10 %

Bei derselben Prüfung ($\mu = 70$, $\sigma = 8$) bekommen die besten 10 % eine Urkunde. Was ist das niedrigste Ergebnis, das eine Urkunde bringt?

Die besten 10 % in eine linke Fläche umwandeln: 10 % rechts bedeutet $1 - 0{,}10 = 0{,}90$ links = Suche 0,90 im Inneren der Tabelle

z in der Tabelle finden: Der nächste Tabellenwert ist $0{,}8997$, in Zeile 1,2 und Spalte 0,08 = $z \approx 1{,}28$

In echte Einheiten zurückrechnen: $x = \mu + z\sigma = 70 + 1{,}28 \cdot 8 = 70 + 10{,}24$ = $x = 80{,}24$

Answer: Ab etwa 80,24 Punkten gehört man zu den besten 10 %. Bei ganzen Punkten braucht man 81.

Von der Wahrscheinlichkeit zur Anzahl: zu wenig gefüllte Flaschen

Eine Maschine füllt Flaschen mit $\mu = 500$ mL und $\sigma = 4$ mL. Sie füllt 2000 Flaschen am Tag. Wie viele Flaschen enthalten ungefähr weniger als 494 mL?

Standardisieren: $z = \frac{494 - 500}{4} = \frac{-6}{4}$ = $z = -1{,}5$

z-Tabelle ablesen: Zeile -1,5, Spalte 0,00 = $P(Z < -1{,}5) = 0{,}0668$

Mit der Anzahl der Flaschen multiplizieren: $0{,}0668 \cdot 2000$ = $133{,}6$

Answer: Etwa 134 Flaschen pro Tag (6,68 % von 2000) enthalten weniger als 494 mL.

Wahrscheinlichkeiten der Normalverteilung machen aus Mittelwert und Standardabweichung konkrete Entscheidungen: - **Produktion**: Welcher Anteil der Flaschen ist zu wenig gefüllt, und wie stellt man die Maschine ein, damit es fast keine sind? - **Gesundheit**: Ärztinnen und Ärzte vergleichen Größe oder Gewicht eines Kindes mit Wachstumskurven, die Perzentile einer Normalverteilung sind - **Bildung**: Prüfungsämter legen fest, ab welcher Punktzahl man zu den besten 10 % gehört oder wie viele bestehen - **Produkte**: Eine Firma kann "90 % der Akkus halten mindestens 18 Stunden" erst nach dieser Rechnung versprechen - **Sport und Wissenschaft**: Ob ein Ergebnis ungewöhnlich ist, hängt davon ab, wie viel Fläche jenseits davon liegt Dieselben vier Schritte lösen all diese Fragen, egal in welchen Einheiten.

Mistake: Bei einer "größer als"-Frage den Tabellenwert direkt nehmen, zum Beispiel $P(X > 14) = 0{,}8944$

Why: Die z-Tabelle gibt immer die Fläche LINKS von $z$ an. Der rechte Rand ist der ganze Rest.

Correct: Ziehe von 1 ab: $P(X > 14) = 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056$. Eine schnelle Skizze zeigt, dass der rechte Rand klein ist, also kann 0,8944 nicht stimmen.

Mistake: Zuerst die z-Werte subtrahieren: $P(-1 < Z < 2) = P(Z < 2 - (-1)) = P(Z < 3)$

Why: So funktionieren Flächen unter einer Kurve nicht. Du brauchst die Fläche bis zu jeder Grenze und dann die Differenz dieser Flächen.

Correct: Lies beide linken Flächen ab und subtrahiere sie: $0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$.

Mistake: In der falschen Reihenfolge standardisieren oder durch die falsche Zahl teilen: $z = \frac{\mu - x}{\sigma}$ oder $z = \frac{x - \mu}{\sigma^2}$

Why: Vertauschst du die Subtraktion, kehrt sich das Vorzeichen um und du landest auf der falschen Seite des Mittelwerts. Teilst du durch die Varianz, stimmt der Abstand nicht.

Correct: Immer $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$: Werte über dem Mittelwert haben ein positives $z$, Werte darunter ein negatives $z$.

Mistake: Bei Umkehraufgaben den Prozentsatz als z-Wert nehmen (z = 0,90) oder den falschen Rand wählen (z = -1,28 für die besten 10 %)

Why: Der Prozentsatz ist eine FLÄCHE, die du im Inneren der Tabelle suchst. Den z-Wert liest du an den Rändern der Zeilen und Spalten ab.

Correct: Die besten 10 % bedeuten 0,90 links, das ergibt $z \approx 1{,}28$ (positiv, über dem Mittelwert). Die schwächsten 10 % ergeben $z \approx -1{,}28$.

Qualitätskontrolle: zu wenig gefüllte Dosen

Getränkehersteller prüfen, welcher Anteil der Dosen unter der aufgedruckten Füllmenge liegt, und stellen die Abfüllanlagen nach.

Eine Anlage füllt Dosen mit $\mu = 330$ mL und $\sigma = 2$ mL. Jede Dose unter 327 mL gilt als zu wenig gefüllt.

Wachstumskurven beim Kinderarzt

Kinderärztinnen und Kinderärzte vergleichen Babys mit Wachstumskurven. Jede Kurve darauf ist ein Perzentil einer Normalverteilung.

Das Gewicht von 6 Monate alten Babys in einer Studie ist etwa normalverteilt mit $\mu = 8$ kg und $\sigma = 0{,}5$ kg. Ein Baby unter dem 10. Perzentil wird zusätzlich untersucht.

Planung eines Stadtmarathons

Veranstalter schätzen, wie viele Läuferinnen und Läufer zu bestimmten Zeiten auf der Strecke sind, um Verpflegungsstände und Personal zu planen.

Die Zielzeiten sind etwa normalverteilt mit $\mu = 240$ Minuten und $\sigma = 30$ Minuten. Die Veranstalter wollen den Anteil kennen, der zwischen 225 und 285 Minuten ins Ziel kommt.

Für eine Wahrscheinlichkeit der Normalverteilung skizzierst du den Bereich, standardisierst mit $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$, liest die z-Tabelle ab und passt an

Die z-Tabelle liefert die LINKE Fläche: $P(X < a) = P(Z < z_a)$

Rechter Rand: $P(X > a) = 1 - P(Z < z_a)$

Zwischen zwei Werten: $P(a < X < b) = P(Z < z_b) - P(Z < z_a)$

Umkehraufgaben: z zur gegebenen Fläche im Inneren der Tabelle suchen, dann $x = \mu + z\sigma$ (beste 10 % heißt $z \approx 1{,}28$)

Eine Wahrscheinlichkeit ist auch ein Anteil der Grundgesamtheit: $0{,}0668$ von 2000 Flaschen sind etwa 134 Flaschen

Q: Ist $P(X < 174)$ etwas anderes als $P(X \le 174)$?

A: Nein. Bei einer stetigen Größe hat ein einzelner Wert die Wahrscheinlichkeit 0, deshalb ergeben $<$ und $\le$ dieselbe Fläche. Bei der Binomialverteilung ist das anders, dort spielt es eine Rolle.

Q: Mein z-Wert hat drei Nachkommastellen, zum Beispiel 1,645. Was mache ich?

A: Runde für die Tabelle auf zwei Nachkommastellen oder nimm einen Wert zwischen den beiden benachbarten Einträgen. Für $z = 1{,}645$ liegen 0,9495 und 0,9505 gleich nah, also ist 0,95 eine gute Antwort.

Q: Was mache ich, wenn der z-Wert außerhalb der Tabelle liegt, etwa $z = 4$?

A: Tabellen enden meist bei etwa 3,49. Darüber hinaus ist die linke Fläche praktisch 1 (bei großem positivem z) oder praktisch 0 (bei großem negativem z). Solche Werte sind extrem selten.

Q: Warum gibt ein Perzentil die Fläche links an?

A: Das 90. Perzentil ist der Wert, unter dem 90 % der Grundgesamtheit liegen. "Darunter" ist die linke Seite der Kurve, und genau die misst die z-Tabelle.

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Wahrscheinlichkeiten bei der Normalverteilung

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Wahrscheinlichkeit / Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Wahrscheinlichkeiten bei der Normalverteilung

Berechne Wahrscheinlichkeiten und Perzentile für normalverteilte Größen in echten Einheiten: standardisieren, z-Tabelle ablesen und rückwärts zu Grenzwerten rechnen.

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