Stichprobenverteilungen

Ein **Parameter** ist eine Zahl, die eine ganze **Grundgesamtheit** beschreibt, zum Beispiel den Mittelwert (Erwartungswert) $\mu$, die Standardabweichung $\sigma$ oder den Anteil $p$ der Grundgesamtheit. Ein **Stichprobenkennwert** (eine Statistik) wird aus einer **Stichprobe** berechnet, zum Beispiel der Stichprobenmittelwert $\bar{x}$ oder der Stichprobenanteil $\hat{p}$. Der Parameter ist fest (aber meist unbekannt), der Kennwert ändert sich von Stichprobe zu Stichprobe. Die **Stichprobenverteilung** eines Kennwerts ist die Verteilung seiner Werte über alle möglichen Zufallsstichproben desselben Umfangs $n$. ## Stichprobenverteilung des Mittelwerts $\bar{x}$ - **Lage:** $\mu_{\bar{x}} = \mu$ (die Stichprobenmittelwerte liegen um den Mittelwert der Grundgesamtheit) - **Streuung:** $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$, der **Standardfehler** - **Form (zentraler Grenzwertsatz):** Ist die Grundgesamtheit normalverteilt, ist $\bar{x}$ für jedes $n$ normalverteilt. Wenn nicht, ist $\bar{x}$ bei großem $n$ trotzdem annähernd normalverteilt, meist ab $n \geq 30$. Eine Wahrscheinlichkeit für einen Stichprobenmittelwert berechnest du daher mit dem z-Wert $$z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$$ ## Stichprobenverteilung des Anteils $\hat{p}$ - **Lage:** $\mu_{\hat{p}} = p$ - **Streuung:** $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$ - **Form:** annähernd normalverteilt, wenn $np \geq 10$ und $n(1-p) \geq 10$ Diese Formeln setzen eine Zufallsstichprobe mit unabhängigen Werten voraus (in der Praxis: die Stichprobe umfasst weniger als etwa 10 % der Grundgesamtheit).

Parameter oder Kennwert?

Eine Schule hat 1200 Schülerinnen und Schüler. Ihre mittlere Körpergröße beträgt 165 cm. Ein Klassenprojekt misst eine Zufallsstichprobe von 50 Lernenden und erhält einen Mittelwert von 163,2 cm. Welche Zahl ist ein Parameter, welche ein Stichprobenkennwert?

Finde die Zahl, die die ganze Grundgesamtheit beschreibt: 165 cm ist der Mittelwert aller 1200 Lernenden = Parameter: $\mu = 165$ cm

Finde die Zahl, die aus der Stichprobe stammt: 163,2 cm ist der Mittelwert der 50 gemessenen Lernenden = Kennwert: $\bar{x} = 163{,}2$ cm

Denk an eine zweite Stichprobe: Eine andere Zufallsstichprobe von 50 Lernenden ergäbe einen etwas anderen Mittelwert, zum Beispiel 166,0 cm = $\bar{x}$ schwankt, $\mu$ bleibt fest

Answer: $\mu = 165$ cm ist der Parameter, $\bar{x} = 163{,}2$ cm ist ein Stichprobenkennwert. Der Kennwert ändert sich von Stichprobe zu Stichprobe, und genau das beschreibt eine Stichprobenverteilung.

Lage und Standardfehler des Stichprobenmittelwerts

Prüfungsergebnisse haben den Mittelwert $\mu = 70$ und die Standardabweichung $\sigma = 15$. Du ziehst Zufallsstichproben von $n = 36$ Lernenden. Bestimme den Mittelwert und den Standardfehler von $\bar{x}$. Was passiert bei $n = 100$?

Lage der Stichprobenverteilung: $\mu_{\bar{x}} = \mu$ = $\mu_{\bar{x}} = 70$

Standardfehler für $n = 36$: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{15}{\sqrt{36}} = \dfrac{15}{6}$ = $\sigma_{\bar{x}} = 2{,}5$

Standardfehler für $n = 100$: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{15}{\sqrt{100}} = \dfrac{15}{10}$ = $\sigma_{\bar{x}} = 1{,}5$

Answer: Die Stichprobenmittelwerte liegen um 70. Ihr Standardfehler beträgt 2,5 bei $n = 36$ und nur 1,5 bei $n = 100$: Größere Stichproben liefern Mittelwerte, die näher an $\mu$ bleiben.

Wann ist der Stichprobenmittelwert normalverteilt?

Die Wartezeiten in einem Callcenter sind stark rechtsschief mit $\mu = 8$ Minuten und $\sigma = 6$ Minuten. Beschreibe die Stichprobenverteilung von $\bar{x}$ für Stichproben von $n = 4$ Anrufen und von $n = 40$ Anrufen.

Lage für beide Stichprobenumfänge: $\mu_{\bar{x}} = \mu$, egal wie groß $n$ ist = Lage 8 Minuten

Standardfehler für $n = 4$: $\dfrac{6}{\sqrt{4}} = \dfrac{6}{2}$ = 3 Minuten

Form für $n = 4$: Die Grundgesamtheit ist nicht normalverteilt und $n = 4$ ist klein, also hilft der zentrale Grenzwertsatz noch nicht = Immer noch rechtsschief

Standardfehler und Form für $n = 40$: $\dfrac{6}{\sqrt{40}} \approx \dfrac{6}{6{,}32}$, und $n = 40 \geq 30$ = Etwa 0,95 Minuten, annähernd normalverteilt

Answer: Beide Verteilungen liegen um 8 Minuten. Bei $n = 4$ streuen die Mittelwerte stark (Standardfehler 3) und sind noch schief; bei $n = 40$ liegen sie eng beieinander (Standardfehler etwa 0,95) und sind nach dem zentralen Grenzwertsatz annähernd normalverteilt.

Wahrscheinlichkeit für einen Stichprobenmittelwert

Handyakkus halten im Mittel $\mu = 50$ Stunden mit $\sigma = 12$ Stunden. Ein Geschäft testet eine Zufallsstichprobe von 36 Akkus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Stichprobenmittelwert unter 47 Stunden liegt? Vergleiche mit der Wahrscheinlichkeit, dass EIN Akku weniger als 47 Stunden hält.

Prüfe die Form: $n = 36 \geq 30$, also ist $\bar{x}$ nach dem zentralen Grenzwertsatz annähernd normalverteilt = Wir dürfen z-Werte benutzen

Bestimme den Standardfehler: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{12}{\sqrt{36}} = \dfrac{12}{6}$ = 2 Stunden

Berechne den z-Wert von $\bar{x} = 47$: $z = \dfrac{47 - 50}{2}$ = $z = -1{,}5$

Lies die z-Tabelle ab: $P(Z < -1{,}5) = 0{,}0668$ = Etwa 6,7 %

Vergleiche mit einem Akku (falls die Laufzeit normalverteilt ist): $z = \dfrac{47 - 50}{12} = -0{,}25$, $P(Z < -0{,}25) = 0{,}4013$ = Etwa 40 %

Answer: $P(\bar{x} < 47) \approx 0{,}0668$, also nur etwa 6,7 %. Ein einzelner Akku unter 47 Stunden ist häufig (etwa 40 %), aber ein so niedriger Mittelwert von 36 Akkus ist selten, weil Mittelwerte viel weniger schwanken als einzelne Werte.

Stichprobenverteilung eines Anteils

In einer Stadt unterstützen 40 % der Erwachsenen einen neuen Park ($p = 0{,}4$). Eine Zeitung befragt eine Zufallsstichprobe von $n = 100$ Erwachsenen. Beschreibe die Stichprobenverteilung von $\hat{p}$ und bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als die Hälfte der Stichprobe den Park unterstützt.

Prüfe die Bedingungen: $np = 100 \cdot 0{,}4 = 40 \geq 10$ und $n(1-p) = 100 \cdot 0{,}6 = 60 \geq 10$ = Annähernd normalverteilt

Lage und Standardfehler: $\mu_{\hat{p}} = 0{,}4$, $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{0{,}4 \cdot 0{,}6}{100}} = \sqrt{0{,}0024}$ = $\sigma_{\hat{p}} \approx 0{,}049$

Berechne den z-Wert von $\hat{p} = 0{,}5$: $z = \dfrac{0{,}5 - 0{,}4}{0{,}049}$ = $z \approx 2{,}04$

Bestimme die Fläche rechts: $P(Z > 2{,}04) = 1 - 0{,}9793$ = $\approx 0{,}0207$

Answer: $\hat{p}$ ist annähernd normalverteilt mit Mittelwert 0,4 und Standardfehler etwa 0,049. Die Chance, dass die Umfrage eine Mehrheit (mehr als 50 %) zeigt, beträgt nur etwa 2 %.

Fast jede Zahl aus einer Umfrage in den Nachrichten ist ein Stichprobenkennwert, kein Parameter: - **Wahlumfragen**: Eine Umfrage unter 1000 Wählern schätzt den Anteil unter allen Wählern. Der Standardfehler sagt dir, wie weit die Umfrage wahrscheinlich von der Wahrheit entfernt ist. - **Qualitätskontrolle**: Eine Fabrik prüft das mittlere Gewicht einer Stichprobe von Packungen, statt jede Packung zu wiegen. - **Medizin**: Eine klinische Studie misst die mittlere Wirkung an einigen hundert Patienten und zieht Schlüsse für alle. - **Naturwissenschaften**: Der Mittelwert wiederholter Messungen verringert zufällige Fehler. Die Kernidee: Der Standardfehler $\sigma / \sqrt{n}$ wird kleiner, wenn die Stichprobe wächst. Viermal so viele Personen halbieren den Fehler, deshalb sind größere Umfragen genauer. Der zentrale Grenzwertsatz erlaubt dir dann, die Normalverteilung, z-Werte und die z-Tabelle zu benutzen, die du schon kennst, auch wenn die Grundgesamtheit selbst nicht normalverteilt ist.

Mistake: Bei einer Frage zum Stichprobenmittelwert $\sigma$ statt $\sigma / \sqrt{n}$ verwenden

Why: $\sigma$ ist die Streuung einzelner Werte. Mittelwerte schwanken viel weniger, mit $\sigma$ wirken ungewöhnliche Mittelwerte viel zu wahrscheinlich.

Correct: Teile bei $\bar{x}$ immer durch den Standardfehler: $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$. Für einen einzelnen Wert gilt $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$.

Mistake: Durch $n$ statt durch $\sqrt{n}$ teilen

Why: Mit $\sigma = 12$ und $n = 36$ ergibt die Division durch $n$ den Wert $0{,}33$ statt des richtigen Standardfehlers $2$, jeder z-Wert wird dadurch 6-mal zu groß.

Correct: Zieh zuerst die Wurzel aus $n$: $\dfrac{12}{\sqrt{36}} = \dfrac{12}{6} = 2$.

Mistake: Glauben, der zentrale Grenzwertsatz mache die Grundgesamtheit oder die Daten normalverteilt

Why: Eine große Stichprobe aus einer schiefen Grundgesamtheit ist immer noch schief: Ihr Histogramm sieht aus wie die Grundgesamtheit. Nur die Verteilung der Stichproben-MITTELWERTE wird normal.

Correct: Der zentrale Grenzwertsatz handelt von der Stichprobenverteilung von $\bar{x}$, nicht von einzelnen Werten.

Mistake: Für $\hat{p}$ die Normalverteilung benutzen, ohne $np \geq 10$ und $n(1-p) \geq 10$ zu prüfen

Why: Mit $p = 0{,}05$ und $n = 40$ ist $np = 2$: Die meisten Stichproben haben 0, 1, 2 oder 3 Treffer, und die Verteilung von $\hat{p}$ ist stark schief.

Correct: Prüfe zuerst beide Bedingungen. Ist eine verletzt, nimm eine größere Stichprobe oder benutze die Binomialverteilung.

Wahlumfragen

Umfrageinstitute befragen etwa 1000 Personen und geben eine Fehlertoleranz an. Diese Toleranz kommt direkt aus dem Standardfehler von $\hat{p}$.

Wenn die wahre Zustimmung $p = 0{,}5$ ist, hat eine Umfrage mit 1000 Personen den Standardfehler $\sqrt{0{,}5 \cdot 0{,}5 / 1000} \approx 0{,}016$, also liegen etwa 95 % solcher Umfragen höchstens rund 3 Prozentpunkte neben der Wahrheit.

Qualitätskontrolle im Café

Abfüllmaschinen für Becher werden mit Mittelwerten kleiner Stichproben überwacht. Liegt ein Mittelwert, gemessen in Standardfehlern, zu weit vom Sollwert entfernt, gibt es Alarm.

Eine Maschine füllt Becher mit $\mu = 250$ mL und $\sigma = 8$ mL. Ein Prüfer misst 16 Becher, der Standardfehler ist also $8 / \sqrt{16} = 2$ mL.

Planung einer medizinischen Studie

Vor Beginn einer Studie wählen Forschende den Stichprobenumfang so, dass der Standardfehler klein genug ist. Wegen der Wurzel braucht man für den halben Fehler viermal so viele Patienten.

Der Blutdruck hat $\sigma = 20$ mmHg. Mit 25 Patienten ist der Standardfehler $20 / 5 = 4$ mmHg, mit 100 Patienten $20 / 10 = 2$ mmHg.

Ein Parameter ($\mu$, $\sigma$, $p$) beschreibt die Grundgesamtheit und ist fest; ein Stichprobenkennwert ($\bar{x}$, $\hat{p}$) stammt aus einer Stichprobe und schwankt von Stichprobe zu Stichprobe

Die Stichprobenverteilung von $\bar{x}$ hat den Mittelwert $\mu$ und den Standardfehler $\sigma / \sqrt{n}$

Zentraler Grenzwertsatz: Ab etwa $n \geq 30$ ist der Stichprobenmittelwert annähernd normalverteilt, egal welche Form die Grundgesamtheit hat; ist die Grundgesamtheit normalverteilt, für jedes $n$

Für eine Wahrscheinlichkeit zum Stichprobenmittelwert benutzt du $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ und die z-Tabelle

Der Stichprobenanteil $\hat{p}$ hat den Mittelwert $p$ und den Standardfehler $\sqrt{p(1-p)/n}$; er ist annähernd normalverteilt, wenn $np \geq 10$ und $n(1-p) \geq 10$

Größere Stichproben liefern genauere Schätzungen: der vierfache Stichprobenumfang halbiert den Standardfehler

Q: Warum steht im Standardfehler $\sqrt{n}$ und nicht $n$?

A: Die Varianz eines Mittelwerts aus $n$ unabhängigen Werten ist $\sigma^2 / n$. Der Standardfehler ist ihre Wurzel: $\sqrt{\sigma^2 / n} = \sigma / \sqrt{n}$. Deshalb brauchst du viermal so viele Werte, um den Fehler zu halbieren.

Q: Ist 30 eine magische Zahl?

A: Nein, das ist eine Faustregel. Ist die Grundgesamtheit schon fast normalverteilt, reichen viel kleinere Stichproben; bei einer sehr schiefen Grundgesamtheit (etwa Einkommen) brauchst du eventuell mehr als 30. Probier es im Simulator aus: Die schiefe Grundgesamtheit braucht ein größeres $n$ als der Würfel.

Q: Was ist der Unterschied zwischen Standardabweichung und Standardfehler?

A: Die Standardabweichung $\sigma$ misst, wie stark einzelne Werte schwanken. Der Standardfehler $\sigma / \sqrt{n}$ misst, wie stark ein Kennwert, etwa der Stichprobenmittelwert, von Stichprobe zu Stichprobe schwankt. Für $n > 1$ ist der Standardfehler immer kleiner.

Q: Spielt die Größe der Grundgesamtheit eine Rolle?

A: Kaum, solange die Stichprobe nur ein kleiner Teil der Grundgesamtheit ist (weniger als etwa 10 %). Eine Zufallsstichprobe von 1000 Personen ist für eine Stadt etwa genauso genau wie für ein ganzes Land. Entscheidend ist der Stichprobenumfang $n$.

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Stichprobenverteilungen

Lerne, wie Stichprobenmittelwerte und Stichprobenanteile von Stichprobe zu Stichprobe schwanken, was der Standardfehler ist und warum sie nach dem zentralen Grenzwertsatz annähernd normalverteilt sind.

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