Mittelwert (Durchschnitt)

Lerne, wie man den Mittelwert berechnet, indem man alle Werte addiert und durch die Anzahl teilt.

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Definition

Der Mittelwert (auch Durchschnitt genannt) ist eine Möglichkeit, einen typischen Wert in einem Datensatz zu finden. Er repräsentiert das "Zentrum" der Daten.
Formel:
Mittelwert=Summe aller WerteAnzahl der Werte\text{Mittelwert} = \frac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}}
Beispiel: Berechne den Mittelwert von 44, 77 und 1010:
Mittelwert=4+7+103=213=7\text{Mittelwert} = \frac{4 + 7 + 10}{3} = \frac{21}{3} = 7
Der Mittelwert ist 77, was den Gleichgewichtspunkt der Daten darstellt.

Probier es gleich aus

Was ist der Mittelwert von 22, 44 und 66?

Lösungsbeispiele

Ein Schüler hat in fünf Tests 8585, 9292, 7878, 8888 und 9292 Punkte erreicht. Was ist der Mittelwert?
1

Addiere alle Punkte

85+92+78+88+92=43585 + 92 + 78 + 88 + 92 = 435 → Summe = 435435
2

Zähle die Anzahl der Tests

Es gibt 55 Testergebnisse → Anzahl = 55
3

Teile die Summe durch die Anzahl

4355=87\frac{435}{5} = 87 → Mittelwert = 8787

Häufige Fehler

Vergessen, alle Werte zu zählen

Warum es falsch ist: Bei einer langen Liste von Zahlen kann man leicht eine übersehen oder falsch zählen.

Richtig: Zähle immer deine Werte, bevor du dividierst. Schreibe sie auf und nummeriere sie: 1., 2., 3....

Durch die Summe statt durch die Anzahl teilen

Warum es falsch ist: Verwechslung der Formel - der Divisor sollte die Anzahl der Werte sein, nicht deren Summe.

Richtig: Merke dir: Mittelwert = Summe ÷ Anzahl (wie viele Zahlen du addiert hast)

Denken, der Mittelwert muss einer der ursprünglichen Werte sein

Warum es falsch ist: Der Mittelwert ist ein berechneter Wert und liegt oft zwischen den Zahlen deines Datensatzes.

Richtig: Der Mittelwert von 44 und 1010 ist 77, was nicht im ursprünglichen Datensatz ist - und das ist in Ordnung!

Interaktive Visualisierung

Balkendiagramm

Testergebnisse

Test 1(85)
Test 2(92)
Test 3(78)
Test 4(88)
Test 5(92)

Mittelwert = 87

Punktdiagramm

Punkte pro Spiel

810121416182022

Jeder Punkt ist ein Wert (insgesamt 6 Werte).

Mittelwert = 15

Tippe auf eine Spalte, um ihre Punkte zu zählen.

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

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Übungsaufgaben

15 Aufgaben
Aufgabe 1 von 15
Einfach
Was ist der Mittelwert von 22, 44 und 66?

Warum es wichtig ist

Der Mittelwert wird überall verwendet, um Daten zusammenzufassen:
  • Schule: Dein Notendurchschnitt ist ein Mittelwert deiner Noten
  • Sport: Die Punkte pro Spiel eines Basketballspielers sind ein Mittelwert
  • Wetter: Die durchschnittliche Temperatur eines Monats
  • Wissenschaft: Das durchschnittliche Ergebnis wiederholter Experimente
Den Mittelwert zu berechnen hilft uns zu verstehen, was in einer Situation "normal" oder "typisch" ist!

Anwendungen im echten Leben

Notendurchschnitt

Schulen berechnen deinen Notendurchschnitt, indem sie den Mittelwert deiner Noten finden, oft gewichtet nach Unterrichtsstunden.

Beispiel:

Wenn du 9090, 8585, 9292 und 8888 in vier Fächern erreicht hast, ist dein Mittelwert 90+85+92+884=88,75\frac{90+85+92+88}{4} = 88,75.

1Probiere es selbst

Du hast Testergebnisse von 8282, 9191, 7878 und 8585.

Was ist dein durchschnittliches Testergebnis?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne: 82+91+78+854\frac{82 + 91 + 78 + 85}{4}

Sportstatistiken

Sportler und Teams verfolgen ihre Leistung mit Durchschnittswerten - Trefferquote, Punkte pro Spiel, Tore pro Match.

Beispiel:

Ein Fußballspieler hat 22, 00, 11, 33, 11 Tore in 5 Spielen erzielt. Mittelwert = 75=1,4\frac{7}{5} = 1,4 Tore pro Spiel.

2Probiere es selbst

Die Zeiten eines Schwimmers über 100m Freistil in 4 Rennen waren 5858, 5656, 5959 und 5555 Sekunden.

Was ist die durchschnittliche Rennzeit?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne den Mittelwert der vier Zeiten

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Der Mittelwert wird berechnet, indem alle Werte addiert und durch die Anzahl geteilt werden: Mittelwert=SummeAnzahl\text{Mittelwert} = \frac{\text{Summe}}{\text{Anzahl}}
  • 2Der Mittelwert repräsentiert einen "typischen" oder "zentralen" Wert in deinen Daten
  • 3Der Mittelwert kann eine Dezimalzahl sein, auch wenn alle ursprünglichen Werte ganze Zahlen sind
  • 4Um einen fehlenden Wert zu finden, wenn der Mittelwert bekannt ist: multipliziere Mittelwert mit Anzahl, dann subtrahiere die bekannten Werte

Häufig gestellte Fragen

Es ist dasselbe! "Durchschnitt" ist das alltägliche Wort, während "Mittelwert" (genauer: "arithmetisches Mittel") der mathematische Begriff ist.
Es ist dasselbe! "Durchschnitt" ist das alltägliche Wort, während "Mittelwert" (genauer: "arithmetisches Mittel") der mathematische Begriff ist.
Nein. Der Mittelwert liegt immer zwischen dem kleinsten und größten Wert deines Datensatzes (oder ist gleich, wenn alle Werte identisch sind).
Der Mittelwert kann irreführend sein, wenn du extreme Werte (Ausreißer) hast. Wenn zum Beispiel 5 Personen 30.000€ verdienen und 1 Person 1.000.000€, wäre das durchschnittliche Gehalt irreführend hoch.

Glossar

Mittelwert
Die Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl der Werte; auch arithmetisches Mittel oder Durchschnitt genannt
Summe
Das Ergebnis der Addition von Zahlen
Datensatz
Eine Sammlung von Werten oder Beobachtungen
Zentrale Tendenz
Ein Maß, das das Zentrum oder den typischen Wert eines Datensatzes darstellt (Mittelwert, Median oder Modus)
Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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