Ein Säulendiagramm, das nicht bei 0 beginnt

Bei einer Schulabstimmung bekam Saft A 52 Stimmen und Saft B 48 Stimmen. Ein Plakat zeigt ein Säulendiagramm, dessen senkrechte Achse bei 45 beginnt. Wie viel Mal höher wirkt Säule A, und wie viel größer ist A wirklich?

Bestimme die gezeichneten Höhen über dem Achsenanfang: A: $52 - 45 = 7$, B: $48 - 45 = 3$ = Gezeichnete Höhen 7 und 3

Vergleiche die gezeichneten Höhen: $\frac{7}{3} \approx 2{,}33$ = Säule A wirkt etwa 2,3-mal so hoch

Vergleiche die echten Werte: $\frac{52}{48} \approx 1{,}08$ = A ist wirklich etwa das 1,08-Fache von B

Schreibe den echten Unterschied in Prozent: $\frac{52 - 48}{48} \times 100\,\% \approx 8{,}3\,\%$ = Etwa 8,3 % mehr Stimmen

Answer: Säule A wirkt mehr als doppelt so hoch, aber Saft A bekam nur etwa 8,3 % mehr Stimmen als Saft B. Vergleiche die beiden Säulendiagramme oben: Mit der Achse ab 45 ragt Säule A weit über Säule B hinaus, mit der Achse ab 0 sind beide Säulen fast gleich hoch.

Ein gestrecktes Liniendiagramm

Das erste Liniendiagramm oben zeigt die Website-Besucher von Januar (1000) bis Mai (1050). Seine Achse beginnt bei 980, deshalb steigt die Linie steil an. Wie groß ist die echte prozentuale Änderung von Januar bis Mai?

Lies den alten und den neuen Wert ab: Januar: 1000, Mai: 1050 = Alt = 1000, neu = 1050

Bestimme die Änderung: $1050 - 1000 = 50$ = 50 Besucher mehr

Teile durch den alten Wert: $\frac{50}{1000} = 0{,}05$ = 0,05

Schreibe es in Prozent: $0{,}05 \times 100\,\% = 5\,\%$ = 5 %

Answer: Die Zahl der Besucher stieg nur um 5 %. Im zweiten Diagramm, dessen Achse bei 0 beginnt, ist dieselbe Linie fast flach.

Ein Bilddiagramm mit wachsenden Symbolen

Eine Firma verkaufte 2020 2 Millionen Handys und 2024 4 Millionen. Ihr Bericht zeichnet für jedes Jahr ein Handy-Symbol, und das Symbol für 2024 ist doppelt so hoch und doppelt so breit. Wie viel Mal größer wirkt das Symbol für 2024?

Bestimme das echte Verhältnis: $\frac{4}{2} = 2$ = Der Verkauf hat sich verdoppelt

Bestimme die Fläche des größeren Symbols: Fläche $= 2 \times 2 = 4$-mal das kleine Symbol = 4-fache Fläche

Vergleiche Bild und Wirklichkeit: $\frac{4}{2} = 2$ = Das Bild übertreibt um den Faktor 2

Finde einen fairen Maßstab für das Symbol: Jede Seite mal $\sqrt{2} \approx 1{,}41$, dann ist die Fläche $2$-mal so groß = Seiten etwa 1,41-mal so lang

Answer: Das Symbol für 2024 hat die 4-fache Fläche, also sieht es aus, als hätte sich der Verkauf vervierfacht, obwohl er sich nur verdoppelt hat. Ein faires Bilddiagramm nutzt zwei gleich große Symbole oder vergrößert jede Seite um etwa den Faktor 1,41.

Ein Kreisdiagramm mit 135 %

Eine Klassenumfrage fragte: "Welche Sportarten machst du?" Man durfte mehrere ankreuzen. Das Kreisdiagramm oben zeigt Fußball 60 %, Schwimmen 45 %, Tennis 30 %. Was ist falsch?

Addiere alle Prozentsätze: $60 + 45 + 30 = 135$ = 135 %

Vergleiche mit dem Ganzen: Ein ganzer Kreis sind $100\,\%$, und $135 - 100 = 35$ = 35 Prozentpunkte zu viel

Sieh dir die Sektoren an: Der Sektor mit 60 % füllt nur $\frac{60}{135} \approx 44\,\%$ des Kreises = Die Sektoren passen nicht zu den Beschriftungen

Wähle ein besseres Diagramm: Jeder Prozentsatz ist eine eigene Ja-Nein-Frage, die Teile bilden also kein Ganzes = Nimm ein Säulendiagramm

Answer: Ein Kreisdiagramm funktioniert nur, wenn die Teile zusammen genau 100 % ergeben. Hier waren mehrere Antworten erlaubt, deshalb ergeben die Prozentsätze 135 %, und ein Säulendiagramm ist die ehrliche Wahl.

Ungleiche Abstände auf der Zeitachse

Die Einwohnerzahl einer Stadt (in Tausend) wird für die Jahre 2000, 2010, 2020, 2022 und 2024 gezeigt: 50, 60, 70, 72, 74. Die Jahre sind in gleichen Abständen gezeichnet (siehe Diagramm oben). Die Schlagzeile lautet: "Das Wachstum hat fast aufgehört!" Stimmt das?

Bestimme die Abstände zwischen den Jahren: 10, 10, 2 und 2 Jahre = Die Abstände sind nicht gleich

Bestimme das Wachstum pro Jahr von 2000 bis 2020: $\frac{70 - 50}{20} = 1$ = Tausend Einwohner pro Jahr

Bestimme das Wachstum pro Jahr von 2020 bis 2024: $\frac{74 - 70}{4} = 1$ = Tausend Einwohner pro Jahr

Vergleiche: $1 = 1$ = Die Wachstumsrate hat sich nicht geändert

Answer: Die Schlagzeile ist falsch. Die Stadt wächst die ganze Zeit um 1 Tausend Menschen pro Jahr. Die Linie wirkt nur flacher, weil 2 Jahre auf der Achse genauso viel Platz bekommen wie 10 Jahre.

Mistake: Die Größe eines Unterschieds nur nach der Höhe der Säulen beurteilen

Why: Beginnt die Achse bei 45 statt bei 0, zeigen die Säulen nur den Teil über 45. Eine Säule für 52 wirkt dann mehr als doppelt so hoch wie eine Säule für 48.

Correct: Schau immer, wo die Achse beginnt. Vergleiche die echten Werte: $\frac{52}{48} \approx 1{,}08$, nur etwa 8 % mehr.

Mistake: Bei der prozentualen Änderung durch den neuen Wert teilen

Why: Die prozentuale Änderung vergleicht immer mit dem Ausgangswert. Von 1000 auf 1050: Teilst du durch 1050, erhältst du etwa 4,8 %, und das ist nicht die Änderung.

Correct: Teile die Änderung durch den alten Wert: $\frac{1050 - 1000}{1000} \times 100\,\% = 5\,\%$.

Mistake: Glauben, dass eine steile Linie immer eine große Änderung bedeutet

Why: Wie steil eine Linie wirkt, hängt von der Skala ab. Eine gestreckte Achse lässt 5 % wie eine Rakete aussehen, eine gestauchte lässt 25 % flach wirken (siehe das Mietdiagramm oben, dessen Achse bis 10000 reicht).

Correct: Lies die Zahlen am Anfang und am Ende der Linie ab und berechne die Änderung selbst.

Mistake: Bild- oder 3D-Diagramme nur nach der Höhe vergleichen

Why: Unsere Augen beurteilen die Fläche (oder das Volumen) eines Bildes. Ein Symbol, doppelt so hoch und doppelt so breit, hat die 4-fache Fläche; ein 3D-Quader mit lauter doppelt so langen Kanten hat das 8-fache Volumen.

Correct: Vergleiche die Zahlen, für die die Bilder stehen, nicht die Größe der Bilder.

Werbung und Produktversprechen

Werbung nutzt oft Säulendiagramme mit abgeschnittener Achse, damit ein kleiner Vorteil riesig wirkt.

Eine Akku-Werbung zeigt 21 Stunden für den eigenen Akku und 20 Stunden für die Konkurrenz. Beginnt die Achse bei 19, sind die Säulen 2 und 1 Einheiten hoch, also wirkt eine Säule doppelt so lang.

Investmentfonds und ausgewählte Zeiträume

Ein Fonds kann gut aussehen, wenn er nur die Jahre zeigt, in denen sein Kurs gestiegen ist.

Ein Fondskurs lag 2019 bei 80, fiel 2022 auf 50 und stieg 2024 auf 60. Die Werbung zeigt nur 2022 bis 2024: "20 % Plus!"

Infografiken mit Bildern

Infografiken in den Nachrichten zeigen Mengen oft als Bilder (Säcke, Münzen, Menschen) und vergrößern die Bilder in beide Richtungen.

Eine Schule sammelte letztes Jahr 2 Tonnen Altpapier und dieses Jahr 3 Tonnen. Die Infografik macht den zweiten Papiersack 1,5-mal so hoch und 1,5-mal so breit.

Q: Ist ein Diagramm, dessen Achse nicht bei 0 beginnt, immer irreführend?

A: Nicht immer. Bei Liniendiagrammen, etwa für die Körpertemperatur oder einen Aktienkurs, kann ein Achsenanfang nahe bei den Daten sinnvoll sein, um kleine Änderungen zu sehen, solange die Achse klar beschriftet ist. Bei Säulendiagrammen ist es fast immer irreführend, weil die Länge der Säule die Botschaft ist.

Q: Wie finde ich die echte prozentuale Änderung in einem Diagramm?

A: Lies den Anfangswert und den Endwert auf der Achse ab und berechne $\frac{\text{neu} - \text{alt}}{\text{alt}} \times 100\,\%$. Achte nicht darauf, wie steil oder hoch das Bild aussieht.

Q: Warum ist ein 3D-Diagramm schlechter als ein flaches?

A: 3D-Effekte fügen Tiefe hinzu, deshalb vergleichen unsere Augen Volumen. Ein Quader mit lauter doppelt so langen Kanten hat das $2^3 = 8$-fache Volumen. 3D-Kreisdiagramme kippen außerdem den Kreis, sodass vordere Sektoren größer wirken als hintere.

Q: Kann ein irreführendes Diagramm nur wahre Zahlen enthalten?

A: Ja, und genau das macht es so tückisch. Alle Zahlen können stimmen, während die Skala, die Bilder oder der gewählte Zeitraum eine falsche Geschichte erzählen. Deshalb solltest du die Zahlen immer selbst nachrechnen.